Das müssen Sie nicht . Tatsächlich können Sie direkt in 2D arbeiten und Dinge explizit lösen, da die Bedingung für die reziproke Basis das ist$b_i\cdot a_j = 2\pi\delta_{ij}$liest in Matrixschreibweise

$$\begin{pmatrix} b_{1x} & b_{1y} \\ b_{2x} & b_{2y} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{1x} & a_{2x} \\ a_{1y} & a_{2y} \end{pmatrix} = 2\pi \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} ,$$ Sie müssen also nur mit der expliziten Matrixinverse auf der rechten Seite multiplizieren, um zu erhalten $$\begin{pmatrix} b_{1x} & b_{1y} \\ b_{2x} & b_{2y} \end{pmatrix} = \frac{2\pi}{a_{1x}a_{2y}-a_{1y}a_{2x}} \begin{pmatrix} a_{2y} & -a_{2x} \\ -a_{1y} & a_{1x} \end{pmatrix} ,$$ oder transponieren Sie dies zur Verdeutlichung, damit Sie die Matrixgleichung Spalte für Spalte ablesen können, um die zu erhalten$b_i$, $$\begin{pmatrix} b_{1x} & b_{2x} \\ b_{1y} & b_{2y} \end{pmatrix} = \frac{2\pi}{a_{1x}a_{2y}-a_{1y}a_{2x}} \begin{pmatrix} a_{2y} & -a_{1y} \\ -a_{2x} & a_{1x} \end{pmatrix} .$$ Sie können dann von Hand überprüfen, ob diese mit der Projektion auf dem übereinstimmt$x,y$Ebene der Ergebnisse erhalten Sie aus den 3D-Formeln, indem Sie den dritten Vektor mitnehmen$z$.

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Wenn Sie hingegen beim dreidimensionalen Formalismus bleiben wollen (der Sie dann für beide Fälle die gleichen Formeln verwenden lässt), müssen Sie Ihre Basis der Ebene mit einem dritten Vektor ergänzen, um die Spanne drei zu machen -dimensional. Dieser dritte Vektor muss einen Wert ungleich Null haben$z$Komponente (oder sie wäre linear abhängig von$a_1$Und$a_2$), aber Sie benötigen zusätzliche Einschränkungen, um es eindeutig anzugeben.

Diese Einschränkungen ergeben sich aus der Tatsache, dass

1. Sie wollen$b_3\cdot a_1=b_3\cdot a_2=0$, also du möchtest$b_3$entlang der$z$Achse und vor allem
2. Sie wollen$a_3\cdot b_1=a_3\cdot b_2=0$, wo Sie möchten$b_1$Und$b_2$darin liegen$xy$Ebene, weil Ihre gesamte Physik zweidimensional ist, und dies erfordert$a_3$entlang liegen$z$Achse.

Was die genaue Größenordnung betrifft$a_3$, es ist irrelevant – es ist leicht zu sehen, dass sich das ändert$a_3\mapsto \lambda a_3$von jedem$\lambda \neq 0$hat keinen Einfluss auf das 3D$b_1$Und$b_2$Ausdrücke, die Sie zitieren.

Um also zu verstehen, warum Sie bekommen, was Sie bekommen, ist es wichtig zu verstehen, was das reziproke Gitter löst.

Welches Problem löst das reziproke Gitter?

Das Problem ist, dass wir eine sehr schöne Formel für das Skalarprodukt haben,

$$\mathbf u \cdot \mathbf v = \sum_i u_i v_i.$$ Dies ergibt sich direkt daraus, dass es Basisvektoren gibt$\hat e_i$für den Raum so dass$\mathbf u = \sum_i u_i~\hat e_i$Und$\mathbf v = \sum_i v_i~\hat e_i,$kombiniert mit der Tatsache, dass diese Basisvektoren orthogonal sind,$\hat e_i \cdot \hat e_j = \delta_{ij}$Wo$\delta$ist das Kronecker-Delta-Symbol.

