Rotationsbewegungsintegration (Starrkörperdynamik)

Question

Rotationsbewegungsintegration (Starrkörperdynamik)

Michael Gaitanas

Ich versuche, die Rotationsbewegung eines starren Körpers (ein Satz von N Punktmassen) zu integrieren. $\textbf{in the inertial frame}$ , aber meine Ergebnisse scheinen völlig falsch zu sein. Welcher der folgenden Schritte könnte falsch sein?

1) Unter der Annahme nur eines Inertialsystems können wir schreiben:

\frac{D \vec{L}}{D T} = \vec{τ} \Rightarrow \frac{D (ICH \vec{ω})}{D T} = \vec{τ} \Rightarrow \frac{D ICH}{D T} \vec{ω} + ICH \frac{D \vec{ω}}{D T} = \vec{τ} \Rightarrow \frac{D \vec{ω}}{D T} = {ICH}^{- 1} (\vec{τ} - \frac{D ICH}{D T} \vec{ω}) (1)

$\frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{\tau} \Rightarrow \frac{d(I\vec{\omega})}{dt} = \vec{\tau} \Rightarrow \frac{dI}{dt}\vec{\omega} + I\frac{d\vec{\omega}}{dt} = \vec{\tau} \Rightarrow \boxed{\frac{d\vec{\omega}}{dt} = I^{-1}(\vec{\tau} - \frac{dI}{dt}\vec{\omega})} \hspace{0.2cm} (1)$

2) Im Inertialsystem haben wir:

{\vec{R}}_{ich} (T) = X_{ich} (T) \hat{X} + j_{ich} (T) \hat{j} + z_{ich} (T) \hat{z}

$\vec{r}_i(t) = x_i(t)\hat{x} + y_i(t)\hat{y} + z_i(t)\hat{z}$

{\vec{v}}_{ich} (T) = {\dot{\vec{R}}}_{ich} (T) = {\dot{X}}_{ich} (T) \hat{X} + {\dot{j}}_{ich} (T) \hat{j} + {\dot{z}}_{ich} (T) \hat{z}

$\vec{v}_i(t) = \dot{\vec{r}}_i(t) = \dot{x}_i(t)\hat{x} + \dot{y}_i(t)\hat{y} + \dot{z}_i(t)\hat{z}$

\vec{ω} (T) = ω_{X} (T) \hat{X} + ω_{j} (T) \hat{j} + ω_{z} (T) \hat{z}

$\vec{\omega}(t) = \omega_x(t)\hat{x} + \omega_y(t)\hat{y} + \omega_z(t)\hat{z}$

{\dot{\vec{R}}}_{ich} (T) = \vec{ω} \times {\vec{R}}_{ich}

$\dot{\vec{r}}_i(t) = \vec{\omega}\times \vec{r}_i$

3) Da ich nur ein Inertialsystem angenommen habe, den Trägheitstensor $I$ ist eine Funktion der Zeit und wird bei jedem Zeitschritt aktualisiert $t$ .

ICH (T) = [\begin{matrix} {ICH}_{X X} & {ICH}_{X j} & {ICH}_{X z} \\ {ICH}_{j X} & {ICH}_{j j} & {ICH}_{j z} \\ {ICH}_{z X} & {ICH}_{z j} & {ICH}_{z z} \end{matrix}]

$I(t) = \begin{bmatrix} I_{xx} & I_{xy} & I_{xz} \\ I_{yx} & I_{yy} & I_{yz} \\ I_{zx} & I_{zy} & I_{zz} \\ \end{bmatrix}$

Wo

{ICH}_{X X} = \sum M_{ich} (j_{ich}^{2} + z_{ich}^{2})

$I_{xx} = \sum m_i(y_i^2+z_i^2)$

{ICH}_{j j} = \sum M_{ich} (X_{ich}^{2} + z_{ich}^{2})

