Probleme mit der Vorstellung der "Temperatur" eines Kartenspiels

Die Analogie ist nicht gut begründet. In chemischen Systemen kann Temperatur als eingeführt werden

$$T = \left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_{V,N}.$$ Die konstanten Spezifizierer sind wichtig. Sie können keine zusätzlichen Einschränkungen wie einführen$U = \text{const}\cdot N$. Und wenn Energie einfach ständig proportional dazu wäre$N$, unabhängig (ausdrücklich) von$S$Und$V$, würde die obige Formel Null ergeben.

Eine zu Ihrer analoge Situation in der Physik wäre ein Ensemble geordneter Teilchen, von denen sich jedes nur in einem einzigen Energieniveau befinden kann$\epsilon$. Die einzige Quelle der Entropie ist die Kombinatorik der Ordnung. Die einzige Möglichkeit, wie das System Energie gewinnen kann, besteht darin, neue Teilchen aufzunehmen. Wenn es geschlossen ist, hat es sowieso keine Möglichkeit, Wärme mit seiner Umgebung auszutauschen. In solchen Systemen gibt es keinen Temperaturbegriff. Sie sind per Definition nicht heißer oder kälter als alles um sie herum.

UPDATE basierend auf Kommentaren.

OK, abstrahieren wir von der "Anzahl der Karten = Anzahl der Teilchen", die ich implizit angenommen habe, und betrachten wir ein imaginäres System, das Energie in Vielfachen eines Quantums absorbieren kann$ε$und hat$(U/ε)!$Mikrozustände, die einen Makrozustand der Energie darstellen$U$.

Dies scheint einfach genug zu analysieren, um zu sehen, wie es sich im thermischen Kontakt mit einem anderen Körper verhält, lassen Sie uns eine explizite Berechnung durchführen.

Betrachten Sie einen quantenmechanischen harmonischen Oszillator, der so ausgerichtet ist$ħω = ε$, vernachlässigen die Nullzustandsenergie. Das zusammengesetzte System hat beispielsweise ein Gesamtenergiebudget von 5 Quanten. In einer mikrokanonischen Situation haben die folgenden Zustände alle die gleiche Wahrscheinlichkeit:

1. Oszillator bei$5ħω$, Kartenspiel leer,
2. Oszillator bei$4ħω$, Kartenspiel hat eine Karte,
3. Oszillator bei$3ħω$, Kartenspiel hat zwei, bestellt AB oder BA (2 verschiedene Zustände),
4. Oszillator bei$2ħω$, Kartenspiel hat drei: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA (6 verschiedene Zustände),
5. Oszillator bei$1ħω$, Kartenspiel hat 24 verschiedene Zustände,
6. Oszillator bei$0ħω$, Kartenspiel hat 120 verschiedene Zustände.

Dies sind insgesamt 154 Mikrozustände gleicher Energie, zwischen denen das System nach Annahme frei wechseln kann. Statistisch gesehen haben sie alle die gleichen Wahrscheinlichkeiten in der langfristigen Grenze. Offensichtlich ist der Oszillator in den meisten Fällen bei Null, und Energien ungleich Null haben abnehmende Wahrscheinlichkeiten. Mit den Teilsummen:

$$p_0 = 78\%,\ p_1 = 16\%,\ p_2 = 4\%,\ p_3 = 1\%, p_4 = p_5 < 1\%.$$

Aus der Perspektive des Oszillators sieht dies wie eine thermische Verteilung bei einer bestimmten Temperatur aus. (Es würde besser funktionieren, wenn ich viele davon hätte, aber für diese kleine Demonstration reicht dies.) Mal sehen, was passiert, wenn wir etwas mehr Energie in das System stecken. Verallgemeinern zu$N$Gesamterregungen:

Wahrscheinlichkeit von$n$Erregungen in der Ho,$N-n$Karten im Deck,$p_n = (N-n)! / \sum_{k=0}^{k=N} k!$

Für$N\gg1$, die größte Fakultät dominiert bei weitem alle anderen Terme in der Summe zusammen, also vereinfachen wir zu$p_n \approx (N-n)! / N!$. Auch mit der Formel von Stirling:

$$p_n \approx (N-n)! / N! \approx \left(\frac{N-n}{e}\right)^{N-n} \left(\frac{e}{N}\right)^N = \left(1 - \frac{n}{N}\right)^N \left(\frac{e}{N-n}\right)^n$$

