Rechnerisches Lösen des Zwei-Körper-Problems für Patched-Conics-Approximation

Sie haben wahrscheinlich bereits eine Antwort gefunden, als Sie diese Frage gestellt haben, aber ich gebe trotzdem eine Antwort, falls es hilft.

Die Verwendung der Orbitalelemente ist der "richtige Weg", dies zu tun. Es gibt 6 davon, die in diesem Wikipedia-Artikel beschrieben werden :

• Exzentrizität$e$
• große Halbachse$a$
• Neigung$i$
• Längengrad des aufsteigenden Knotens$\Omega$
• Argument der Periapsis$\omega$
• wahre Anomalie$\theta$(was zeitabhängig ist)

Die ersten fünf von ihnen beschreiben die Geometrie einer Umlaufbahn vollständig in 3D. Die wahre Anomalie ist ein Winkel, der sich auf die Position des Körpers/Raumfahrzeugs auf dieser Umlaufbahn bezieht. Sie können alle diese Parameter aus Anfangszustandsvektoren (Position und Geschwindigkeit) berechnen, wenn Sie die Standard-Gravitationsparameter des Attraktorkörpers kennen. Die Mathematik wird in diesem PDF von René Schwarz beschrieben , wie man kartesische Orbitalzustandsvektoren in Orbitalelemente umwandelt.

Sobald Sie die Elemente einer Umlaufbahn haben, können Sie sie verwenden, um die Zustandsvektoren (Positions-/Radiusvektor und Geschwindigkeitsvektor) zu jedem beliebigen Zeitpunkt zu berechnen, indem Sie diesem anderen PDF folgen, in dem beschrieben wird, wie man Umlaufbahnelemente in kartesische Zustandsvektoren umwandelt. Einige im Dokument beschriebene Formeln funktionieren jedoch nur für elliptische Umlaufbahnen. Für hyperbolische Bahnen (wann$e > 1$) müssen Sie andere Formeln für die exzentrische und wahre Anomalie verwenden (siehe diesen Wikipedia-Artikel und die zweite Antwort auf diesen Beitrag ) sowie die Formel für den Geschwindigkeitsvektor aus dem Dokument anpassen (siehe diesen Beitrag ).

Die "kompliziert" aussehenden Rotationsmatrizen, die die Position und Geschwindigkeit des Raumfahrzeugs/Körpers im 3D-Raum festlegen, können in diesen Schritten entwickelt werden:

• Wählen Sie die Referenzvektoren für "rechts" und "oben", zB die x-Richtung (1, 0, 0) und die y-Richtung (0, 1, 0), ich nenne sie$\vec{u_x}$Und$\vec{u_y}$.
• Berechnen Sie den aufsteigenden Knotenvektor$\vec{u_{asc}}$: es ist$\vec{u_x}$herum gedreht$\vec{u_y}$um einen Winkel$\Omega$;
• Stellen Sie die Position ein$\vec{r} = \vec{o}$und die Geschwindigkeit$\vec{v} = \dot{\vec{o}}$wie im Dokument beschrieben (mit der modifizierten Formel ggf$e > 1$);
• Drehen$\vec{r}$Und$\vec{v}$um$\vec{u_y}$eines Winkels$\Omega + \omega$;
• Erneut drehen$\vec{r}$Und$\vec{v}$um$\vec{u_{asc}}$eines Winkels$i$.

(Beachten Sie, dass er in den Dokumenten von René Schwarz die z-Achse als die "oben" -Achse betrachtet, anstelle der y-Achse.)

Der Fall einer parabelförmigen Umlaufbahn ($e = 1$) kann, wie notovny in einem Kommentar sagte, höflich ignoriert werden (wende den Straußenalgorithmus an ).

Beachten Sie jedoch, dass Sie möglicherweise Extremfälle berücksichtigen müssen. dh wenn Sie es mit Umlaufbahnen zu tun haben, die Kreisbahnen sehr nahe kommen oder eine Nullneigung haben. In diesen Fällen funktionieren die Formeln für Winkel, wie die wahre Anomalie im ersten Dokument, nicht (sie geben NaN-Werte wegen der Fließkommagenauigkeit und Rundungen). Für diese speziellen Fälle müssen Sie also Standardvektoren setzen, zB den exzentrischen Vektor, und daraus die Winkel berechnen.

Was die Einheiten betrifft, erwarten die Formeln tatsächlich SI-Einheiten. (Sie können jedoch ein beliebiges Vielfaches dieser Einheiten verwenden, solange Sie dies in den Gleichungen berücksichtigen).