Schaltungsanalyse eines aktiven LP-Filters mit 2 Operationsverstärkern

Habe ich diese Analyse richtig gemacht?

Die Gleichungen (1) - (3) sehen richtig aus, aber die Gleichungen für die Kondensatorimpedanzen sind falsch. Sie sollten

$$Z_2 = Z_4 = \frac{1}{j\omega C_1}$$

Wohin gehe ich von hier aus, damit ich keine haarige Gleichung für V_out/V_in bekomme?

Ein Teil der Fähigkeiten, die Sie beim Durcharbeiten von Problemen wie diesem entwickeln, besteht darin, eine „haarige“ Gleichung zu nehmen und sie in eine Standardform zu bringen.

So würde ich das Problem mit Spannungsteilung anstelle von KCL angehen.

Da die Operationsverstärker als nicht invertierende Verstärker mit einer Spannungsverstärkung von 1 (Unity Gain Buffer) konfiguriert sind, ist diese Schaltung besonders einfach zu analysieren.

Am nicht invertierenden Eingang des 1. Operationsverstärkers ist die Wechselspannung (Zeiger) durch Spannungsteilung

$$V_{1+} = V_{in}\frac{Z_{C1}}{R_1 + Z_{C1}} + V_{out} \frac{R_1}{R_1 + Z_{C1}}$$

Da der 1. Operationsverstärker als Einheitsverstärkungspuffer konfiguriert ist, ist dies auch die Ausgangsspannung für den 1. Operationsverstärker.

Am nichtinvertierenden Eingang des 2nt Operationsverstärkers ist die Wechselspannung durch Spannungsteilung

$$V_{2+} = V_{1+}\frac{Z_{C2}}{R_2 + Z_{C2}}$$

Auch hier ist der 2. Operationsverstärker als Einheitsverstärkungspuffer konfiguriert, dies ist auch die Ausgangsspannung für den 2. Operationsverstärker und somit die Ausgangsspannung des Filters.

Die Kombination der beiden obigen Gleichungen ergibt

$$V_{out} = V_{in}\frac{Z_{C1}}{R_1 + Z_{C1}}\frac{Z_{C2}}{R_2 + Z_{C2}} + V_{out} \frac{R_1}{R_1 + Z_{C1}}\frac{Z_{C2}}{R_2 + Z_{C2}}$$

Beachten Sie, dass$V_{out}$erscheint auf beiden Seiten. Gruppieren von Termen, Faktorisieren und Auflösen nach den Ergebnissen der Übertragungsfunktion

$$\frac{V_{out}}{V_{in}} = \frac{Z_{C1}}{R_1 + Z_{C1}}\frac{Z_{C2}}{R_2 + Z_{C2}}\frac{1}{1 - \frac{R_1}{R_1 + Z_{C1}}\frac{Z_{C2}}{R_2 + Z_{C2}}}$$

Nun, das mag „haarig“ aussehen, aber tatsächlich ist nicht viel Algebra erforderlich, um dies in eine Standardform zu bringen.

Beispielsweise besteht der erste Schritt darin, die Nenner miteinander zu multiplizieren, was ergibt

$$\frac{V_{out}}{V_{in}} = \frac{Z_{C1}Z_{C2}}{(R_1 + Z_{C1})(R_2 + Z_{C2}) - R_1Z_{C2}}$$

Das sieht schon viel besser aus. Sie sollten es von hier aus übernehmen können.

Ich würde es so machen und entschuldige, dass ich die Figuren auf deinem Bild nicht erkennen kann: -

Sie müssen sich daran erinnern, dass die Operationsverstärker nur Unity-Gain-Puffer sind und es tatsächlich nur eine unbekannte Spannung gibt, und das habe ich im obigen Bild Va genannt.

Alles, was übrig bleibt, ist, die Begriffe für Vout und Vin zusammenzufassen, um Ihre Übertragungsfunktion zu erstellen. Kannst du das tun?

Als weitere Alternative zur Berechnung der Übertragungsfunktion können Sie den Superpositionssatz verwenden:

1.) berechne (Spannungsteiler, Tiefpass) die Spannung namens va (pos. Eingang des 1. Opamps) in der Zeichnung (Annahme: vout=0).

2.) Berechnen Sie den zweiten Teil von va, der durch Vout verursacht wird (einfacher CR-Hochpass, unter der Annahme, dass Vin = 0).

3.) Addieren Sie beide Teile, um die Endspannung va zu erhalten.

4.) Berechne Vout als Funktion von Va (einfacher RC-Tiefpass).

Die Berechnung ist sehr einfach, wenn von Anfang an die erwähnten Teilvereinfachungen (R2=2R1 und C1=C2=C) eingeführt werden.