Pythagoräische Tripel mit einer neuen Methode erzeugen?

Verwenden eines rechtwinkligen Dreiecks mit Seitenlängen ( A , B , C ) Wo A , B < C , ich habe darüber nachgedacht, wie die Fläche eines pythagoreischen Tripels mit dem pythagoreischen Tripel direkt davor gefunden werden kann, und ich bin auf etwas gestoßen, das für eine große Anzahl von pythagoreischen Tripeln funktioniert hat, 12 R 2 + A k − 1 B k − 1 = A k B k , eine rekursive Formel wo k repräsentiert die k ter Begriff in einer Folge. Dies erzeugt scheinbar eine Folge von pythagoreischen Tripeln, die ich in keiner anderen Formel verwendet finden konnte. Es ist wichtig, das zu beachten 12 R 2 ist doppelt so groß wie die Fläche pythagoreischer Tripel, die aus Seitenlängen stammen ( 3 , 4 , 5 ) . Mit dieser Formel finden wir die 1 S T Term von Mengen, wo der Inradius jedes pythagoräischen Tripel ist R + R 2 k und die Beziehung zwischen den Seitenlängen sind immer noch durch unsere rekursive Formel definiert.

Diese 1 S T Terme sind Tripel mit einem geraden Wert von A Wo R steigt um 2 :

( 8 , 15 , 17 ) , ( 12 , 35 , 37 ) , ( 16 , 63 , 65 ) . . .

Hinweis: Wir finden dies mit ( 8 , 15 , 17 ) da wir eine rekursive Formel sowie das Wissen haben, dass R = A + B − A 2 + B 2 2 , wodurch wir die Seitenlängen jedes pythagoreischen Tripels finden können.

Hier ist ein Beispiel dessen, was sie generieren:

S e T 1 15 , 8 , 17 33 , 56 , 65 51 , 140 , 149 69 , 260 , 269 S e T 2 35 , 12 , 37 85 , 132 , 157 135 , 352 , 377 185 , 672 , 697 S e T 3 63 , 16 , 65 161 , 240 , 289 259 , 660 , 709 357 , 1276 , 1325 S e T 4 99 , 20 , 101 261 , 380 , 461 423 , 1064 , 1145 585 , 2072 , 2153

Ich konnte anscheinend keine ähnlichen Formeln wie diese oder eine Methode zum Erzeugen von pythagoreischen Tripeln finden, die dieser Sequenz folgen. Ich suche nach einem Beweis.

Was ist damit gemeint B R ? Wie verhält sich Ihre rekursive Formel zu den Tripelfolgen, die Sie geschrieben haben?
Danke für den Vorschlag, ich habe es behoben
Ihre Tripel sind die oberen und unteren Pfade im ternären Baum der pythagoräischen Tripel
Für mich sieht es so aus, als ob Ihre Formel nicht zum Generieren von pythagoreischen Tripeln dient, sondern zum Finden eines Multiplikator-bestimmten Bereichs. Außerdem ist für primitive Tripel nach Euklids Formel et al. Seite A immer ungerade, Seite B immer gerade und für die Hälfte aller Tripel A > B . Es gibt Möglichkeiten, Tripel in einem bestimmten Bereich zu finden, wenn Sie interessiert sind.
@poetasis beachten Sie, dass der Wert von r für das pythagoreische Tripel in der Folge bekannt ist und der Bereich, der es uns ermöglicht, die Seitenlängen zu finden, auch wie zuvor, die Bedingung wahr macht für a < b < c. Die einzigen zwei bekannten Angaben, die erforderlich sind, sind (3,4,5) und (8,15,17), da wir eine rekursive Formel haben – SpoonedBread vor 9 Minuten
Ich sehe keine Methode, die hier beschrieben wird. Beginnen mit ( 3 , 4 , 5 ) , Schritt für Schritt, welche Berechnungen führen Sie genau durch, um ein weiteres Tripel zu "generieren"?
@David K, (8,15,17) hat inradius 3, um das nächste Tripel zu erzeugen, das der 1. Term einer Menge ist, erhöht sich r um 2, also unter Verwendung von inradius 5 und dem Produkt der Beine des Tripels 8,15, 17 (120) setzen wir sie in die Formel ein und erhalten 12(5)^2 + 120 = 420, da wir die Fläche und den Inradius erhalten, können wir die Seitenlängen ziemlich einfach finden. Da dies der 1. Term einer Menge ist, ist jeder nachfolgende Term in Radius dieser Menge 5 + 25 k Wo k repräsentiert die k ter Begriff in der Menge. Mit der gleichen Methode können wir also den Rest der Tripel in der Menge bestimmen.
Unterscheidet sich dies erheblich von A New formula For Generating Pythagorean Triples? ? Es gibt eine Antwort auf diese Frage, die eine Formel zur Erzeugung der pythagoreischen Tripel liefert, die Sie hier (und dort) aufgelistet haben.
@robjohn Du missverstehst meine Frage, ich bitte um einen Beweis meiner Formel, nicht um eine bekannte Formel. Außerdem habe ich diese Frage geändert, weil ich diese für ein Kopfgeld stellen wollte, aber meine Meinung aufgrund der bereits bereitgestellten Antworten geändert und stattdessen einen neuen gemacht. Ich würde gerne meinen vorherigen Beitrag löschen, aber er lässt mich nicht.
Beweis für welche Formel? Wenn du redest 12 R 2 + A k − 1 B k − 1 = A k B k , damit ist die andere Frage beantwortet. Wenn du redest A + B − A 2 + B 2 2 , damit ist auch die andere Frage beantwortet. Ich sehe keine andere Formel, die in beiden Fragen erwähnt wird. Sie erwähnen "das pythagoreische Tripel direkt vor" einem anderen; wie bestimmt man das Tripel „direkt vor“ einem anderen?
-1 Das ist ein zusammenhangloses Durcheinander. Die Abstimmung endet, sobald das Kopfgeld abgelaufen ist.
Das Kopfgeld wird standardmäßig in 1 Stunde vergeben. Ich werde der Standard sein, bekomme aber nur die Hälfte davon, es sei denn, Sie vergeben es an die Antwort, die Sie als "richtig" ausgewählt haben.