$I_{yy} = \sum m_i(x_i^2+z_i^2)$

{ICH}_{z z} = \sum M_{ich} (X_{ich}^{2} + j_{ich}^{2})

$I_{zz} = \sum m_i(x_i^2+y_i^2)$

{ICH}_{X j} = {ICH}_{j X} = - \sum M_{ich} X_{ich} j_{ich}

$I_{xy} = I_{yx} = -\sum m_ix_iy_i$

{ICH}_{X z} = {ICH}_{z X} = - \sum M_{ich} X_{ich} z_{ich}

$I_{xz} = I_{zx} = -\sum m_ix_iz_i$

{ICH}_{j z} = {ICH}_{z j} = - \sum M_{ich} j_{ich} z_{ich}

$I_{yz} = I_{zy} = -\sum m_iy_iz_i$

Ich habe die Ableitung von berechnet $I$ sein:

\dot{ICH} = [\begin{matrix} {\dot{ICH}}_{X X} & {\dot{ICH}}_{X j} & {\dot{ICH}}_{X z} \\ {\dot{ICH}}_{j X} & {\dot{ICH}}_{j j} & {\dot{ICH}}_{j z} \\ {\dot{ICH}}_{z X} & {\dot{ICH}}_{z j} & {\dot{ICH}}_{z z} \end{matrix}]

$\dot{I} = \begin{bmatrix} \dot{I}_{xx} & \dot{I}_{xy} & \dot{I}_{xz} \\ \dot{I}_{yx} & \dot{I}_{yy} & \dot{I}_{yz} \\ \dot{I}_{zx} & \dot{I}_{zy} & \dot{I}_{zz} \\ \end{bmatrix}$

Wo

{\dot{ICH}}_{X X} = \sum M_{ich} (2 j_{ich} {\dot{j}}_{ich} + 2 z_{ich} {\dot{z}}_{ich})

$\dot{I}_{xx} = \sum m_i(2y_i\dot{y}_i + 2z_i\dot{z}_i)$

{\dot{ICH}}_{j j} = \sum M_{ich} (2 X_{ich} {\dot{X}}_{ich} + 2 z_{ich} {\dot{z}}_{ich})

$\dot{I}_{yy} = \sum m_i(2x_i\dot{x}_i + 2z_i\dot{z}_i)$

{\dot{ICH}}_{z z} = \sum M_{ich} (2 X_{ich} {\dot{X}}_{ich} + 2 j_{ich} {\dot{j}}_{ich})

$\dot{I}_{zz} = \sum m_i(2x_i\dot{x}_i + 2y_i\dot{y}_i)$

{\dot{ICH}}_{X j} = {\dot{ICH}}_{j X} = - \sum M_{ich} ({\dot{X}}_{ich} j_{ich} + X_{ich} {\dot{j}}_{ich})

$\dot{I}_{xy} = \dot{I}_{yx} = -\sum m_i(\dot{x}_iy_i + x_i\dot{y}_i)$

{\dot{ICH}}_{X z} = {\dot{ICH}}_{z X} = - \sum M_{ich} ({\dot{X}}_{ich} z_{ich} + X_{ich} {\dot{z}}_{ich})

$\dot{I}_{xz} = \dot{I}_{zx} = -\sum m_i(\dot{x}_iz_i + x_i\dot{z}_i)$

{\dot{ICH}}_{j z} = {\dot{ICH}}_{z j} = - \sum M_{ich} ({\dot{j}}_{ich} z_{ich} + j_{ich} {\dot{z}}_{ich})

$\dot{I}_{yz} = \dot{I}_{zy} = -\sum m_i(\dot{y}_iz_i + y_i\dot{z}_i)$

4) Ich integriere die Differentialgleichung $(1)$ Verwenden Sie ein einfaches Runge-Kutta-4-Schema wie dieses:

