Quaternionen und 4-Vektoren

Das Objekt, von dem Sie sprechen, wird in der Mathematik als Clifford-Algebra bezeichnet. Der Fall, dass sich die Algebra über dem komplexen Körper befindet, hat im Allgemeinen eine deutlich andere Struktur als der Fall, dass sich die Algebra über dem in der Physik wichtigen realen Körper befindet. In der Physik wird die Algebra im speziellen Fall von 4 Dimensionen unter Verwendung der Minkowski-Metrik, wie Sie sie in Ihrer Frage haben, und über dem komplexen Feld als Dirac-Algebra bezeichnet. Sobald Sie den Namen Clifford Algebra haben, können Sie sie in Google nachschlagen, wo der erste Eintrag wenig überraschend Wikipedia ist, http://en.wikipedia.org/wiki/Clifford_algebra, was Ihnen einen guten Eindruck von den abstrakten Konstruktionsmethoden gibt, die Mathematiker bevorzugen. Die John-Baez-Seite, die von der Wikipedia-Seite aus verlinkt ist, ist sehr lesenswert (wenn Sie ein Jahr damit verbracht haben, alles zu lernen, was John Baez im Laufe der Jahre veröffentlicht hat, fast immer mit ungewöhnlicher Klarheit und ansprechend, würden Sie die meisten mathematischen Zusammenhänge kennen, die möglicherweise erforderlich sind für Physik nützlich sein).

Es ist nicht so sehr, dass die Clifford-Algebren lustig sind. Ihre quadratische Konstruktion ist oft eng mit vielen anderen Konstruktionen in der Mathematik verbunden.

Es gibt Leute, die sich für Clifford-Algebren begeistern, manchmal sehr oder zu sehr, und es wurde viel Tinte vergossen (die Antworten von Joel Rice und Luboš Motl sind für die Literatur eher unzureichend, außer dass sie sich entschieden haben, Ihre Frage eng zu interpretieren wo ich ausführlicher darauf eingegangen bin, wozu Ihre Konstruktion in der Mathematik geführt hat), aber es gibt noch viele andere Fische im Meer zu bewundern.

BEARBEITEN: Insbesondere angesichts von Mareks Kommentaren unten sollte gesagt werden, dass ich Isaacs Frage großzügig interpretiert habe. Es gibt einen etwas eklatanten Fehler im OP, auf den Luboš hinweist (den Sie hoffentlich sehen, Isaac). Nichtsdestotrotz gibt es eine Konstruktionsart, die eng mit dem verwandt ist, was ich als die Idee des OP, der Clifford-Algebren, angenommen habe.

Isaac, ich denke, deine Ableitung sollte so aussehen, wenn wir nur Quaternionen verwenden, nehmen$q=t+ix+jy+kz$,

EDIT(2): Hallo, Isaac. Ich habe über Nacht viel zu viel darüber nachgedacht. Ich denke jetzt, da ich mich geirrt habe, hast du keinen Fehler gemacht. Ich denke, Sie haben Ihren Ausdruck beabsichtigt$(a,b,c,d)^2$das positiv-definite Skalarprodukt bedeuten$a^2+b^2+c^2+d^2$. Bei dieser Lesart sehen wir jedoch drei unterschiedliche Strukturen, das positiv-definite innere Produkt, die Quaternionen und das innere Produkt des Minkowski-Raums, das sich aus der gemeinsamen Verwendung der ersten beiden ergibt. Teil dessen, was mich dazu veranlasste, eine andere Konstruktion einzuführen, ist, dass in Ihrer die Verwendung der Quaternionen überflüssig ist, weil Sie das gleiche Ergebnis erhalten würden, das Sie bemerkenswert fanden, wenn Sie es nur verwenden würden$(a,ib,ic,id)^2$(wie Luboš auch erwähnte). Sogar das positiv-definite innere Produkt ist überflüssig, da uns wirklich nur das innere Produkt des Minkowski-Raums interessiert. Außerdem kenne ich natürlich etwas, das ähnlich aussieht und das seit über einem Jahrhundert mathematisch produktiv ist und das nur mit der Idee einer nichtkommutativen Algebra und dem inneren Produkt des Minkowski-Raums konstruiert werden kann.