Antworten (3)

Ihre Formel erzeugt zwar pythagoreische Tripel, verfehlt jedoch die meisten von ihnen und scheint Samen zu erfordern, um zu funktionieren.

Ich bin mir nicht sicher, was Sie generieren. Sie erzeugen wo Tripel C − A = 2 in der ersten Spalte, aber das lässt sich leichter generieren A = 4 N 2 − 1 B = 4 N C = 4 N 2 + 1. Der Rest der Tabelle zeigt kein Muster, das ich erkennen kann, wie z. B. eine konsistente Seitendifferenz innerhalb eines Satzes oder eine konsistente Erhöhung der Seitenwerte innerhalb eines Satzes. Die folgende Formel generiert alle Primitive und einige, die es nicht sind, aber es gibt eine Konsistenz C − B = ( 2 N − 1 ) 2 Und A N + 1 − A N = 2 ( 2 N − 1 ) . Es ist die Formel wann ableiten A = ( 2 N − 1 + k ) 2 − k 2 ,   B = 2 ( 2 N − 1 + k ) k ,   C = ( 2 N − 1 + k ) 2 + k 2

A = ( 2 N − 1 ) 2 + 2 ( 2 N − 1 ) k B = 2 ( 2 N − 1 ) k + 2 k 2 C = ( 2 N − 1 ) 2 + 2 ( 2 N − 1 ) k + 2 k 2
Hier ist ein Beispiel dessen, was es generiert
N k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 S e T 1 3 , 4 , 5 5 , 12 , 13 7 , 24 , 25 9 , 40 , 41 S e T 2 15 , 8 , 17 21 , 20 , 29 27 , 36 , 45 33 , 56 , 65 S e T 3 35 , 12 , 37 45 , 28 , 53 55 , 48 , 73 65 , 72 , 97 S e T 4 63 , 16 , 65 77 , 36 , 85 91 , 60 , 109 105 , 88 , 137 S e T 5 99 , 20 , 101 117 , 44 , 125 135 , 72 , 153 153 , 104 , 185
Ihre Formel generiert die erste Spalte, aber nichts mit einem Muster, das ich in den anderen Zellen sehen kann. Wenn Sie mit Bereichen arbeiten möchten, finden Sie hier eine Liste davon . Wenn Sie herausfinden können, wie Sie diese Sequenz generieren, kann ich Ihnen zeigen, wie Sie alle finden 1 ,   2 ,  oder  3   Tripel, die jedem Bereich entsprechen.