Im ersten Term erkennen wir einen Näherungswert des Exponentials ($n \ll N$):

$$p_n \approx e^{-n} \left(\frac{e}{N-n}\right)^n = \frac1{(N-n)^n} \stackrel{n \ll N}{\approx} \frac1{N^n}$$

Erinnern Sie sich an die Maxwell-Boltzmann-Verteilung des harmonischen Oszillators allein bei der Temperatur$T$gibt

$$p_n = (1 - e^{-ε/(kT)}) e^{-nε/(kT)}$$

und für$kT \ll ε$,

$$p_n \approx e^{-nε/(kT)} = (e^{-ε/(kT)})^n = \frac1{(e^{ε/(kT)})^n}.$$

Wenn wir die beiden vergleichen, sehen wir das für groß$N$, thermalisiert der harmonische Oszillator bei Temperatur$T$wofür$e^{ε/(kT)} = N$, welches ist

$$T = \frac{ε}{k \ln N}.$$

Dies würde tatsächlich bestätigen, dass in unserem Modellsystem die Temperatur eine abnehmende Funktion der Gesamtenergie ist$U = Nε$, oder die Gesamtenergie ist eine abnehmende Funktion der Temperatur, im Gegensatz zum Üblichen. Wenn wir dem System einige Energiequanten hinzufügen, würden sie lieber in das Deck als in den Oszillator gelangen und sogar etwas mehr Energie aus letzterem mitnehmen und ihn abkühlen.

Da es sich um ein Gleichgewicht handelt, würde dem Kartenspiel dieselbe Temperatur zugeschrieben. Natürlich die$N$Partikel werden zwischen den beiden aufgeteilt. Aber für alle praktischen Zwecke$n \approx 0$Und$N-n \approx N$, also können wir diese Formel eigentlich unverändert verwenden.

Die Erklärung für dieses seltsame Ergebnis ist die superexponentielle Explosion der Anzahl der Mikrozustände des Kartenspiels mit Energie. Es ist normal, dass dies (und ihr Logarithmus, die Entropie) eine ansteigende Funktion ist (in Systemen, die eine Sättigung zulassen, kann die Entropie an einem bestimmten Punkt abnehmen; diese lassen dann negative Temperaturen zu), aber in allen üblichen Situationen bleibt die Entropie konkav . Das Ungewöhnliche an unserem „Kartenspiel“-System ist, dass es sich um eine konvexe Energiefunktion handelt. Dies bedeutet auch negative Wärmekapazität , was weitere Paradoxien mit sich bringt.

Also, um Ihre Fragen zu beantworten, es gibt keinen Fehler in Ihrer Logik; es ist nur ein eher ungewöhnliches Modell mit sehr überraschenden Eigenschaften. Es kann etwas geben, das es daran hindert, körperlich zu sein, ich habe nicht versucht, das zu beantworten.

Obwohl die Frage bereits eine akzeptierte Antwort hat, denke ich, dass ich eine alternative Möglichkeit gefunden habe, eine "Temperatur" mit einem Kartenspiel zu verknüpfen. Angenommen, die Karten sind anstelle von Farben und üblichen Etiketten nur nummeriert$1$durch$n$. Jedem Mikrozustand des Decks (d. h. seiner Ordnung) können wir die Energie als Anzahl der Inversionen in diesem Mikrozustand (d. h. Anzahl der Paare) zuordnen$i$,$j$,$i<j$so dass das Etikett auf der$i$'te Karte ist größer als das Etikett auf der$j$te Karte). Ein perfekt geordnetes Deck$(1, 2, ..., n)$hat dann null Energie und ein Deck mit umgekehrter Reihenfolge$(n, … , 1)$hat Energie$n (n-1)/2$. Dann füllen wir die Zustände gemäß der Gibbs-Verteilung und gehen wie für ein diskretes System üblich vor. Bei dieser Einstellung$T = 0$entspricht einem vollständig bestellten Deck, und$T = \infty$entspricht einem komplett gemischten Deck (alle Reihenfolgen sind gleich wahrscheinlich). Im Wesentlichen ist ein solches System nur ein diskretes System mit seltsamen Entartungen der Energieniveaus, daher sollte es gut definiert sein.

Die Eigenschaften der Entropie in Bezug auf die Anzahl der Karten konnte ich noch nicht bestimmen$n$.