T_{ich + 1} = T_{ich} + H

$t_{i+1} = t_i + h$

{\vec{ω}}_{ich + 1} = {\vec{ω}}_{ich} + \frac{H}{6} ({\vec{k}}_{1} + 2 {\vec{k}}_{2} + 2 {\vec{k}}_{3} + {\vec{k}}_{4})

$\vec{\omega}_{i+1} = \vec{\omega}_i + \frac{h}{6}(\vec{k}_1+2\vec{k}_2+2\vec{k}_3+\vec{k}_4)$

Wo $h$ ist der Integrationszeitschritt und

{\vec{k}}_{1} = \vec{F} ({\vec{ω}}_{ich})

$\vec{k}_1 = \vec{f}(\vec{\omega}_i)$

{\vec{k}}_{2} = \vec{F} ({\vec{ω}}_{ich} + \frac{{\vec{k}}_{1} H}{2})

$\vec{k}_2 = \vec{f}(\vec{\omega}_i + \frac{\vec{k}_1h}{2})$

{\vec{k}}_{3} = \vec{F} ({\vec{ω}}_{ich} + \frac{{\vec{k}}_{2} H}{2})

$\vec{k}_3 = \vec{f}(\vec{\omega}_i + \frac{\vec{k}_2h}{2})$

{\vec{k}}_{4} = \vec{F} ({\vec{ω}}_{ich} + {\vec{k}}_{3} H)

$\vec{k}_4 = \vec{f}(\vec{\omega}_i + \vec{k}_3h)$

Ich beginne die Simulation, indem ich das System mit einer Winkelgeschwindigkeit initialisiere $\vec{\omega}_0$ . Danach drehe ich bei jedem Zeitschritt alles $N$ Punkte des starren Körpers um den aktuellen Vektor $\vec{\omega}$ um einen Winkel $|\vec{\omega}|h$ unter Verwendung einer durch die Rodrigues-Formel berechneten Rotationsmatrix

R = J + Sünde (ω H) W + [1 - \cos (ω H)] W^{2}

$R = J + \sin(\omega h)W + [1-\cos(\omega h)]W^2$

Wo $J$ ist der $3\times 3$ Identitätsmatrix und $W = \begin{bmatrix} 0 & -u_z & u_y \\ u_z & 0 & -u_x \\ -u_y & u_x & 0 \\ \end{bmatrix} \hspace{0.2cm} \text{with} \hspace{0.2cm} \vec{u} = \dfrac{\vec{\omega}}{|\vec{\omega}|}$

Nach der Rotation/Aktualisierung aller $N$ Punkte, berechne ich den Trägheitstensor neu $I$ (und somit $\dot{I}$ Und $I^{-1}$ ) und dann durch Gleichung $(1)$ Ich aktualisiere die Winkelgeschwindigkeit $\vec{\omega}$ . Der Zyklus geht weiter von $t = 0$ bis zu einigen $t_{max}$ mit Schritt $h$ . Das Problem ist, dass die Ergebnisse zunächst korrekt sind (Drehimpuls und Energie sind konstant), aber nach einigen Zeitwiederholungen werden die Zahlen schnell zu groß und ich werde voll von NaNs. Auch für den einfachsten Fall wäre das äußere Drehmoment geeignet $\vec{\tau} = \vec{0}$ , das gleiche passiert. Ich habe überprüft, ob es ein Problem mit der Determinante von gibt $I$ (und kann daher nicht invertiert werden), aber die Determinante bleibt ungleich Null. Stimmt irgendetwas mit einer der Gleichungen nicht? Muss ich während der Zeitschleife eine Art Normalisierung auf eine Größe durchführen? Es muss eine Möglichkeit geben, die Drehung des starren Körpers im Trägheitsrahmen zu simulieren. Danke schön.

lurscher

ein paar Vorschläge: bevorzugen Sie implizite Methoden gegenüber expliziten Methoden, da sie normalerweise numerisch stabiler sind. Denken Sie auch daran, dass RK keine Energie spart. Möglicherweise möchten Sie einige Einschränkungen / Lagrange-Multiplikatoren anwenden, um sicherzustellen, dass die Energievariationen bis zu einer akzeptablen Ordnung Null bleiben

