Reelle/komplexe Nullstellen für die Filterübertragungsfunktion

Also habe ich mich in das Filterdesign eingelesen und bin darauf gestoßen, wie man die Übertragungsfunktion eines Filters bestimmt, wenn seine Pole und Nullen gegeben sind. Ich bin auf die folgende Frage gestoßen, die mich etwas verwirrt hat, wie man die Nullstellen einer Übertragungsfunktion bestimmt.

Angenommen, Sie haben ein Tiefpassfilter dritter Ordnung, bei dem Übertragungsnullen vorhanden sind ω = 2 , ∞ , Pole bei − 1 , − 0,9 ± 1.1 J und eine DC-Verstärkung von Eins. Wenn ich die Arbeit durchgehe, erhalte ich die folgende Übertragungsfunktion:

T ( S ) = K ( S 2 + 4 ) ( S + 1 ) ( S + 0,9 + 1.1 J ) ( S + 0,9 − 1.1 J )

Wo K ist der Verstärkungsfaktor (berechnet unter Verwendung der Tatsache, dass die DC-Verstärkung eins ist).

Hier ist mein Problem. Die Frage besagt, dass es mehrere Übertragungsnullen gibt, gibt aber nicht an, wie viele Nullen vorhanden sind ω = 2 . Ich nahm an, dass die Null bei ω = 2 war komplex und führte zu einem konjugierten Paar ( S + 2 J ) ( S − 2 J ) und daher, wie ich kam S 2 + 4 für den Zähler. Aber gibt es eine Möglichkeit zu zeigen, dass die Null tatsächlich ein konjugiertes Paar und nicht real ist?

Angenommen, die Frage besagt stattdessen, dass es "eine Übertragungsnull bei ω = 2 ". Der Zähler der Übertragungsfunktion wäre dann gleich S − 2 , mit einer einzigen reellen Null, da die Null reell sein muss, wenn es nur eine von ihnen gibt (dh kein konjugiertes Paar)?

Mir scheint im Moment, dass ich etwas Offensichtliches übersehe.

Wie erzeugt dieser TF eine Null im Unendlichen?
Kann der Zähler die Form haben ( S + 2 ) ( S + 2 ) = S 2 + 4 S + 4 ?
Kannst du die Frage wörtlich posten? Und einen Link zu der Frage, ob der Zugriff auf das Material, das Sie gerade lesen, online verfügbar ist?
@AJN Sicher, ich werde sehen, ob ich einen Screenshot davon bekommen kann. Die Frage(n) ähneln den Aufgaben 17.11 und 17.12 aus dem Lehrbuch "Microelectronic Circuits" von Sedra und Smith, 7. Auflage, nur mit anderen Werten.
@Andyaka Meine Logik war, den absoluten Wert des TF (Größe) zu nehmen und dann die Grenze als s zu nehmen --> ∞ . Wenn Sie die Regel von L'Hopital anwenden, erhalten Sie eine 1 / s-Beziehung, da der Nenner Grad 3 und der Zähler Grad 2 ist, daher die Größe Null als s --> ∞
Wenn Sie den Nenner ausmultiplizieren würden, gäbe es reelle Terme, die nicht mit s verbunden sind, daher gibt es keine Null im Unendlichen. OK, ich denke, sie könnten sich mit aufheben S 2 Bedingungen. Ich habe nicht gerechnet.

Antworten (1)

Wäre der Zähler der Übertragungsfunktion dann gleich s−2

Nein, denn S-2 impliziert Zero at

( σ , ω ) = ( 2 , 0 )
während Sie bei Null annahmen
ω = 2
und Sie können sehen, dass in beiden Fällen die Imaginärteile unterschiedlich sind.

Die Frage besagt, dass es mehrere Übertragungsnullen gibt, gibt aber nicht an, wie viele Nullen bei ω = 2 sind

Es gibt nur zwei Möglichkeiten, entweder 1 Null oder 2 Null bei ω = 2, aber zwei Nullen bei ω = 2 sind nicht möglich, da dies zu einem komplexen Zählerkoeffizienten führt und nicht realisierbar ist, und ebenso sind zwei Nullen bei unendlich ebenfalls nicht möglich aus demselben Grund wie oben.

Ich nahm an, dass die Nullstelle bei ω=2 komplex ist, was zu einem konjugierten Paar (s+2j)(s−2j) führt

Ihre Annahme scheint richtig zu sein, mal sehen, warum -

Obwohl Null bei ω=2 gegeben ist, wäre eine vernünftige Schlussfolgerung eine Null bei

( σ , ω ) = ( σ , 2 )
aber es ist auch gegeben, dass eine Null unendlich ist, woraus Sie schließen können, dass der Zähler ein Polynom 2. Grades ist. Aber für physikalisch realisierbare Filter ist eine der Bedingungen, dass alle Koeffizienten von Zähler und Nenner reell sein sollten. Wenn also eine Null bei ist
S − ( σ + J 2 )
so andere wären bei
S − ( σ − J 2 )
. Wenn wir den Realteil von Zero als Variable betrachten, können wir seinen Wert nicht berechnen, da wir nur eine Bedingung (DC-Verstärkung) und zwei Variablen haben, also die einzige logische Interpretation von
ω = 2
ist, dass seine Null bei (0,2) liegt, daher wird der Zähler sein
( S − J 2 ) ( S + J 2 ) = S 2 + 4

Vielen Dank für diese Erklärung @user215805 . Es scheint, dass meine Verwirrung das angenommen hat ω war der Realteil der komplexen Zahl, im Gegensatz zum Wert des Imaginärteils.
Der Grund, warum ich gefragt habe, wie sich die Dinge ändern, wenn eine einzelne Übertragungsnull angegeben wird, stammt tatsächlich aus einer Version dieser Frage, bei der ein Tiefpassfilter zweiter Ordnung berücksichtigt wird. Bei dieser Frage gibt es Pole − 0,9 ± 1.1 J und eine Übertragungsnull bei ω = 2 , mit DC-Verstärkung immer noch Eins. Es fragt auch, wie der Gewinn wäre ω Ansätze ∞ . Wäre der Zähler noch S 2 + 4 ? Meine anfängliche Vermutung war nein, weil bei einem LP-Filter die Verstärkung auf 0 fällt ω Ansätze ∞ , was nur passieren könnte, wenn deg(Zähler)<deg(Nenner).
@ JTaft121 , auch wenn Zähler ist
S 2 + 4
ist nicht immer noch Grad (Zähler)<Grad (Nenner) und die Verstärkung wäre Null, wenn sich ω ∞ nähert. Und das haben Sie erwartet?
Ich habe erwartet, dass die Übertragungsfunktion für das Tiefpassfilterproblem zweiter Ordnung ist
T ( S ) = K S 2 + 4 ( S − 0,9 + 1.1 J ) ( S − 0,9 − 1.1 J )
da gibt es eine übertragung null an ω = 2 und Stangen an 0,9 ± 1.1 J . Aber jetzt bin ich mir nicht sicher, weil die von mir angegebene Übertragungsfunktion deg (num) = deg (den) hat, was nicht als 0 geht ω Ansätze ∞ .
Reelle/komplexe Nullstellen für die Filterübertragungsfunktion
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