Um das Obige fortzusetzen, können wir schreiben$\gamma^1=i$,$\gamma^2=j$,$\gamma^3=k$für die quaternionischen Basiselemente zusammen mit dem Basiselement$\gamma^0$, dann können wir die Algebra durch die Produkte von Basiselementen der Algebra definieren,$\gamma^\mu\gamma^\nu+\gamma^\nu\gamma^\mu=2g^{\mu\nu}$. Alternativ für jeden Vektor$u=(t,x,y,z)$wir können schreiben$\gamma(u)=\gamma^0u_0+\gamma^1u_1+\gamma^2u_2+\gamma^3u_3$, dann können wir die Algebra durch das Produkt für beliebige 4-Vektoren definieren,$\gamma(u)\gamma(v)+\gamma(v)\gamma(u)=2(u,v)$, wo$(u,v)$ist das innere Produkt des Minkowski-Raums. Daher haben wir$[\gamma(u)]^2=(u,u)$. Jetzt wird alles, in meinen Augen und hoffentlich auch in Ihren Augen, ziemlich sauber und ordentlich und entspricht dem herkömmlichen Formalismus.

Es ist einfach lustig. Beachten Sie, dass Ihre Gleichung keine einzige allgemeine Quaternion verwendet. Sie verwenden nur die$i,j,k$imaginäre Einheiten ad hoc , um drei Minuszeichen zu erhalten, wann immer Sie sie brauchen.

Wenn Sie eine tatsächliche Quaternion verwenden

Da wir diese Relationen nicht wirklich verwendet haben, haben wir keine vollständigen Quaternionen verwendet - außer als bedeutungsloses Buchhaltungsinstrument. Auf die gleiche Weise kann man 8 reelle Zahlen unter dem Dach eines einzigen "Oktonions" organisieren, außer dass, wenn die komplizierte und coole Oktonions-Einmaltabelle - mit der$G_2$Automorphismus-Gruppe - nie verwendet wird, ist es klar, dass die "Oktonion"-Interpretation nur ein Spiel war, um einer Sammlung von 8 Zahlen einen Namen zu geben. Aber nicht jede Ansammlung von 4 oder 8 Zahlen verdient die Bezeichnung „Quaternion“ und „Oktonion“, auch wenn man die einzelnen Bestandteile natürlich auch aus „Quaternion“ und „Oktonion“ herausholen kann.

Genauso ist ein allgemeines Paar aus zwei reellen Zahlen einfach keine komplexe Zahl. Eine komplexe Zahl muss ihrem Wesen nach als eine Zahl fungieren – also muss irgendwo oder überall im Formalismus ein Begriff der Holomorphie erforderlich sein – und nicht als zwei Zahlen. Die in den anderen Antworten verlinkten Referenzen verstehen den Zweck und die Relevanz all dieser mathematischen Strukturen nicht und führen daher zu falschen Antworten auf die grundlegende Frage, ob der Trick echt oder nur ein Spaß ist. Die richtige Antwort ist, dass es nur ein Spaß ist und Ihr Spaß sogar eine falsche Signatur verwendet, die sich von einem etwas natürlicheren Spaß unterscheidet.

Cornelius Lanczos hat in seinem Buch „The Variational Principles of Mechanics“ ein Kapitel über Quaternionen und spezielle Relativitätstheorie. Es wurde also verwendet. Aber es scheint einfacher, die Multivektoralgebra der Raumzeit zu betrachten, damit t, x, y, z wirklich auf der gleichen Grundlage stehen.

Es gibt ein Buch: "Quaternions, Clifford Algebras and Relativistic Physics". von Patrik R. Girard. Finden Sie dies, wenn Sie mehr erfahren möchten - sehr gute Lektüre, nicht sehr komplex und nicht sehr lang. Ich zitiere nur den ersten Absatz von Kapitel 3.

Seit den Anfängen der speziellen Relativitätstheorie wurden komplexe Quaternionen verwendet, um diese Theorie zu formulieren [45]. Dieses Kapitel etabliert den Ausdruck der Lorentz-Gruppe unter Verwendung komplexer Quaternionen und gibt einige Anwendungen. Komplexe Quaternionen bilden einen natürlichen Übergang zur Clifford-Algebra H ⊗ H.

