Quadratische Drag-Projektilbewegung

$\newcommand{\dd}{\mathrm{d}}$Sie haben im Grunde zwei ODEs zu lösen:

$$\begin{align} \frac{\dd v^\mu}{\dd t}&=\frac{1}{m}F(x^\mu,v^\mu) \tag{1} \\ \frac{\dd x^\mu}{\dd t}&=v^\mu\tag{2} \end{align}$$ was für die meisten Kräfte in der Newtonschen Mechanik so ziemlich der Fall ist. Um dies numerisch zu lösen, wollen Sie Raum & Zeit diskretisieren . Mit einem solchen System wie (1) & (2) müssen wir uns wirklich nur Gedanken über die Aufteilung der Zeit machen.

Eine der stabileren Routinen ist eigentlich nicht RK4, sondern eine Variation der Leapfrog-Integration namens Velocity verlet . Dies macht (1) & (2) zu einem mehrstufigen Prozess:

$$\begin{align} a_1^\mu &= F\left(x^\mu_i\right)/m \\ x_{i+1}^\mu &= x^\mu_i + \left(v_i + \frac{1}{2}\cdot a_1^\mu\cdot\Delta t\right)\cdot\Delta t \\ a_2^\mu & =F\left(x^\mu_{i+1}\right)/m \\ v_{i+1}^\mu &= v^\mu_i + \frac{1}{2}\left(a_1^\mu+a_2^\mu\right)\cdot\Delta t \end{align}$$ was eigentlich ziemlich einfach numerisch zu implementieren ist, es ruft buchstäblich nur die Funktion für die Kraft auf und aktualisiert dann ein paar Arrays ( x,y,vx,vy).

Wo sich Ihr Problem unterscheidet, ist das$a^\mu=a^\mu\left(x^\mu,\,v^\mu\right)$, was die Berechnung der zweiten Beschleunigung etwas schwierig macht$a_2$kommt drauf an$v_{i+1}^\mu$und umgekehrt. Diese Antwort bei GameDev (auf jeden Fall lesenswert für einige numerische Aspekte des Problems) legt nahe, dass Sie den folgenden Algorithmus verwenden können

$$\begin{align} a_1^\mu &= F\left(x^\mu_i,\,v_i^\mu\right)/m \\ x_{i+1}^\mu &= x^\mu_i + \left(v_i + \frac{1}{2}\cdot a_1^\mu\cdot\Delta t\right)\cdot\Delta t \\ v_{i+1}^\mu &= v_i^\mu + \frac{1}{2}\cdot a_1^\mu\cdot\Delta t \\ a_2^\mu & =F\left(x^\mu_{i+1},\,v_{i+1}^\mu\right)/m \\ v_{i+1}^\mu &= v^\mu_i + \frac{1}{2}\cdot\left(a_2^\mu-a_1^\mu\right)\cdot\Delta t \end{align}$$ obwohl der Autor dieses Beitrags sagt,

Es ist nicht ganz so genau wie Runge-Kutta vierter Ordnung (wie man es von einer Methode zweiter Ordnung erwarten würde), aber es ist viel besser als Euler oder naive Geschwindigkeit Verlet ohne die Zwischengeschwindigkeitsschätzung und behält immer noch die symplektische Eigenschaft von normal Geschwindigkeits-Verlet für konservative, nicht geschwindigkeitsabhängige Kräfte.

Da dies eine Projektilbewegung ist,$x=y=0$ist wahrscheinlich eine natürliche Wahl für Anfangsbedingungen, mit$v_y=v_0\sin(\theta)$Und$v_x=v_0\cos(\theta)$wie es normal ist.