Probleme mit einem Beweis, dass jede reelle Folge eine monotone Teilfolge hat

Ich habe einige Probleme mit der Visualisierung dieses Beweises.
(Ich werde die Probleme, die ich damit habe, am Ende darstellen, mit einigen intuitiven Gedanken, die sich darauf beziehen, in Kursivschrift.)

Satz: Jede reelle Folge hat eine monotone Teilfolge.

Beweis (Thurston):
Nimm irgendwelche$(x_m) \in R^\infty$und definieren$S_m := \{x_m, x_{m+1},\dots \}$für jede$m \in \mathbb{N}$. Wenn es kein maximales Element gibt$S_1$, dann sieht man das leicht$(x_m)$hat eine monotone Teilfolge. (Lassen$x_{m_1} := x_1$, lassen$x_{m_2}$sei der erste Term in der Folge$(x_2,x_3,\dots)$größer als$x_1$, lassen$x_{m_3}$sei der erste Term in der Folge$(x_{m_{2}+1}, x_{m_{2}+2}, \dots)$größer als$x_{m_2}$, und so weiter.) Nach der gleichen Logik, wenn, für alle$m \in \mathbb{N}$, gibt es kein maximales Element in$S_m$, dann sind wir fertig. Denke dann max$S_m$existiert für jeden$m \in \mathbb{N}$. Definieren Sie nun die Teilsequenz$(x_{m_k})$rekursiv wie folgt:

Probleme

1) Warum müssen wir bauen$S_m$für alle$m > 1$?
Ich meine, für mich sieht es nach genug aus, um die Konstruktion in Klammern zu machen$S_1$, auch wegen$S_m$sollte - per Konstruktion - eine Teilmenge von sein$S_1$, Rechts?
Grundsätzlich habe ich große Probleme mit dem Satz „Nach der gleichen Logik, wenn überhaupt$m \in \mathbb{N}$, gibt es kein maximales Element in$S_m$, dann sind wir fertig.“ Für mich sind wir schon lange fertig.

2) Was ist mit der Tatsache, dass$x_m = x_{m+1}$?
Sollte es nicht explizit abgedeckt werden? Und wird es durch den Beweis nicht eigentlich explizit ausgeschlossen (also die Verwendung von „größer“ ohne Nennung der Gleichheit)?
Allerdings wird nirgendwo angenommen, dass wir von streng monotonen Teilfolgen sprechen (das sieht mir wirklich nach einer versteckten Annahme aus).

3) Bauen wir das auf$S_m$für beliebig einstellen$m >1$weil wir es im zweiten Teil des Beweises verwenden müssen?

Vielen Dank für jeden Hinweis oder Feedback.