Rishab Jain

Wenn Sie die Ergebnisse genauer machen möchten, können Sie auch versuchen, die Achse auf die Hauptachse zu verschieben, auf der der Trägheitstensor diagonal ist. Siehe en.wikipedia.org/wiki/Moment_of_inertia#Principal_axes

Eli

Ich sehe nicht, wo Sie r(t) bekommen? Wo ist Ihre Bewegungsgleichung für die Übersetzung?

Michael Gaitanas

@Eli Ich habe den Beitrag richtig bearbeitet und genau erklärt, wie ich r (t) jedes Punkts aktualisiere. Auch hier gibt es nur Rotation. Keine Verschiebung des Massenschwerpunkts.

Michael Gaitanas

@RishabhJain Der Körper ist von Anfang an so ausgerichtet, dass die x-, y-, z-Achsen mit den Hauptträgheitsachsen zusammenfallen (Trägheitstensor ist diagonal).

Michael Gaitanas

@lurscher Stimmt, aber selbst die "schlechteste" explizite Methode 1. Ordnung sollte eine stabile Fehlerdrift für die Energie und den Drehimpuls des Körpers verursachen. In meinem Fall wachsen diese Mengen innerhalb weniger Zeititerationen ins Unendliche.

Eli

du schuld erweiterst deine Differentialgleichungen um

\vec{\dot{ω}}

$\vec{\dot \omega}$ mit

\vec{\dot{r}} = \vec{ω} \times \vec{r}

$\vec{\dot r}=\vec{\omega}\times \vec{r}$ und löse beide Differentialgleichungen , also löse jetzt

\vec{\dot{y}} = \vec{f} (\vec{y})

$\vec{\dot{y}}=\vec{f}(\vec{y})$ Wo

y = [\vec{ω}, \vec{r}]^{T}

${y}=[\vec{\omega}\,,\vec{r}]^T$ . Ich Wahr über die Anfangsbedingungen ?

lurscher

Welche Grenzen verwenden Sie für Ihre

Δ t

$\Delta t$ ? Ich würde dafür sorgen

Δ t << π / 2 ω_{sup}

$\Delta t << \pi/ 2 \omega_{\text{sup}}$ mit

ω_{sup}

$\omega_{\text{sup}}$ eine Obergrenze für alle Ihre Winkelgeschwindigkeiten zu einem bestimmten Zeitschritt ist

Michael Gaitanas

@Eli Nein, es ist nicht erforderlich, dem Problem eine weitere ODE hinzuzufügen.

\dot{\vec{r}}

$\dot{\vec{r}}$ wird verwendet, um das Neue zu berechnen

\vec{ω}

$\vec{\omega}$ . Aber

\dot{\vec{r}}

$\dot{\vec{r}}$ wird direkt über die alte berechnet

\vec{ω}

$\vec{\omega}$ .

Eli

Können Sie erklären, wie Sie rechnen

\dot{r}

$\dot r$ und r?

Rishab Jain

@MichaelGaitanas Können Sie auch einige Grafiken in die Frage einfügen, die die Zunahme der Energie und des Gesamtdrehimpulses (falls vorhanden) im Laufe der Zeit zeigen, damit die Leute besser verstehen können, was passiert

John Alexiou

Lesen Sie diese Hinweise zum Modellieren und Integrieren starrer Körper.

