Quantisierungsrauschen und Quantisierungsfehler

Das Quantisierungsrauschen ist eine Abstraktion, die den Quantisierungsfehler als Signal darstellen soll (damit es mit anderen Formen von Rauschen verglichen werden kann.

Sie betrachten das Quantisierungsrauschen als die Differenz zwischen dem (echten) quantisierten Signal und dem (ideal) gesampelten Signal. Aufgrund des Informationsverlusts aufgrund der Quantisierung zeigt ein Signal, das A/D- und dann D/A-gewandelt wird, aufgrund der Quantisierung ein zusätzliches Rauschen.

Eine Situation, in der die Verwendung von Quantisierungsrauschen nützlich ist, ist die Bestimmung der Quantisierungstiefe (Anzahl von Pegeln/Bits) eines Signals. Durch Vergleich des Quantisierungsrauschens mit den anderen Rauschquellen ist es möglich, die maximal sinnvolle Anzahl von Pegeln für die Quantisierung zu bestimmen, da zusätzliche Bits durch Rauschen absorbiert würden.

Dies geschieht natürlich, wenn die Stichprobenregel eingehalten wird.

Ein sehr wichtiger Aspekt des Quantisierungsrauschens, der noch nicht erwähnt wurde, ist, dass es im Gegensatz zu einigen Arten von Rauschen im Allgemeinen nicht durch Filtern entfernt werden kann, aber das Hinzufügen der richtigen Art von Rauschen zu einem Signal, bevor es abgetastet wird, den Charakter von ändern kann das Quantisierungsrauschen so, dass ein Großteil davon entfernt werden kann.

Angenommen, man würde die Länge eines Bretts wiederholt auf den nächsten Zoll messen. Die erste Messung ergibt genau 53 Zoll, was bedeutet, dass die Platine mit ziemlicher Sicherheit irgendwo zwischen 52,5 Zoll und 53,5 Zoll liegt [wenn es einen Messfehler gibt, könnte es so etwas wie 52,499 Zoll oder 53,501 Zoll sein]. Die nächste Messung ergibt ebenfalls 53 “, ebenso wie der dritte, vierte, fünfte und hundert weitere. Man könnte das Brett millionenfach vermessen und wüsste nicht wirklich mehr über seine Länge als nach einer einzigen Messung.

Wenn man statt vieler identischer "genauer" Messungen das Maßband eher schlampig, aber verzerrungsfrei ausrichten würde (so dass das Maßband im Durchschnitt richtig positioniert wäre). Die erste Messung könnte 52" ergeben, was darauf hindeutet, dass das Board wahrscheinlich zwischen 50" und 54" liegt. Nicht so informativ wie eine genaue Messung. Die nächste Messung könnte jedoch 54" ergeben, was darauf hindeutet, dass das Board wahrscheinlich ist irgendwo zwischen 52" und 56". Wenn man die beiden Messungen zusammenfasst, würde dies darauf hindeuten, dass es wahrscheinlich zwischen 52 "und 54" liegt. Immer noch nicht so gut wie eine genaue Messung, aber es wird besser.

Die wichtigste Beobachtung ist, dass, wenn der hinzugefügte zufällige Slop die richtige gleichmäßige Verteilung hat und frei von Verzerrungen ist, die Gesamtzahl von 100 Messungen 5.283 Zoll beträgt, was darauf hindeuten würde, dass die Platine wahrscheinlich etwa 52,83 Zoll lang ist. In der Praxis weist zufälliger Slop oft eine unerwünschte Verzerrung auf, sodass der Durchschnitt von tausend Messungen möglicherweise nicht besser ist als der Durchschnitt von 100, aber wahrscheinlich besser als der Durchschnitt einer beliebigen Anzahl von "präzisen" Messungen, die alle melden 53".

Wenn man wüsste, dass man zehn Messungen durchführt und die systematische Abweichung hinzufügen könnte, wäre der optimale Ansatz, 0,05 Zoll zur ersten Messung, 0,15 Zoll zur zweiten, 0,25 Zoll zur dritten usw. bis zu 0,95 Zoll für die zehnte hinzuzufügen. und dann immer auf den nächstniedrigeren Zoll abrunden, anstatt auf den nächsten zu runden. Der Durchschnitt all dieser Messungen wäre dann die tatsächliche Länge, auf +/- 0,05 Zoll genau. In der Praxis ist es oft schwierig, so systematisch vorzugehen. Wenn man nicht wüsste, wie viele Messungen man machen würde, und nein Um zu wissen, ob eine bestimmte Messung die erste, zweite, dritte usw. war, könnte man zufällig eine ganze Zahl gleichmäßig von 0 bis 999 auswählen und das Messgerät vor jeder Messung um so viele Tausendstel Zoll verschieben. Das würde eine einzelne Messung verursachen einen Fehler von +/- 1 haben. 0" statt +/- 0,5", aber der Durchschnitt wiederholter Messungen würde auf den korrekten Wert konvergieren. Leider ist dieser Ansatz nicht ganz so einfach, wie es sich anhört.

