Rolle der Potenzgesetze in der Astronomie?

Skaleninvarianz und Selbstähnlichkeit

Potenzgesetze bedeuten grundsätzlich, dass es keine bevorzugte Skala gibt, dh dass eine physikalische Eigenschaft skaleninvariant ist . Jede Abweichung von einem Potenzgesetz bedeutet, dass das Universum irgendwie denkt, dass die Skala, in der es zusammenbricht, eine besondere Bedeutung hat. Mit anderen Worten, ein Potenzgesetz beschreibt die Selbstähnlichkeit$^\dagger$.

Sie können dies mathematisch sehen, indem Sie eine Skalierung der unabhängigen Variablen betrachten$x$in einem Potenzgesetz$y(x)=x^n$um einen konstanten Faktor$\lambda$; das Ergebnis ist nur eine Skalierung der abhängigen Variablen um einen anderen Faktor

$$y(\lambda x) = (\lambda x)^n = \lambda^n x^n = \lambda^n y.$$

Natürlich ist nichts unendlich selbstähnlich, aber viele Prozesse sind es bis zu einem gewissen Grad. Und wenn Sie einen Prozess haben, der von vielen Teilprozessen abhängt, die selbst durch Potenzgesetze innerhalb eines Bereichs beschrieben werden, entwickelt sich das Ergebnis ebenfalls zu einem Potenzgesetz.

Potenzgesetze in der Astronomie…

In der Astronomie sehen Sie oft, dass Potenzgesetze eine gute Beschreibung einer Beziehung bis zu einer bestimmten Skala sind, nach der Sie eine "exponentielle Grenze" sehen, dh wo die Beziehung zum steileren Exponential übergeht.

Ein bemerkenswertes Beispiel dafür ist die Halo-Massenfunktion (HMF) von Strukturen im Universum, wo die Verteilungen von (Halo-)Massen der dunklen Materie durch das Potenzgesetz von den niedrigsten Massen bis zu einer "charakteristischen" Masse, nach der die Die Anzahldichte des Objekts nimmt schnell mit der Masse ab ( Press & Schechter 1974 ). Tatsächlich lassen sich viele Beziehungen in der Astronomie auf diesen hierarchischen Formalismus zurückführen, der seinen Ursprung in der Annahme hat, dass Überdichten Gauß-verteilt sind. Skalierungsbeziehungen zwischen Massen, Größen, Sternentstehungsraten, Leuchtstärken, Rückkopplungsmechanismen usw. führen dann zu neuen Potenzgesetzen.

Unter der Annahme eines konstanten Masse-zu-Licht-Verhältnisses$M/L$von Galaxien sollte die Leuchtkraftfunktion (LF) von Galaxien eng der MF folgen. Wir beobachten jedoch, dass der LF sowohl bei höheren als auch bei niedrigeren Massenskalen als der charakteristischen Masse unterdrückt wird. Es wird angenommen, dass der Grund eine Rückkopplung ist, die die Sternentstehung verhindert, indem das Gas erhitzt und/oder aus der Galaxie gedrückt wird; Am massereichen Ende haben Sie starke aktive galaktische Kerne (AGN), während am massearmen Ende, wo das Gravitationspotential geringer ist, die Sternaktivität die Arbeit erledigen kann.

^{Vorhergesagter LF unter der Annahme von Jenkins et al (2001) mit einer Konstante$M/L$(Cyan) und beobachtet$K$Band LF (gelb). Abbildung von Benson et al. (2003) mit eigenen Anmerkungen.}

Es stellt sich heraus, dass die Milchstraße einer solchen charakteristischen Masse und Leuchtkraft ziemlich nahe kommt, weshalb man manchmal hört, die Milchstraße sei eine „typische“ Galaxie.

Die LF wird typischerweise durch eine Schechter-Funktion beschrieben . In den letzten Jahren sehen wir jedoch Hinweise darauf, dass die exponentielle Grenze etwas zu drastisch ist und dass das Ende der hohen Masse besser durch ein anderes Potenzgesetz beschrieben werden kann, wenn auch mit einem steilen Index, dh einem sogenannten gebrochenen Potenzgesetz (siehe zB Oesch et al. 2018 ).

…und in der Natur im Allgemeinen

Potenzgesetze sind nicht nur in der Astronomie üblich, sondern in der gesamten Natur und sogar in "künstlichen" Umgebungen wie Linguistik (das Vorkommen von Wörtern in einer Sprache), Ökonomie (z. B. Einkommensverteilung) und Soziologie (z. B. Stadtgrößen). .