Tja und die Referenz:

[45] L. Silberstein, Die Relativitätstheorie, Macmillan, London, 1914.

Sie sind auf ein fruchtbares Gebiet gestoßen. Obwohl es nicht genau das ist, wonach Sie gefragt haben, kann ich Ihnen sagen, dass die vielleicht interessanteste Beziehung zwischen orthogonalen Gruppen und Quaternionen durch die Betrachtung von Spinoren entsteht. Wie Sie vielleicht wissen, heißt die Symmetriegruppe$Spin$double deckt die Gruppe der Rotationen ab und ist die relevantere Gruppe für die Physik, da Spinoren sich unter dieser größeren Gruppe transformieren. Ein nützliches Beispiel ist die doppelte Abdeckung$SU(2) \rightarrow SO(3),$das ist,$SU(2) = Spin(3)$in der euklidischen Signatur.

Topologisch,$SU(2)$ist eine 3-Sphäre, die wir uns als Einheitsquaternionen vorstellen können (denken Sie daran, dass die Norm euklidisch ist, wie von anderen hervorgehoben). Um die Karte zu verstehen$SU(2) \rightarrow SO(3),$Lassen$v$sei eine imaginäre Quaternion (die wir uns als 3-Vektor vorstellen können) und sei$q$drin sein$SU(2).$Dann, da die Multiplikation von Quaternionen die Norm bewahrt,

hat die gleiche Norm wie v, und Sie werden feststellen, dass es immer noch imaginär ist. So die Aktion$v\stackrel{q}{\mapsto} \overline{q}vq$von$SU(2)$an$R^3$(die imaginären Quaternionen) ist durch eine Rotation. Außerdem,$q$und$-q$genauso handeln. Wir haben also eine doppelte Abdeckung von beschrieben$SU(2)$auf dreidimensionale Drehungen.

Vielleicht haben Sie nicht sofort nachgefragt oder herausgefunden, aber es ist wahrscheinlich wissenswert.

Notieren Sie sich das zunächst$q = t + xi + yj +zk$und$q\prime = t - xi - yj - zk$

So$qq\prime = t^2 + x^2 + y^2 + z^2$

Daher sollte es sein$t^2 + x^2 + y^2 +z^2$und daher ist es nicht die richtige Signatur der speziellen Relativitätstheorie. Zweitens, da Quaternion kein Analogon zu einem Begriff wie der holomorphen Funktion hat (da sein Konjugat nicht unabhängig ist), ist es meines Wissens weder physikalisch ideal noch nützlich. Sie können es verallgemeinern und haben eine hervorragende Nützlichkeit, aber Sie müssen seine Divisions-Algebra-Eigenschaft aufgeben. Ein Beispiel ist die Clifford-Algebra.

Quadrieren Sie jede Quaternion, nicht unbedingt eine, die Raum und Zeit beinhaltet:

Stellen Sie nun die umgekehrte Frage: Welche Art von Physik ergibt sich, wenn der Raum-Zeit-Zeit-Term für zwei verschiedene Beobachter invariant ist? In diesem Fall ändert sich dann der Intervallbegriff. Der einzige Bereich der Physik, den ich kenne, in dem sich Intervalle ändern (dynamisch sind), ist die Schwerkraft. Wenn die Schwerkraft auf ein neues Invarianzprinzip in der Natur zurückzuführen ist (die Raum-Zeit-Zeit ist für verschiedene Beobachter in einem Gravitationsfeld gleich), dann hat man wie bei der speziellen Relativitätstheorie keine Feldgleichung. Ohne Feldgleichung gibt es kein Kraftteilchen.

Was in der ursprünglichen Frage vergessen wurde, ist vielleicht das Interessanteste, worüber man sorgfältig nachdenken sollte.

Die Konstruktion, die Sie detailliert beschrieben haben, ist ein wenig adhoc, weil Sie die Norm für die Quaternionen nicht verwenden. Es gibt jedoch eine Möglichkeit, die Multiplikation der Quaternionen zu ändern, mit der Sie genau das tun können.