Allein aus diesen Fakten plus der Linearität des Skalarprodukts erhält man

$$\mathbf u \cdot \mathbf v = \sum_i \sum_j u_i~v_j~(\hat e_i\cdot\hat e_j) = \sum_{ij} u_i ~v_j~ \delta_{ij} = \sum_i u_i v_i.$$ Leider sprechen wir von einem Kristall, der ein Kristallgitter hat. Oder in ähnlicher Weise hat man das gleiche Problem mit dem Trägheitsmomenttensor: Er hat Hauptachsen, um die ein einfaches Trägheitsmoment besteht, aber diese Achsen sind möglicherweise nicht orthogonal. Alle Eigenschaften solcher Systeme wie Kristalle sind nur „schön“, wenn man sie auf der Basis der Atome des Kristalls betrachtet, ausgedrückt als diese Basis von Gittervektoren$\mathbf a_i.$Und diese Gittervektoren sind selten orthogonal, also bekommen wir stattdessen einen Ausdruck $$\mathbf u\cdot \mathbf v = \sum_{ij} u_i~v_j(\mathbf a_i \cdot \mathbf a_j) = \sum_{ij} g_{ij}~u_i~v_j,$$ was komplizierter ist. Tatsächlich ist das einzig Nette, was man darüber sagen kann, das von der Symmetrie des Skalarprodukts, zum Glück$g_{ij} = g_{ji}.$Wie machen wir das einfacher?

Obere und untere Indizes

Nun, es gibt ein Analogon zur obigen Formel, aber es erfordert eine genauere Mathematik. Ich werde hier die Version angeben, die wir „abstrakte Indexnotation“ nennen. Die Erklärung dieser Notation ist das Thema des nächsten Abschnitts, entschuldigen Sie, wenn das zu viel von Ihrer Aufmerksamkeit erfordert.

Definition der abstrakten Indexnotation

Wir haben also Vektoren in einem Vektorraum über einigen Skalaren , zum Beispiel könnte Ihr Vektorraum echte 3D-Vektoren sein$\mathbb R^3$und Ihre Skalare sind dann im Allgemeinen nur die reellen Zahlen$\mathbb R$. Ein Kovektor (manchmal auch Einform genannt ) ist eine lineare Abbildung von Vektoren auf Skalare. Jetzt, da Sie diese Skalarprodukte haben (Sie befinden sich, würden wir sagen, in einem metrischen Raum ), kennen Sie eine Reihe von Kovektoren:$(\mathbf v\cdot)$, die Funktion, die einen anderen Vektor nimmt und mit einem festen Vektor punktet$\mathbf v$, ist ein Covektor für alle$\mathbf v$. Wir nehmen an, dass diese in einer Eins-zu-Eins-Beziehung existieren, sodass es zu jedem Covektor auch einen Vektor gibt. Wir haben also eine Reihe von Skalaren$\mathcal S$, ein Satz von Vektoren$\mathcal V$, ein Satz von Covektoren$\overline{\mathcal V}$, und unser Skalarprodukt$g : \mathcal V \to \mathcal V \to \mathcal S$kann als kanonische lineare Abbildung verstanden werden$g: \mathcal V \to \overline{\mathcal V}$was mit invers invertierbar ist$g^{-1}: \overline{\mathcal V} \to \mathcal V.$

Wir definieren das an$[m, n]$-tensor ist eine multilineare Abbildung aus$m$Covektoren u$n$Vektoren zu einem Skalar. Da Vektoren Kovektoren auf Skalare abbilden (indem sie die Funktion auf sich selbst anwenden), sind sie es$[1, 0]$-Tensoren. Da Covektoren Vektoren auf Skalare abbilden, sind sie es$[0, 1]$-Tensoren. Zwei Tensoren können immer durch das äußere Produkt gebildet werden , wobei ich an nehme$[a,b]$-Tensor und a$[c,d]-tensor$und bilden ein$[a+c,b+d]$-tensor, wie folgt: Ich nehme die erste$a$Covektoren u$b$Vektoren und führen sie dem ersten Tensor zu, um einen Skalar zu erhalten; Den Rest nehme ich$c$Covektoren u$d$Vektoren und führen sie dem zweiten Tensor zu, um einen Skalar zu erhalten; dann multipliziere ich die beiden Skalare miteinander. Die Skalarproduktfunktion$g$und seine Umkehrung$g^{-1}$Erlauben Sie uns, zwischen allen kanonisch zu konvertieren$[m,n]$-Tensoren für konstant$m+n$, also möchten Sie vielleicht nur daran denken$2$-Tensoren, die entweder als beobachtet werden können$[2,0]$- oder$[1,1]$- oder$[0, 2]$-Tensoren abhängig davon, wie Sie ihre Eingaben anpassen.