Insbesondere funktioniert der Ansatz mit hinzugefügtem gleichförmigem Fehler gut, wenn der hinzugefügte Fehler gleichförmig ist und den Raum zwischen möglichen Werten genau überspannt. Wenn nicht, ist es viel weniger hilfreich. Nehmen wir zum Beispiel an, dass tatsächlich ein Betrag hinzugefügt wird, der gleichmäßig zwischen 0,1 Zoll und 0,9 Zoll verteilt ist. In diesem Fall würden Werte, deren Nachkommastellen zwischen 0,0" und 0,1" liegen, niemals auf den nächsten Zoll aufgerundet, während diejenigen, deren Nachkommastellen größer als 0,9" sind, immer aufgerundet würden. Solche Werte könnten nicht feiner als aufgelöst werden die nächsten 0,1 Zoll, egal wie man misst. Wenn der Mehrwert zwischen -0,1" und 1,1" liegen würde, wäre die Situation nicht ganz so schlimm, aber ein Wert, dessen Bruchteil genau 0,1" wäre.

Einige "Noise-Shaping"-Technologien verwenden verschiedene Ansätze, um ein Fehlersignal zu erzeugen, das vor dem Abtasten zu einem Eingang hinzugefügt werden kann, um sicherzustellen, dass der durchschnittliche gemessene Wert tatsächlich dem tatsächlichen Wert entspricht. Die tatsächlich verwendeten Techniken variieren jedoch beträchtlich mit der Anwendung.

Quantisierungsrauschen bezieht sich auf AC-Signale – wenn ein Signal digitalisiert und dann wieder in ein analoges umgewandelt wird, sind die digitalen Schritte, die dem Digitalisierungsprozess entsprechen, auf dem analogen Signal wie eine Treppe zu sehen, die das Signal auf und ab führt. Dies ist ein Beispiel dafür, wie Q-Rauschen betrachtet werden kann.

Der Q-Fehler bezieht sich auf die Tatsache, dass ein ADC ein analoges Signal nicht näher als den nächsten digitalen Schritt auflösen kann. Wenn es sich um einen 12-Bit-ADC mit einem Eingangsspannungsbereich von 0 bis 2,5 V handelt, beträgt die minimale Schrittgröße, die er auflösen kann (in der analogen Welt), 610 uV, dh 2,5 V / 2 ^ 12. Das ist ein Messfehler.

Beide beziehen sich auf die Schrittgröße und beide werden durch die Verwendung von ADCs mit größerer Auflösung verbessert.

Hier ist eine schnell gezeichnete Darstellung eines Signals, der ADC-Schritte und des Restfehlers (AKA-Rest - Sägezahnwellenform)

Der Quantisierungsfehler ist der unten gezeigte Restfehler, dh er beantwortet die Frage, was der Unterschied zwischen dem Signal und seinem quantisierten Wert ist. Es ist interessant festzustellen, dass dieser Fehler manchmal genau null sein kann, dies passiert, wenn die ADC-Darstellung auf dem genauen Pegel des Signals ist (unten in ganzzahligen Werten gezeigt), der Rest (der Fehler ist an diesen Punkten null) die blaue Linie kreuzt die rote Stufe.

Das Quantisierungsrauschen ist die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion des zufälligen Aspekts des Signals, der mit dem Quantisierungsfehler (Rest) wechselwirkt. Es hat die Form von$<Q_n> = \frac{Q}{\sqrt[2]{12}}$. Wobei Q = Schrittweite oder DN des ADC$Q = \frac{V_{range}}{{2^N}}$AKA (LSB). Der eigentliche Fehler reicht von$-\frac{1}{2}*Q_n<Error<\frac{1}{2}*Q_n$die seltsamen Klammern <> bedeuten Erwartung oder vorhergesagten (rms) Wert, dh einen Rauschterm.

Die Zeichnung unten ist NUR illustrativ und nicht genau