Antworten (1)

Rotationsbewegungsintegration (Starrkörperdynamik)

ein paar Vorschläge: bevorzugen Sie implizite Methoden gegenüber expliziten Methoden, da sie normalerweise numerisch stabiler sind. Denken Sie auch daran, dass RK keine Energie spart. Möglicherweise möchten Sie einige Einschränkungen / Lagrange-Multiplikatoren anwenden, um sicherzustellen, dass die Energievariationen bis zu einer akzeptablen Ordnung Null bleiben
Wenn Sie die Ergebnisse genauer machen möchten, können Sie auch versuchen, die Achse auf die Hauptachse zu verschieben, auf der der Trägheitstensor diagonal ist. Siehe en.wikipedia.org/wiki/Moment_of_inertia#Principal_axes
Ich sehe nicht, wo Sie r(t) bekommen? Wo ist Ihre Bewegungsgleichung für die Übersetzung?
@Eli Ich habe den Beitrag richtig bearbeitet und genau erklärt, wie ich r (t) jedes Punkts aktualisiere. Auch hier gibt es nur Rotation. Keine Verschiebung des Massenschwerpunkts.
@RishabhJain Der Körper ist von Anfang an so ausgerichtet, dass die x-, y-, z-Achsen mit den Hauptträgheitsachsen zusammenfallen (Trägheitstensor ist diagonal).
@lurscher Stimmt, aber selbst die "schlechteste" explizite Methode 1. Ordnung sollte eine stabile Fehlerdrift für die Energie und den Drehimpuls des Körpers verursachen. In meinem Fall wachsen diese Mengen innerhalb weniger Zeititerationen ins Unendliche.
du schuld erweiterst deine Differentialgleichungen um $\vec{\dot \omega}$ mit $\vec{\dot r}=\vec{\omega}\times \vec{r}$ und löse beide Differentialgleichungen , also löse jetzt $\vec{\dot{y}}=\vec{f}(\vec{y})$ Wo ${y}=[\vec{\omega}\,,\vec{r}]^T$ . Ich Wahr über die Anfangsbedingungen ?
Welche Grenzen verwenden Sie für Ihre $\Delta t$ ? Ich würde dafür sorgen $\Delta t << \pi/ 2 \omega_{\text{sup}}$ mit $\omega_{\text{sup}}$ eine Obergrenze für alle Ihre Winkelgeschwindigkeiten zu einem bestimmten Zeitschritt ist
@Eli Nein, es ist nicht erforderlich, dem Problem eine weitere ODE hinzuzufügen. $\dot{\vec{r}}$ wird verwendet, um das Neue zu berechnen $\vec{\omega}$ . Aber $\dot{\vec{r}}$ wird direkt über die alte berechnet $\vec{\omega}$ .
@MichaelGaitanas Können Sie auch einige Grafiken in die Frage einfügen, die die Zunahme der Energie und des Gesamtdrehimpulses (falls vorhanden) im Laufe der Zeit zeigen, damit die Leute besser verstehen können, was passiert
Lesen Sie diese Hinweise zum Modellieren und Integrieren starrer Körper.

John Alexiou · Answer 1

Ich bin deiner Herleitung von nicht gefolgt $\frac{{\rm d}\mathbf{I}}{{\rm d}t}$ . In den meisten Lehrbüchern wird sie wie folgt bewertet

\frac{D ICH}{D T} = ω \times ICH = | \begin{matrix} 0 & - ω_{z} & ω_{j} \\ ω_{z} & 0 & - ω_{X} \\ - ω_{j} & ω_{X} & 0 \end{matrix} | | \begin{matrix} {ICH}_{X X} & {ICH}_{X j} & {ICH}_{X z} \\ {ICH}_{X j} & {ICH}_{j j} & {ICH}_{j z} \\ {ICH}_{X z} & {ICH}_{j z} & {ICH}_{z z} \end{matrix} |