In einigen Fällen kann der Grund darauf zurückgeführt werden, dass sich auch Nicht-Potenzgesetze in begrenzten Intervallen oft wie Potenzgesetze verhalten. Andere Funktionen, die in der Natur vorkommen, wie z$\exp(x)$Und$\sin(x)$, kann Taylor-erweitert werden, und in der Nähe von "kritischen Punkten" dominiert der erste Term.

Ich bin mir eigentlich nicht sicher, ob der Grund für die Allgegenwart von Machtgesetzen in der Natur vollständig verstanden wird. Ich denke, man kann es in vielen Fällen erklären, aber nicht im Allgemeinen. Ein Beispiel, das mathematisch erklärt werden kann , ist, dass, wenn stochastische Prozesse mit exponentiellem Erwartungswachstum zufällig "beendet" (č oder beobachtet) werden, die Verteilung des Zustands "beendet" oder "beobachtet" in einem oder beiden Schwänzen ein Potenzgesetzverhalten zeigt ( Reed & Hughes 2002 ).

Aber Vorsicht!

Abgesehen davon denke ich, dass es manchmal eine Tendenz gibt, eine Potenzgesetzbeziehung zwischen Variablen anzunehmen, wo keine unbedingt erwartet wird. Ein Potenzgesetz ist eine lineare Beziehung, wenn man beide logarithmiert$x$Und$y$, und wahrscheinlich ist die Tatsache, dass Abweichungen von einer Beziehung in einem Log-Log-Plot unterdrückt werden, manchmal etwas zu ansprechend …

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$\dagger$_{Fairerweise muss gesagt werden, dass Skaleninvarianz und Selbstähnlichkeit nicht genau dasselbe sind, da ersteres eine kontinuierliche Skalierung beschreibt, während letzteres eine diskrete Skalierung wie Fraktale umfasst, die nur in bestimmten Schritten und bestimmten Regionen mit sich selbst identisch sind.}

Ich muss zugeben, dass Potenzgesetze (im Allgemeinen) früher mein Steckenpferd waren , daher freue ich mich, etwas Licht auf ihre allgemeine Bedeutung in der Physik zu werfen, die offensichtlich auch für die Astronomie gilt.

Die Hauptidee eines Potenzgesetzes ist in Wikipedia schön geschrieben, aber der wesentliche Teil ist der, den ich im folgenden Zitat hervorgehoben habe:

[Ein Potenzgesetz ist] eine funktionale Beziehung zwischen zwei Größen, bei der eine relative Änderung einer Größe zu einer proportionalen relativen Änderung der anderen Größe führt, unabhängig von der ursprünglichen Größe dieser Größen

Der (mathematisch) schöne Teil ist genau das, dass über einen wirklich großen Bereich der x-Werte die y-Werte der gleichen Abhängigkeit folgen. Normalerweise bedeutet "sehr großer Bereich" Werte, die sich über 3 bis sogar 10 Zehnerpotenzen erstrecken.

Bei der praktischen Anpassung von Potenzgesetzen ergeben sich Effekte auf den Skalenseiten, also für klein und groß$x$-Werte, die normalerweise auf "Finite-Size-Effekte" zurückgeführt werden.

Weiterlesen

• Es gibt die Forschungsrichtung Selbstorganisierte Kritikalität (SOC) , die „als einer der Mechanismen gilt, durch die Komplexität in der Natur entsteht“ . Einer der Gründerväter (und Mütter) war der verstorbene Per Bak . Sein Buch How Nature Works ist für Laien zugänglich und meiner Meinung nach gut zu lesen.

Das Polytropenmodell der Sterne ermöglichte frühe numerische Berechnungen der Sternstruktur mit allem, von mechanischen Rechnern bis hin zu frühen elektronischen Computern, und in bestimmten Fällen sogar analytisch!

In der Astrophysik bezieht sich ein Polytrop auf eine Lösung der Lane-Emden-Gleichung, bei der der Druck von der Dichte in der Form abhängt

$$P=K\rho ^{{(n+1)/n}}$$

Wo$P$ist Druck,$\rho$ist Dichte und$K$ist eine Proportionalitätskonstante. Die Konstante$n$ist als polytropischer Index bekannt; Beachten Sie jedoch, dass der Polytropenindex eine alternative Definition wie with hat$n$als Exponent.

Siehe Antworten auf:

• Math SE: Könnte es andere exakte Lösungen für die Lane-Emden-Gleichung für reelles n≥0 als 0, 1 oder 5 geben?
• Wurde die Sternentwicklung jemals analytisch modelliert? besonders die Antwort von @ProfRob !
• Passt Eddingtons variabler Polytropenindex besser zu Daten aus dem Standard-Sonnenmodell?
• Schwerkraft in einem Stern?