Quadrupel von pythagoräischen Tripeln mit gleichem Flächeninhalt

Question

Quadrupel von pythagoräischen Tripeln mit gleichem Flächeninhalt

Mathematik
Zahlentheorie
pythagoräische Tripel

idm

Kann man explizit finden $a_i,b_i,c_i\in\Bbb N,i=1,2,3,4$ so dass
$A_{ich} < B_{ich}, Und A_{ich}^{2} + B_{ich}^{2} = C_{ich}^{2} für ich = 1, 2, 3, 4$ $a_i<b_i, \qquad \text{ and } \qquad a_i^2+b_i^2=c^2_i \qquad\text{for } i=1,2,3,4$ Und $A_{1} B_{1} = A_{2} B_{2} = A_{3} B_{3} = A_{4} B_{4}, C_{1} < C_{2} < C_{3} < C_{4} .$ $a_1b_1=a_2b_2=a_3b_3=a_4b_4, \qquad c_1<c_2<c_3<c_4.$

Etwas Kontext:

Ein pythagoreisches Tripel ist ein Tripel $(a,b,c)\in\Bbb N$ so dass $a^2+b^2=c^2$ . Das sagen wir $(a,b,c)$ ist primitiv, wenn $a,b$ Und $c$ sind teilerfremd . Im dedizierten Wikipedia- Artikel steht folgendes:

$\big((20, 21, 29), (12, 35, 37)\big)$ ist das erste Paar primitiver pythagoräischer Tripel, so dass die induzierten Dreiecke dieselbe Fläche haben $=210$ .
$\big( (4485, 5852, 7373), (3059, 8580, 9109), (1380, 19019, 19069)\big)$ ist ein Tripel von primitiven pythagoräischen Tripeln, so dass die induzierten Dreiecke dieselbe Fläche haben $=13123110$ .
Für jede natürliche Zahl $n$ , es gibt $n$ Pythagoräische Tripel mit unterschiedlichen Hypotenusen und gleichem Flächeninhalt.

Eine äquivalente Formulierung der obigen Frage lautet: Gibt es ein explizit bekanntes Quadrupel von pythagoreischen Tripeln, so dass die induzierten Dreiecke denselben Flächeninhalt haben?

Hinweis: A093536 behauptet, dass für ein solches Quadruple der fragliche Bereich sein wird $\geq 10^{17}$ .

Hinweis: Diese Probleme sind aus folgenden Gründen äquivalent: Es folgt aus der grundlegenden Tatsache, dass die Fläche eines Dreiecks einem pythagoräischen Tripel zugeordnet ist $(a,b,c)$ wird von gegeben $ab/2$ Und $2n^2=k^2$ hat nur $(0,0)$ als ganzzahlige Lösung. BTW beachte das $a_i,b_i,c_i$ sind teilerfremd, wenn und nur wenn $\gcd(a_i,\gcd(b_i,c_i))=1$ für $i=1,\ldots,4$ .

individuell

Schreiben Sie ein System nichtlinearer diophantischer Gleichungen und lösen Sie es. Für 4 wäre es schwierig zu lösen. Klein anfangen müssen.

idm

@individ Ich habe nicht einmal eine Ahnung, wie man ein solches System für 2 löst (ich habe nie an diophantischen Gleichungen gearbeitet, also an nichtlinearen ...). Hast du vielleicht ein paar Referenzen?

Gerry Myerson

Beachten Sie, dass A093536 diese Behauptung nur für primitive Tripel aufstellt .

Antworten (3)

Quadrupel von pythagoräischen Tripeln mit gleichem Flächeninhalt

Schreiben Sie ein System nichtlinearer diophantischer Gleichungen und lösen Sie es. Für 4 wäre es schwierig zu lösen. Klein anfangen müssen.
@individ Ich habe nicht einmal eine Ahnung, wie man ein solches System für 2 löst (ich habe nie an diophantischen Gleichungen gearbeitet, also an nichtlinearen ...). Hast du vielleicht ein paar Referenzen?
Beachten Sie, dass A093536 diese Behauptung nur für primitive Tripel aufstellt .