$\frac{{\rm d}\mathbf{I}}{{\rm d}t} =\boldsymbol{ \omega } \times \mathbf{I} = \begin{vmatrix} 0 & -\omega_z & \omega_y \\ \omega_z & 0 & -\omega_x \\ -\omega_y & \omega_x & 0 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} I_{xx} & I_{xy} & I_{xz} \\ I_{xy} & I_{yy} & I_{yz} \\ I_{xz} & I_{yz} & I_{zz} \end{vmatrix}$

mit der zusätzlichen Einschränkung, dass $\mathbf{I}$ hängt von der Ausrichtung des Körpers ab. Die Orientierung kann unter Verwendung von Euler-Winkeln, Quaternionen oder nur der 3 × 3-Rotationsmatrix verfolgt werden $\mathbf{R}$ . So oder so ist das Endergebnis, dass der Massenträgheitstensor zu jedem Zeitpunkt aus dem MMOI im Körperrahmen berechnet werden muss

ICH = R {ICH}_{B Ö D j} R^{⊤}

$\mathbf{I} = \mathbf{R}\,\mathbf{I}_{\rm body} \,\mathbf{R}^\top$

Am Ende haben Sie die Bewegungsgleichungen

τ = ICH \dot{ω} + ω \times ICH ω} \dot{ω} = {ICH}^{- 1} (τ - ω \times ICH ω)

$\left. \boldsymbol{\tau} = \mathbf{I}\, \boldsymbol{\dot{\omega}} + \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{I} \boldsymbol{\omega}\;\; \right\} \;\; \boldsymbol{\dot{\omega}} = \mathbf{I}^{-1}\left(\boldsymbol{\tau} - \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{I} \boldsymbol{\omega} \right)$

Es ist auch üblich, das Obige im folgenden Algorithmus in Bezug auf den Drehimpuls auszudrücken. Jedem Integrationsschritt wird die Rotationsmatrix gegeben $\mathbf{R}$ und Impulsvektor $\boldsymbol{L}$

\begin{array}{ccc} Schritt & Berechnung & Anmerkungen \\ 0 & ICH = R {ICH}_{B Ö D j} R^{⊤} & MMOI in der Welt koordiniert \\ 1 & ω = {ICH}^{- 1} L & Rotationsvektor extrahieren \\ 2 & \dot{R} = ω \times R & {Drehrichtung ändern}^{⋆} \\ 3 & \dot{L} = τ (T, R, ω) & Impulsänderung durch Drehmoment τ \end{array}

$\begin{array}{c|cc} \text{Step} & \text{Calculation} & \text{Notes}\\ \hline 0 & \mathbf{I}=\mathbf{R}\mathbf{I}_{{\rm body}}\mathbf{R}^{\top} & \text{MMOI in world coorinates}\\ 1 & \boldsymbol{\omega}=\mathbf{I}^{-1}\boldsymbol{L} & \text{Extract rotational vector}\\ 2 & \dot{\mathbf{R}}=\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{R} & \text{Change in rotation}^\star\\ 3 & \dot{\boldsymbol{L}}=\boldsymbol{\tau}(t,\mathbf{R},\boldsymbol{\omega}) & \text{Change in momentum due to torque }\boldsymbol{\tau} \end{array}$

Hinweis : Beim Integrieren der Rotationsmatrix $\mathbf{R}$ mit Runge-Kutta das Ergebnis von $\mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R} + h \dot{\mathbf{R}}$ keine Rotationsmatrix mehr ist und die Genauigkeit der Lösung schnell abnimmt.

Stattdessen verwenden die Leute oft Quaternionen $\boldsymbol{\hat{q}} = \pmatrix{ \boldsymbol{q}_{\rm v} & q_{\rm s}}$ die die Rotation beschreiben als

R = 1 + 2 Q_{S} [Q_{v} \times] + 2 [Q_{v} \times] [Q_{v} \times]

$\mathbf{R} = \mathbf{1} + 2 q_{\rm s} [ \boldsymbol{q}_{\rm v}\times] + 2 [ \boldsymbol{q}_{\rm v} \times][ \boldsymbol{q}_{\rm v} \times]$ _{Wo $[ \boldsymbol{q}_{\rm v} \times] = \begin{vmatrix} 0 & -z & y \\ z & 0 & -x \\ -y & x & 0 \end{vmatrix}$ ist der 3 × 3-Kreuzproduktmatrixoperator des Vektorteils der Quaternion $\boldsymbol{q}_{\rm v}$ .}