James Cockle führte die Split-Quaternionen 1843 ein, wo er es spezifizierte$i^2=-1, j^2=+1, k^2=+1$. Wenn wir dies weiter modifizieren, indem wir das angeben$i^2=+1$auch dann bekommen wir für eine Quaternion$v=a+bi+cj+dk$(dieser Art) die Norm$v^2=v^*v=a^2-b^2-c^2-d^2$wo$v^*=a-bi-cj-dk$ist das Konjugat von$v$. Dies ist die Minkowski-Metrik, die auf natürliche Weise durch eine Norm ausgedrückt wird.

Ich weiß nicht, ob es einen Standardnamen für diese Art von Quaternion gibt. Koquaternionen könnten eine Möglichkeit sein, aber es scheint, dass dies auch ein Synonym für die geteilten Quaternionen ist. Leider haben im Gegensatz zu den üblichen Quaternionen nicht alle Nicht-Null-Elemente eine Inverse. Aber es gibt eine natürliche Bedingung, die es Ihnen erlaubt, zu sagen, dass Sie können: Solange die Norm des Elements nicht verschwindet, können wir das Gegenteil nehmen. Dies erinnert an die Funktionsweise von Determinanten in der linearen Algebra.

Der Minkowski-Raum wird normalerweise als normierter Signaturvektorraum ausgedrückt$(1,3)$. Was wir gerade gezeigt haben, ist, dass wir auf diesem Raum natürlich eine algebraische Struktur platzieren können. Und ähnlich für solche Räume jeglicher Signatur, was zum Konzept der Clifford-Algebren führt, wo wir das spezifizieren$p$Generatoren Quadrat zu +1 und$q$Generatoren Quadrat zu -1.

Wie nützlich das für die Relativitätstheorie ist, bin ich mir nicht sicher. Aber es ist normalerweise eine gute Idee , zusätzliche natürliche Strukturen zu finden, mit denen man arbeiten kann.

Es stimmt, dass die Quaternion-Multiplikation das Raum-Zeit-Intervall der Relativitätstheorie ergibt. Wenn Sie die anderen drei Begriffe dazu bringen könnten, etwas Interessantes zu bedeuten, das dazu passt, hätten Sie etwas Interessantes .

Menschen neigen dazu, Quaternionen nur für Rotationen zu verwenden. Das beinhaltet$YXY^t$.

Was bekommst du, wenn du es einfach tust$YX$?

Wenn du es einfach tust$YX$Sie erhalten eine keplersche Ellipsenbahn anstelle einer Rotation.

Satz$X$zu$[0,A]$wo$A$ist der Vektor vom Mittelpunkt der Ellipse zum nächstgelegenen Orbitalpunkt vom Fokus, wobei der Zeitparameter auf Null gesetzt ist. (Der Einfachheit halber habe ich eingestellt$|A|=1$da die Skala willkürlich ist.

Setzen Sie G als beliebige Einheitsquaternion$[0,B]$.$B\times X$ist die kleine Halbachse der Ellipse.$B.\overline{X}$ist die Exzentrizität.$|B|X$steht im Mittelpunkt.

Für jede mittlere Anomalie$E$, finden$Y=[cos(E), sin(E)G]$und wenn Sie das mit einem beliebigen Quaternion auf der Umlaufbahn multiplizieren, erhalten Sie ein weiteres Quaternion auf der so weit gedrehten Umlaufbahn. Die Zeitdimension dieser Quaternion zeigt, wie weit die Zeit im Verhältnis zu einer ganzen Umlaufzeit vorgerückt oder verzögert ist.

$YXY^t$gibt eine Möglichkeit, die Exzentrizität zu entfernen, wenn$A$und$B$stehen nicht senkrecht.

Berechnen Sie eine Keplerbahn in zwei Schritten. Finden Sie die mittlere Anomalie für den gewünschten Eingabefall und führen Sie eine Quaternion-Multiplikation durch.

Alles, was Sie mit der Quaternion-Multiplikation tun, wenn eines der Quaternionen ein Einheitsvektor ist, ist analog zur Berechnung einer elliptischen Umlaufbahn.

Können Sie sich eine Möglichkeit vorstellen, spezielle Relativitätsrechnungen analog zur Berechnung elliptischer Umlaufbahnen durchzuführen?