Rechnerische Skalierung von Quanten- und klassischen Monte-Carlo-Algorithmen

Der Staat$\rho$für einen quantenmechanischen Hamiltonoperator$\hat{H}$bei Temperatur$T = \frac{1}{k_B\beta}$Ist:

• $\frac{e^{-\beta \hat{H}}}{\rm{Tr}\left(e^{-\beta \hat{H}}\right)}$für ein kanonisches Ensemble ,
• $e^{-\beta \left(\hat{H}-\sum_i\mu_i\hat{N}_i-\Omega\right)}$für ein großkanonisches Ensemble mit großem Potenzial $\Omega$, und für Partikel des Typs$i$: Zahlenoperatoren $\hat{N_i}$und chemische Potentiale $\mu_i$.

Betrachten wir also die Kosten einer Exponentialmatrix (was Sie "exakte Diagonalisierung" nennen). Dies ist auch heute noch ein sehr aktives Forschungsgebiet. Der Algorithmus, den MATLAB R2016b verwendet, stammt aus einer Diplomarbeit aus dem Jahr 2010, und 2016 wurden mindestens 3 neue Algorithmen entwickelt ( Ruiz et al . 2016 , Grebrimedhin et al. 2016 , Guttel et al. , 2016 ). Die Wahl des Algorithmus und die Kosten dieses Algorithmus hängen von den Eigenschaften von ab$H$und darauf, wie genau Sie darauf abzielen, die Antwort zu erhalten, aber$15n^3$Fließkommaoperationen (FLOPs) wurde hier als grobe Schätzung angegeben , wobei$n$ist die Dimension der Matrix, die für einen Hamiltonoperator steht$M^2$Wo$M$ist die Anzahl der Ebenen, die in Ihrem Quantensystem enthalten sind.

• $M=2$für ein Zwei-Niveau-System wie den Spin eines Elektrons,
• $M=39$für die Schwingungsniveaus des elektronischen Grundzustandes von$^{6,6}$Li$_2$,
• $M=2^Q$für$Q$Qubits bzw$Q$Spin-1/2 Teilchen,
• $M$ist abzählbar unendlich groß für einen harmonischen Quantenoszillator,
• $M$ist für ein kontinuierliches variables System wie die Position überabzählbar unendlich groß$\hat{x}$.

Also eine grobe Abschätzung der deterministischen Algorithmuskosten$15M^6$FLOPs für ein$M$-Level-System, mit dem Sie Recht haben, ist exponentiell in Bezug auf die Anzahl der Spin-1/2-Teilchen.

Was die Monte-Carlo-Methoden betrifft, müssen Sie genauer angeben, wonach Sie suchen. Die Anzahl der Makroiterationen, die erforderlich sind, um Ihre Antwort mit einer Genauigkeit von zu erhalten$\pm\epsilon$Ist$\mathcal{O}\left(\sqrt{1/\epsilon}\right)$und jede dieser Makro-Iterationen wird davon abhängen$M$, aber um Ihnen die FLOP-Zählung zu geben, müssen Sie Ihre Frage genauer stellen.