Mathematiker, die diese Dinge studieren, machen eine weitere axiomatische Annahme: dass irgendetwas$[m, n]$-Tensor kann in Bezug auf diese äußeren Produkte zerlegt werden. Beliebig$[m, n]$Tensor ist eine Summe einer Menge äußerer Produkte von$m$Vektoren und$n$Covektoren. Dies bedeutet, dass es Möglichkeiten gibt, einen Vertrag abzuschließen$[m, n]$-Tensor zu einem$[m-1, n-1]$-tensor: Zerlege es in äußere Produkte und wende dann den Covektor, der diese eine Eingabe verarbeitet, auf den Vektor an, der diese andere Eingabe verarbeitet. Wir brauchen also eine Notation, die all dies leicht zu sehen und zu verstehen macht.

Diese Notation funktioniert folgendermaßen: Erstellen Sie Kopien des Raums von$[m, n]$-Tensoren mit$m$verschiedene griechische Buchstaben für obere Indizes,$n$verschiedene griechische Buchstaben für niedrigere Indizes. So$\mathcal T^{\alpha\beta}_{\gamma}$ist eine Kopie des Raums von$[2, 1]$-Tensoren. Die Buchstaben sind keine Variablen, sie stehen nicht für später einzusetzende Zahlen; sie sind nur Symbole, die uns helfen, verschiedene Dinge voneinander zu unterscheiden. Und dann schreiben wir einen Tensor mit den Symbolen, die angeben, zu welchem ​​Raum er gehört. Und wenn wir einen Tensor kontrahieren wollen, wiederholen wir den Index oben und unten. Wir können auch einige andere Dinge identifizieren, wie den Relabeling-Isomorphismus$\delta^{\alpha}_\beta,$und unser$g$das nimmt zwei Vektoren und erzeugt jetzt einen Skalar$g_{\alpha\beta}$In$\mathcal T_{\alpha\beta},$und seine Umkehrung kann als Existenz von a formuliert werden$g^{\alpha\beta}$so dass

$$g^{\alpha\beta}g_{\beta\gamma} = \delta^\alpha_\gamma.$$

Damit ist nun der eigentliche Vektor geschrieben$v^\alpha$und sein Covektor ist$v_\alpha = g_{\alpha\beta} v^\beta.$Und jetzt wird das innere Produkt sehr schön als dargestellt

$$\mathbf u \cdot \mathbf v = u_\alpha ~v^\alpha.$$

Ist das Betrug?

In gewisser Weise ist das Betrug: im Grunde nur gesagt: „Hier ist, was gut aussieht, lass uns schreiben$(\mathbf u \cdot)$als$u_\alpha$Und$\mathbf v$als$v^\alpha$und jetzt können wir etwas schreiben, das so aussieht$\sum_i u_i~v_i.$Lasst uns das erfinden, um es schön aussehen zu lassen.“ Aber tatsächlich geht hier etwas Tieferes vor sich, und dieses Tiefere ist genau dieses reziproke Gitter.

Wir wollen also bestimmte Vektoren herausgreifen$e^\mu_k$für$k=1,2,\dots D$als unsere „Basisvektoren“ jetzt. Dazu benötigen wir einige Covektoren,

$$e_{\mu}^\ell~e^\mu_k = \delta^\ell_k=\{1\text{ if } k=\ell \text{ else } 0\}.$$ Dann irgendein Vektor$v^\mu$kann aus seinen oberen Indexkomponenten rekonstruiert werden , $$\text{define } v^k = e^k_\mu ~v^\mu, ~~\text{ then }~v^\mu = \sum_{k=1}^D v^k ~e_k^\mu.$$ Aber es gibt hier eine Symmetrie zwischen diesen und es ist klar, dass es auch einige Komponenten mit niedrigerem Index geben muss, $$\text{define } v_k = e^\mu_k~ v_\mu, ~~\text { then }~ v_\mu = \sum_{k=1}^D v_k~e^k_\mu,$$