Die Ableitung der Quaternion ist definiert als

\dot{\hat{Q}} = \frac{1}{2} (\begin{matrix} - ω^{⊤} Q_{v} \\ Q_{S} ω + ω \times Q_{v} \end{matrix})

$\dot{\boldsymbol{\hat{q}}} = \frac{1}{2} \pmatrix{ -\boldsymbol{\omega}^\top \boldsymbol{q}_{\rm v} \\ q_{\rm s} \boldsymbol{\omega} + \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{q}_{\rm v} }$

Es gibt zwei Möglichkeiten, die Quaternion zu integrieren

verwenden $\boldsymbol{\hat{q}} \rightarrow \boldsymbol{\hat{q}} + h \dot{\boldsymbol{\hat{q}}}$ was eine erneute Normalisierung nach jedem Teilschritt erfordert.
Gegeben $\boldsymbol{\hat{q}} = \pmatrix{\boldsymbol{q}_{\rm v} & q_{\rm s}}$ Und $\boldsymbol{\omega}$ Vektor

$(\begin{matrix} Q_{v} \\ Q_{S} \end{matrix}) \to | \begin{matrix} \cos (\frac{θ}{2}) & - Sünde (\frac{θ}{2}) z^{⊤} \\ Sünde (\frac{θ}{2}) z & \cos (\frac{θ}{2}) + Sünde (\frac{θ}{2}) [z \times] \end{matrix} | (\begin{matrix} Q_{v} \\ Q_{S} \end{matrix})$ $\pmatrix{\boldsymbol{q}_{\rm v} \\ q_{\rm s}} \rightarrow \begin{vmatrix} \cos(\tfrac{\theta}{2} ) & -\sin(\tfrac{\theta}{2} ) \boldsymbol{z}^\top \\ \sin(\tfrac{\theta}{2} ) \boldsymbol{z} & \cos(\tfrac{\theta}{2} ) + \sin(\tfrac{\theta}{2} ) [\boldsymbol{z}\times] \end{vmatrix} \pmatrix{\boldsymbol{q}_{\rm v} \\ q_{\rm s}}$

Wo $\theta = h \| \boldsymbol{\omega} \|$ ist der Schrittwinkel und $\boldsymbol{z} = \boldsymbol{\omega}/\|\boldsymbol{\omega}\|$ ist die Schrittrotationsachse.

Die resultierende Quaternion stellt immer noch Rotationen dar und driftet nicht weg wie andere Formulierungen, sondern ist für niedrige Rotationswerte instabil, wie Sie an der sehen können $\omega$ im Nenner.

Rotationsbewegungsintegration (Starrkörperdynamik)

Michael Gaitanas

lurscher

Rishab Jain

Eli

Michael Gaitanas

Michael Gaitanas

Michael Gaitanas

Eli

lurscher

Michael Gaitanas

Eli

Rishab Jain

John Alexiou

Antworten (1)

John Alexiou

Wie simuliert man Rotationsinstabilität?

Stoppt ein rein rollender Zylinder auf einer rauen Oberfläche? [abgeschlossen]

Berechnung der Winkelbeschleunigung, wenn der Trägheitstensor singulär ist

Eine Frage zur Drehung um den Schwerpunkt

Wie behandle ich die Lagrange-Funktion bei einem starren Körper?

Klarstellung bezüglich der Hauptachsen in der Starrkörperbewegung

Was ist schneller? Reines Rollen oder Rollen mit Rutschen?

Relativistische Zerfallsgeschwindigkeit (im Sinne von Newton) im Teilchensystem

Warum kann jede allgemeine Bewegung eines starren Körpers als Translation + Rotation um den Massenmittelpunkt dargestellt werden?

Trägheitsmoment radialer Bewegungen