Reicht dies aus, um zu schließen, dass G falsch ist?

Nehmen wir ein logisches System mit nur 3 Axiomen (Denkgesetzen) an:

Axiom 1: A statement that is true will remain true till a change is made in the system.
Axiom 2: A statement may not be true and not true.
Axiom 3: A statement must either be true or not true.

Grundregeln sind, dass sich Aussagen auf die Wahrheit anderer Aussagen beziehen und boolesche Operatoren UND, ODER und NICHT verwenden können, um Wenn-dann-Aussagen zu sagen.

Dann formulieren wir eine Aussage, G:

G can not be proven as true.

Lassen Sie uns nun diese Tabelle ausfüllen (mit Häkchen und Kreuzen):

G is       Provable true     Provable false     Not provable true/false
-----------------------------------------------------------------------
True            ?1                 ?2                  ?3
False           ?4                 ?5                  ?6

Offensichtlich können Leerzeichen 2 und 4 nicht gekreuzt werden und können gekreuzt werden.

Wenn G wahr ist, dann besagt es, dass es nicht bewiesen werden kann. Deshalb wird Leerzeichen 1 durchgestrichen.

Wenn G falsch ist, kann es entweder als wahr oder als falsch bewiesen werden. Unter unserer gegenwärtigen Annahme (dass sie falsch ist) können wir nur beweisen, dass sie falsch ist.

Reicht dies aus, um zu schließen, dass G falsch ist?

Was ist mit Slot 3? Steckplatz 6 wäre realisierbar, außer dass Sie ihn im vorletzten Satz weggenommen haben.
Sie müssen darauf achten, sowohl beweisbar als auch wahr im selben Kontext zu "handhaben" ... Siehe Gödels Unvollständigkeitssatz und Tarskis Undefinierbarkeitssatz .
Ist Aussage G selbstreferenziell? Wenn ja, müssen Sie uns Regeln geben, was passiert (wertet das interne G zuerst aus). Ist die Logik auch in undefinierten Fällen standardmäßig wahr oder falsch? (z. B. wird die materielle Bedingung in der Satzlogik standardmäßig auf True gesetzt, um ungetestete Bedingungen zu handhaben).

Antworten (1)

Sofern ich den Punkt nicht verfehle, bietet keines Ihrer Axiome eine Definition des Beweises oder besagt, dass alle wahren Aussagen in Ihrem System beweisbar sein müssen . Angesichts dessen gibt es keinen Grund, warum eine Aussage nicht sowohl wahr als auch nicht beweisbar wahr sein könnte – oder falsch, aber nicht beweisbar falsch.

Meiner Meinung nach bräuchte Ihr axiomatisches System eine formale Definition von Beweisen sowie eine Definition, welche Arten von Aussagen in seinen Diskursbereich gehören, damit diese Frage sinnvoll ist.

Sie machen im Grunde eine Runderneuerung von Terrain, das zu Beginn der modernen symbolischen Logik abgedeckt wurde. Vielleicht möchten Sie einen Blick in die Arbeit von Tarski, Russell und Gödel werfen, um zu sehen, wie diese Fragen ursprünglich aufkamen und wie sie behandelt wurden.

Dieses Thema scheint viel komplizierter zu sein, als ich es mir vorgestellt habe; Entschuldigung für die Störung.
Es ist nicht störend, dafür ist die Seite da. Ich habe meine Antwort bearbeitet, um etwas mehr Kontext bereitzustellen.
Reicht dies aus, um zu schließen, dass G falsch ist?
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