und in Bezug auf diese Komponenten wird das Skalarprodukt auch sauber,

$$\mathbf u \cdot \mathbf v = \sum_{k=1}^D u_k~v^k.$$ Jetzt diese$u_k$Und$v^k$Begriffe schummeln nicht , indem sie Notationen erfinden; es handelt sich um echte Zahlenlisten. Der$v^k$sind die Komponenten des Vektors in der$\mathbf e_k$Basis. Aber was sind die$u_k$? Mit anderen Worten, was bedeuten diese "zwei Komponenten" des Vektors wirklich ? Diese Grundlage muss nicht die sein$\mathbf e_k$Grundlage, die wir früher hatten, oder wir könnten die ursprüngliche Form des Skalarproduktgesetzes nachweisen$v^n = v_n,$also muss es eine andere Vektorbasis für den Raum sein. Tatsächlich ist es diese reziproke Gitterbasis. Also nehmen wir unsere Covektoren und wandeln sie wieder in Vektoren um,

$$\text{define } \bar e^{k\alpha} = g^{\alpha\beta}~e^k_\beta, \text{ so that } v^\alpha = \sum_{k=1}^D v_k~\bar e^{k\alpha},$$

und diese$\bar e^{k\alpha}$Vektoren sind unsere reziproke Gitterbasis.

Geometrisch bedeutet dies den reziproken Gittervektor dual zu$\mathbf e_1$wird nach folgendem Verfahren aufgebaut:

1. Finden Sie die (Hyper-)Ebene, die von a aufgespannt wird$\mathbf e_{2,3,\dots D}$. Identifizieren Sie einen Vektor$\mathbf q$senkrecht zu dieser Ebene und damit senkrecht zu allen anderen Vektoren.
2. Finden Sie heraus, was$\mathbf q \cdot \mathbf a_1$ist und dann skalieren$\mathbf q$durch den Kehrwert dieser Zahl zu einem neuen Vektor$\bar{\mathbf e}^1$, so dass$\bar{\mathbf e}^1 \cdot \mathbf e_1 = 1.$
3. (Optional) für Konsistenz mit mehreren Solid-State-Lehrbüchern multiplizieren mit$2\pi.$

Das reziproke Gitter beschreibt also Normalenvektoren$\mathbf b_i$zu Ebenen, die alle Vektoren außer enthalten$\mathbf a_i$denen sie entsprechen.

Orientierungen und das Gehen in einen niederdimensionalen Raum

Eine gute Möglichkeit, dies herauszufinden, besteht darin, sich einen Orientierungstensor anzusehen. In$n$Dimensionen diese haben$n$Indizes, so sieht der 3D-Orientierungstensor aus$\epsilon_{\alpha\beta\gamma}$. Die Idee ist, dass dies ein vollständig antisymmetrischer Tensor ist, so dass sich die Komponenten in der orthonormalen Basis so verhalten$\epsilon_{123} = 1$und jede andere Permutation von Indizes ist daher entweder$+1$wenn es eine gerade Permutation von ist$123$oder$-1$wenn es eine ungerade Permulation ist, oder$0$wenn es keine Permutation ist.

Wie Sie vielleicht schon erraten haben, in 3D$\epsilon_{\alpha\beta\gamma} u^\beta v^\gamma$ist in gewissem Sinne das Kreuzprodukt zwischen zwei Vektoren, außer dass es sich um einen darin lebenden Covektor handelt$\mathcal T_\alpha$kein lebender Vektor$\mathcal T^\alpha.$Aber wir haben eine Bijektion$g$zwischen diesen beiden Räumen, so können wir sagen

$$[~\mathbf u \times \mathbf v~]^\mu = g^{\mu\alpha}~\epsilon_{\alpha\beta\gamma}~u^\beta~v^\gamma.$$

Der Orientierungstensor liefert uns aufgrund seiner Antisymmetrie einen Vektor, der orthogonal zu den Gittervektoren ist und den obigen Schritt 1 erfüllt. Dies muss nun nur noch durch sein eigenes Skalarprodukt normalisiert werden. Jetzt können Sie also sehen, dass die allgemeine Formel (evtl$2\pi$mal)

$$\bar e^{1\mu} = \frac{g^{\mu\alpha}~\epsilon_{\alpha\beta\gamma}~e^\beta_2 ~e^\gamma_3}{\epsilon_{\rho\sigma\tau}~e^\rho_1~e^\sigma_2~e^\tau_3}$$ Und das ist, wo Sie Ihre Definition bekommen, $$\mathbf b_1 = \frac{2\pi~\mathbf a_2 \times \mathbf a_3}{\mathbf a_1 \cdot (\mathbf a_2 \times \mathbf a_3)}.$$ Das "Kreuzprodukt" ist eine Abkürzung für diesen Orientierungstensor, und der Rest ist nur eine Neuskalierung, um das Skalarprodukt zu bilden$\mathbf b_1 \cdot \mathbf a_1 = 2\pi.$