Gerry Myerson · Answer 1

Hier heißt es : „Man kann auch Quartette rechtwinkliger Dreiecke mit gleichem Flächeninhalt finden. Das Quartett mit dem kleinsten bekannten Flächeninhalt ist

(111, 6160, 6161), (231, 2960, 2969), (518, 1320, 1418), (280, 2442, 2458)

$(111, 6160, 6161), (231, 2960, 2969), (518, 1320, 1418), (280, 2442, 2458)$ mit Fläche

341880

$341880$ (Beiler 1966, S. 127). Guy (1994) gibt zusätzliche Informationen.“

Die Referenzen sind Beiler, AH, „The Eternal Triangle“, Kap. 14 in Recreations in the Theory of Numbers: The Queen of Mathematics Entertains. New York: Dover, 1966, und Guy, RK, „Triangles with Integer Sides, Medians, and Area“. §D21 in Unsolved Problems in Number Theory, 2. Aufl. New York: Springer-Verlag, S. 188-190, 1994. Aber es gibt eine 3. Auflage von Guys Buch.

Ich stelle fest, dass diese Dreiecke nicht alle primitiv sind, aber Sie haben nicht danach gefragt.

Sture Sjöstedt · Answer 2

Siehe A055193 i oeis.org . Ich habe in BEISPIEL etwas über die Fläche hinzugefügt, die fünf Dreiecke mit der gleichen Fläche ergibt Sture Sjöstedt sture.sjostedt(at)spray.se

poetase · Answer 3

Laut dem Kommentar von Sture Sjöstedt gibt es sie $5$ Tripel mit der gleichen Fläche von $71831760$ . Sie können alle Tripel finden, die für denselben Bereich existieren, indem Sie die Werte von einsetzen $D$ (Fläche) und eine Reihe von Werten von 'm' unter Verwendung der folgenden Formel, die ich (mit Hilfe) hier entwickelt habe :

N_{0} = 2 \sqrt{\frac{M^{2}}{3}} \cos ((\frac{1}{3}) \arccos (- \frac{3 \sqrt{3} D}{2 M^{4}}))

$n_0=2\sqrt{\frac{m^2}{3}}\cos\biggl({\biggl(\frac{1}{3}\biggr)\arccos{\biggl(-\frac{3\sqrt{3}D}{2m^4}\biggr)}\biggr)}$

N_{1} = 2 \sqrt{\frac{M^{2}}{3}} \cos ((\frac{1}{3}) \arccos (\frac{3 \sqrt{3} D}{2 M^{4}}))

$n_1=2\sqrt{\frac{m^2}{3}}\cos\biggl({\biggl(\frac{1}{3}\biggr)\arccos{\biggl(\frac{3\sqrt{3}D}{2m^4}\biggr)}\biggr)}$

N_{2} = N_{1} - N_{0}

$n_2=n_1-n_0$

Wo

⌊ \sqrt[4]{D} ⌋ \leq M \leq ⌈ \sqrt[3]{D} ⌉

$\lfloor\sqrt[4]{D}\rfloor\le m\le \lceil\sqrt[3]{D}\space \rceil$

Für den Fall von $71831760$ , Wo

⌊ \sqrt[4]{71831760} ⌋ = 92 \leq M \leq ⌈ \sqrt[3]{71831760} ⌉ = 416

$\lfloor\sqrt[4]{71831760}\rfloor=92\le m\le \lceil\sqrt[3]{71831760}\space \rceil=416$

$n_0=f(71831760,169)=161\qquad F(169,161)=(2640,54418,54482)$ $n_2=f(71831760,169)=15\qquad F(169,15)=(28336,5070,28786)$ $n_1=f(71831760,176)=169\qquad F(176,169)=(2415,59488,59537)$

Die anderen beiden nicht-primitiven Tripel mit derselben Fläche können durch Testen der Faktoren von gefunden werden $71831760$ . Das ist mühsam und es scheint, dass es nicht mehr als gibt $3$ Lösungen für diese kubische Gleichung, aber für das Beispiel von Gerry Myerson haben wir $D= 341880$ .

Für den Fall von $341880$ , Wo

⌊ \sqrt[4]{341880} ⌋ = 24 \leq M \leq ⌈ \sqrt[3]{341880} ⌉ = 70

$\lfloor\sqrt[4]{341880}\rfloor=24\le m\le \lceil\sqrt[3]{341880}\space \rceil=70$ wir wir finden

$n_0=f(341880,37)=33\qquad F(37,33)=(280,2442,2458)$ $n_2=f(341880,37)=7\qquad F(37,7)=(1320,518,1418)$ $n_1=f(341880,40)=37\qquad F(40,37)=(231,2960,2969)$ $n_1=f(341880,56)=55\qquad F(56,155)=(111,6160,6161)$

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