In dieser Antwort konnte ich die in diesen Fragen angegebene Tabelle erstellen, aber ich weiß nicht, welche Formel in diesen Fragen verwendet wird, um diese Tabelle zu erstellen.
@robjohn Ich kann sehen, dass Sie die Tabelle im OP anscheinend repliziert und ihr eine Null hinzugefügt haben. Meine Antwort, die vor dem Kopfgeld gegeben wurde, besagt einfach, dass OP unvollständig war, wie Sie mit angegeben haben ( 21 , 20 , 29 ) . Was „diese“ Tabelle betrifft, habe ich die Formel direkt über der Tabelle angegeben. Es ist die Teilmenge, in der G C D ( A , B , C ) = ( 2 M − 1 ) 2 , M ∈ N was „alle“ Primitive umfasst, wo G C D ( A , B , C ) = 1. Die Zahlen N , k sind natürliche Zahlen und es werden keine trivialen Zahlen erzeugt.
(+1) Dein Tisch ist vollständig. Sie haben die Sätze in der Frage ausgefüllt, um alle pythagoreischen Tripel abzudecken. Jeder Satz, sowohl in Ihrer Antwort als auch in der Frage, hat eine Konstante "Hypotenuse minus gerades Bein" (diese Differenz ist das Quadrat einer ungeraden ganzen Zahl). Wie Sie meiner Antwort entnehmen können, ist nur ein Bruchteil aller Tripel in Sätzen abgedeckt ≥ 1 (Satz 0 deckt alle Tripel ab , die Hypotenuse minus gerades Bein gleich haben 1 ). Je höher das Set, desto kleiner die Abdeckung in den Sets der Frage.
@robjohn ( C − B ) ist immer ein ungerades Quadrat für Primitive, aber für die Hälfte aller Tripel, A > B . Die OP-Tabelle ist möglicherweise unvollständig, aber ich denke, meine zweite Antwort befasst sich mit der Frage.
Ich sage nicht, dass an Ihrer Antwort etwas falsch ist. Ihre Antwort deckt alle pythagoreischen Tripel ab. Ja, die Hypotenuse minus dem geraden Bein ist immer ein ungerades Quadrat. Es ist das gleiche ungerade Quadrat für alle Tripel in jedem Satz k , und erhöht sich um 2 für jeden aufeinanderfolgenden Satz k . Der andere Teil meines Kommentars befasste sich mit der prozentualen Abdeckung durch jeden aufeinanderfolgenden Satz k in der Frage (nicht Ihre Antwort); die prozentuale Abdeckung wird im Allgemeinen kleiner als k erhöht sich.

Diese Formel generiert Ihre Tabelle

A = ( 2 N − 1 ) 2 + 2 ( 2 N − 1 ) k B = 2 ( 2 N − 1 ) k + 2 k 2 C = ( 2 N − 1 ) 2 + 2 ( 2 N − 1 ) k + 2 k 2

wenn mit folgendem versehen ( N , k ) Werte

X T e R M 1 T e R M 2 T e R M 3 T e R M 4 T e R M 5 S e T 1 ( 1 , 1 ) ( 1 , 2 ) ( 1 , 3 ) ( 1 , 4 ( 1 , 5 ) S e T 2 ( 2 , 1 ) ( 2 , 4 ) ( 2 , 7 ) ( 2 , 10 ) ( 2 , 13 ) S e T 3 ( 3 , 1 ) ( 3 , 6 ) ( 3 , 11 ) ( 3 , 16 ) ( 3 , 21 ) S e T 4 ( 4 , 1 ) ( 4 , 8 ) ( 4 , 15 ) ( 4 , 22 ) ( 4 , 29 ) S e T 5 ( 5.1 ) ( 5 , 10 ) ( 5 , 19 ) ( 5 , 28 ) ( 5 , 37 ) S e T 6 ( 6 , 1 ) ( 6 , 12 ) ( 6 , 23 ) ( 6 , 34 ) ( 6 , 45 )
`

Dazu ersetzen wir k durch ( ( 2 N − 1 ) ( k − 1 ) + 1 )

A = ( 2 N − 1 ) 2 + 2 ( 2 N − 1 ) ( ( 2 N − 1 ) ( k − 1 ) + 1 ) B = 2 ( 2 N − 1 ) ( ( 2 N − 1 ) ( k − 1 ) + 1 ) + 2 ( ( 2 N + − ) ( k − 1 ) + 1 ) 2 . C = ( 2 N − 1 ) 2 + 2 ( 2 N − 1 ) ( ( 2 N − 1 ) ( k − 1 ) + 1 ) + 2 ( ( 2 N − 1 ) ( k − 1 ) + 1 ) 2

und das Ergebnis ist

X k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5 S e T 1 ( 3 , 4 , 5 ) ( 5 , 12 , 13 ) ( 7 , 24 , 25 ) ( 9 , 40 , 41 ) ( 11 , 60 , 61 ) S e T 2 ( 15 , 8 , 17 ) ( 33 , 56 , 65 ) ( 51 , 140 , 149 ) ( 69 , 260 , 269 ) ( 87 , 416 , 425 ) S e T 3 ( 35 , 12 , 37 ) ( 85 , 132 , 157 ) ( 135 , 352 , 377 ) ( 185 , 672 , 697 ) ( 235 , 1092 , 1117 ) S e T 4 ( 63 , 16 , 65 ) ( 161 , 240 , 289 ) ( 259 , 660 , 709 ) ( 357 , 1276 , 1325 ) ( 413 , 1716 , 1765 ) S e T 5 ( 99 , 20 , 101 ) ( 261 , 380 , 461 ) ( 423 , 1064 , 1145 ) ( 585 , 2072 , 2153 ) ( 747 , 3404 , 3485 ) S e T 6 ( 143 , 24 , 145 ) ( 385 , 552 , 673 ) ( 627 , 1564 , 1685 ) ( 869 , 3060 , 3181 ) ( 1111 , 5040 , 5161 )
`