Aber wenn wir 4 Dimensionen machen würden, würde unser Orientierungstensor sagen$\epsilon^{\alpha\beta\gamma\delta}$Und$\epsilon^{1234}$wäre +1 und so weiter; und wir würden verwenden$a_{2\beta}, a_{3\gamma}, a_{4\delta}$um den entsprechenden dualen Vektor zu bilden.

Was passiert, wenn wir von 3D zu 2D oder von 4D zu 3D wechseln? Nun, wir müssen eine dieser Dimensionen des Orientierungstensors entfernen. Aber es gibt einen wirklich einfachen Weg, dies zu tun: Wenden Sie es auf die Dimension an, die wir entfernen.

So$\epsilon^{xy}$in 2D ist ein Orientierungstensor, der zwei Vektoren nimmt und einen Skalar zurückgibt; aber es kann so angesehen werden, als hätte es die Komponenten$\epsilon^{xy3}$aus dem 3D-Orientierungstensor bzw$\epsilon^{xy34}$aus dem 4D-Orientierungstensor.

Deshalb könnt ihr das alles als Sein betrachten$\mathbf b_1 = \operatorname{normalize}_{2\pi}\big(\mathbf a_2 \times \hat z\big)$usw. -- es liegt einfach daran, dass es eine einfache Beziehung zwischen den Ausrichtungen dieser Unterräume gibt.

Wie Emilio Pisanty bereits sagte, müssen Sie das nicht. Es ist tatsächlich möglich, das reziproke Gitter für jedes Gitter in beliebig vielen Dimensionen zu bestimmen:

Lassen$V$sei ein$n$-dim. reeller Vektorraum und let$g\colon V\times V\to\mathbf{R}$eine nicht entartete bilineare Karte sein (das müssen wir nicht annehmen$g$ist symmetrisch). Wenn$(a_1,\ldots,a_n)$ist eine Grundlage von$V$, die Matrix$g_{ij}=g(a_i,a_j)$ist invertierbar und wenn$(b_1,\ldots,b_n)\in V^n$, Dann

$$\begin{equation*} g(a_i,b_j)=\delta_{ij}\Leftrightarrow b_i=g^{ij}a_i, \end{equation*}$$ wo die Matrix$g^{ij}$ist die Transponierte der Inversen der Matrix$g_{ij}$. (Wenn Sie sich den Beweis ansehen, sehen Sie den Grund für die kontravarianten Indizes.)

Beweis :

Zuerst,

$$\begin{equation*} g(a_i,b_j)=g(a_i,a^kb_ja_k)=g(a_i,a_k)a^kb_j=g_{ik}a^kb_j. \end{equation*}$$ Seit$(a_1,\ldots,a_n)$ist eine Grundlage u$g$nicht entartet ist, die Matrix $$\begin{equation*} G=\begin{pmatrix}g_{11}&\cdots&g_{1n}\\ \vdots&&\vdots\\ g_{n1}&\cdots&g_{nn} \end{pmatrix} \end{equation*}$$ ist invertierbar und man kann das beweisen $$\begin{equation*} G^{-1}=\begin{pmatrix}g^{11}&\cdots&g^{n1}\\ \vdots&&\vdots\\ g^{1n}&\cdots&g^{nn} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a^1g^{-1}a^1&\cdots&a^ng^{-1}a^1\\ \vdots&&\vdots\\ a^1g^{-1}a^n&\cdots&a^ng^{-1}a^n \end{pmatrix} \end{equation*}$$ (Das muss man nur zeigen$g_{ik}g^{jk}=\delta_{ij}$.) Mit diesen beiden Gleichungen erhalten wir das Endergebnis: $$\begin{equation*} g(a_i,b_j)=\delta_{ij}\Leftrightarrow b_i=g^{ij}a_i\Leftrightarrow g_{ik}a^kb_j=\delta_{ij}\Leftrightarrow a^kb_j=g^{jk}\Leftrightarrow b_j=g^{jk}a_k \end{equation*}$$