Rekursionsbeziehungen und Stabilitätsanalyse

Ich habe eine Rekursionsbeziehung in Form der folgenden zwei Gleichungen:

X T + 1 = X T + v T + 1 v T + 1 = w v T + C j ( G − X T )

Ich möchte diese beiden Gleichungen in Matrixform schreiben, damit ich sie mit einigen Techniken der linearen Algebra analysieren kann. Das Problem ist, dass ich anscheinend nicht als quadratische Matrix schreiben kann.

Hier meine Teillösung:

X T + 1 = X T + w v T + C j ( G − X T ) v T + 1 = w v T + C j ( G − X T )

Ich werde alle gruppieren X T Und v T zusammen:

X T + 1 = ( 1 − C j ) X T + w v T + C j G v T + 1 = − C j X T + w v T + C j G

Wenn ich setze G = 0 , dann würde dies wie folgt in eine schöne saubere Form kommen:

X T + 1 = ( 1 − C j ) X T + w v T X T + 1 = − C j X T + w v T

Das lässt sich also wie folgt schreiben:

( X T + 1 v T + 1 ) = ( 1 − C j w − C j w ) ( X T v T )

Die Matrix wäre daher leicht zu diagonalisieren usw. Aber wir haben einen vereinfachenden Fall gemacht G = 0 . Kann ich dieses Formular für den Fall noch machen, wann G ≠ 0 ? Wie kann ich die Matrix ändern?

Danke

Antworten (1)

Sie fragen im Grunde, wie Sie die inhomogene Matrixgleichung umformen können

( X T + 1 v T + 1 ) = ( 1 − C j w − C j w ) ( X T v T ) + ( C j G C j G )
in ein homogenes.

Um Schreibarbeit zu sparen, nennen wir Ihre Matrix M , den linken Vektor Y T + 1 → , und der konstante Vektor auf der rechten Seite C → , also präsentiert sich Ihre Gleichung jetzt wie

Y T + 1 → = M Y T → + C →   .

Definieren Sie nun die Teleskopvariable

Z T → ≡ Y T + 1 → − Y T → = ( M − ICH ) Y T → + C →   ,
so dass
Z T + 1 → = Y T + 2 → − Y T + 1 → = M Y T + 1 → + C → − M Y T → − C → = M Z T →   ,
eine homogene Rekursion, in Ordnung.

Sie können jetzt damit fortfahren, die Eigenwerte von M zu untersuchen , und so weiter und so weiter ... um die Umlaufbahn Ihres Vektors zu bestimmen.

Siehe WP .

Rekursionsbeziehungen und Stabilitätsanalyse
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v