Aktualisieren . Genau genommen ist diese Formel nicht rekursiv, da kein Tripel von einem anderen abhängig ist. Es kann jedoch als rekursiv angesehen werden, weil k X = k X − 1 + ( 2 N − 1 ) .

zB Für S e T 3 ,   Wo ( 2 N − 1 ) = 5 ,   für Spalte eins, k 0 = 1 + ( 1 − 1 ) ( 5 ) = 1 , für Spalte zwei k 1 = k 0 + ( 2 − 1 ) ( 5 ) = k 0 + 5 = 6 , für Spalte drei   k 2 = k 0 + ( 3 − 1 ) ( 5 ) = 1 + ( 5 + 5 ) = ( 1 + 5 ) + 5 = k 1 + 5 = 11 ,   usw.

Um diese Rekursivität zu implementieren, lassen wir das erste Tripel T 1 in jedem Satz sein

A = 4 N 2 − 1 B = 4 N C = 4 N 2 + 1
und alle anderen lassen T X Sei
A = ( 2 N − 1 ) 2 + 2 ( 2 N − 1 ) k X B = 2 ( 2 N − 1 ) k X + 2 k X 2 C = ( 2 N − 1 ) 2 + 2 ( 2 N − 1 ) k X + 2 k X 2
Wo k X = k ( X − 1 ) + ( 2 N − 1 )

Obwohl die von meiner Formel erzeugten pythagoreischen Tripel dazu passen, zeigt sie nicht den Beweis ihrer Rekursivität.
@SpoonedBread Was ist Zurückgezogenheit?
sorry schau nochmal
@SpoonedBread Bitte überprüfen Sie mein Update.
@SpoonedBread Vielen Dank, dass Sie meine Antwort akzeptiert haben. Entscheidest du dich auch dafür, das Kopfgeld zu vergeben oder zwei weitere Tage zu warten, um zu sehen, ob jemand eine noch bessere Antwort postet? Mein Beitrag war angemessen, aber kaum so streng, wie ich es mir vorstelle.
Ich werde noch 2 Tage warten, aber im Moment ist Ihre Antwort die günstigste.
@SpoonedBread. Gute Idee. Ich würde auch warten, um zu sehen, ob eine strengere Behandlung kommt.
@SpoonedBread. Ich bin immer noch neugierig zu wissen, warum Sie diese bestimmten "Sätze" von Tripeln wollen, da allen außer dem ersten die meisten Primitive mit den "Sprüngen" zwischen den Werten von "k" fehlen, die sonst um eins statt um eins erhöht würden ( 2 N − 1 ) .
Ich hoffe, einen geometrischen Beweis zu finden, der dieses Muster irgendwie erklären kann. (Obwohl ich es vorziehen würde, es selbst zu finden).
@SpoonedBread Herausforderndes Problem.. Vielleicht gibt Ihnen eines dieser Bilder eine Idee für einen Ansatz. Meine E-Mail ist in meinem Profil, wenn Sie außerhalb des Forums sprechen möchten.

Wir müssen allgemein gesprochen die allgemeinere Gleichung schreiben:

A X 2 + B X Y + C Y 2 = J Z 2

Ich habe zwar Formellösungen aufgenommen, aber ich sehe, dass es von Interesse ist, Ausdruckslösungen unter Verwendung einer der bekannten Lösungen zu verwenden.

Wenn wir wissen, was eine Lösung: ( X , j , z ) - Dann kannst du eine Formel für die Lösungen dieser Gleichung schreiben.

X = J X T 2 − C X k 2 + 2 ( C j k − J z T ) S + ( B j + A X ) S 2

Y = J j T 2 − 2 J z T k + ( C j + B X ) k 2 + 2 A X k S − A j S 2

Z = J z T 2 − ( B X + 2 C j ) k T + C z k 2 + ( B z k − ( 2 A X + B j ) T ) S + A z S 2

k , T , S - jede ganze Zahl hat uns gefragt.

Pythagoräische Tripel mit einer neuen Methode erzeugen?
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