Schließt Gödel einen praktikablen ToE aus?

Die Antwort ist nein, denn obwohl eine „Theorie von allem“ eine rechnerische Methode zur Beschreibung jeder Situation bedeutet, erlaubt sie Ihnen nicht, das letztendliche Ergebnis der Evolution unendlich weit in die Zukunft vorherzusagen, sondern nur dahinzutrotten und vorherzusagen Ergebnis nach und nach, während Sie fortfahren.

Gödels Theorem ist eine Aussage, dass es unmöglich ist, das unendliche Zeitverhalten eines Computerprogramms vorherzusagen.

Satz: Bei jeder präzisen Art, Aussagen über Mathematik zu machen, also bei jedem Computerprogramm, das Aussagen über Mathematik ausspuckt, produziert dieses Computerprogramm entweder Unwahrheiten oder nicht jede wahre Aussage.

Beweis: Angesichts des Programms "THEOREMS", das Theoreme ausgibt (es könnte zum Beispiel Deduktionen in der Peano-Arithmetik durchführen), schreiben Sie das Computerprogramm SPITE, um dies zu tun:

• SPITE druckt seinen eigenen Code in eine Variable R
• SPITE führt THEOREMS aus und durchsucht die Ausgabe nach dem Theorem „R hält nicht an“
• Wenn es dieses Theorem findet, hält es an.

Wenn man darüber nachdenkt, beweist in dem Moment, in dem THEOREMS sagt, dass "R nicht anhält", wirklich, dass "SPITE nicht anhält", und dann hält SPITE an, was THEOREMS zu einem Lügner macht. Wenn also "THEOREMS" nur wahre Theoreme ausgibt, hört SPITE nicht auf, und THEOREMS beweist es nicht. Es führt kein Weg daran vorbei, und es ist wirklich trivial.

Der Grund, warum es den Ruf hat, kompliziert zu sein, liegt an den folgenden Eigenschaften der Logikliteratur:

• Logiker studieren formale Systeme, daher neigen sie dazu, beim Schreiben übermäßig formell zu sein. Dies verstrickt die logische Literatur in unnötige Dunkelheit und bremst die Entwicklung der Mathematik. Es gibt sehr wenig, was dagegen getan werden kann, außer sie zu ermahnen, zu versuchen, ihre Literatur zu klären, wie es die Physiker anstreben.
• Logiker trafen in den 1950er Jahren die Entscheidung, die Sprache der Informatik bei der Beschreibung von Algorithmen im Bereich der Logik nicht zuzulassen. Sie taten dies absichtlich, um die im Entstehen begriffene Informatikdisziplin von der Logik zu trennen und die ungewaschenen Horden von Computerprogrammierern von der Logikliteratur fernzuhalten.

Wie auch immer, was ich präsentiert habe, ist der vollständige Beweis von Gödels Theorem, unter Verwendung einer modernen Übersetzung von Gödels ursprünglicher Methode von 1931. Einen schnellen Überblick über andere Ergebnisse und weitere Details finden Sie in dieser MathOverflow-Antwort: https://mathoverflow.net/a/72151/36526 .

Wie Sie sehen können, ist Gödels Theorem eine Einschränkung des Verständnisses des letztendlichen Verhaltens eines Computerprogramms im Rahmen der unendlichen Laufzeit. Physiker erwarten nicht, das letztendliche Verhalten beliebiger Systeme herauszufinden . Was sie tun wollen, ist ein Computerprogramm zu geben, das die Entwicklung eines gegebenen Systems bis zu einer endlichen Zeit verfolgt.

Ein ToE ist wie der Befehlssatz des Computers des Universums. Es sagt Ihnen nicht, was die Ausgabe ist, sondern nur, was die Regeln sind. Ein ToE wäre nutzlos, um die Zukunft vorherzusagen, oder besser gesagt, es ist für Vorhersagen nicht nützlicher als die Newtonsche Mechanik, Statistik und einige gelegentliche Quantenmechanik für die alltägliche Welt. Aber es ist philosophisch extrem wichtig, denn wenn man es findet, hat man die Grundregeln verstanden und es gibt unten keine Überraschungen mehr.

Kommentare einbinden

Es gab Kommentare, die ich in diese Antwort aufnehmen werde. Es scheint, dass Kommentare nur vorübergehend sein sollen, und einige dieser Beobachtungen halte ich für nützlich.

Hilberts Programm war ein Versuch, festzustellen, dass die mengentheoretische Mathematik konsistent ist, indem nur endliche Mittel verwendet wurden. Es gibt eine Interpretation des Satzes von Gödel, die wie folgt lautet:

• Gödel zeigte, dass kein System seine eigene Konsistenz beweisen kann
• Die Mengenlehre beweist die Konsistenz der Peano-Arithmetik
• Daher tötet Gödel Hilberts Programm, die Konsistenz der Mengenlehre mit Hilfe von Arithmetik zu beweisen.

Diese Interpretation ist falsch und spiegelt meiner Meinung nach nicht Hilberts Standpunkt wider. Hilbert ließ die Definition von "finitär" offen. Ich denke, das lag daran, dass er nicht genau wusste, was als endlich zugelassen werden sollte, obwohl er sich ziemlich sicher war, was nicht als endlich zugelassen werden sollte:

1. Keine reellen Zahlen, keine Analyse, keine willkürlichen Teilmengen von$\Bbb Z$. Nur Axiome und Aussagen, die in der Sprache der Peano-Arithmetik ausgedrückt werden können.
2. Keine Struktur, die Sie nicht explizit und konstruktiv realisieren können, wie eine ganze Zahl. Also zum Beispiel keine unzählbaren Ordinalzahlen.

Im Gegensatz zu seinen Anhängern sagte er nicht , dass "finitär" "beweisbar in der Peano-Arithmetik" oder "beweisbar in der primitiven rekursiven Arithmetik" bedeutet, weil ich glaube, dass er dies nicht für stark genug hielt. Hilbert hatte Erfahrung mit transfiniter Induktion und ihrer Kraft, und ich denke, dass er im Gegensatz zu anderen, die ihm in seinem Programm folgten, bereit war zu akzeptieren, dass die transfinite Induktion mehr Theoreme beweist als nur die gewöhnliche Peano-Induktion.

Was er nicht akzeptieren wollte, waren Axiome, die auf einer Metaphysik der Mengenexistenz beruhen. Dinge wie das Powerset-Axiom und das Wahlaxiom. Diese beiden Axiome erzeugen Systeme, die nicht nur gegen die Intuition verstoßen, sondern auch nicht offensichtlich auf Erfahrung beruhen, so dass die Axiome nicht durch Intuition verifiziert werden können.

Diejenigen, die Hilbert folgten, interpretierten Finitär als "beweisbar in Peano-Arithmetik" oder als schwächeres Fragment wie PRA. Angesichts dieser Interpretation tötet Gödels Theorem Hilberts Programm. Aber diese Interpretation ist verrückt, wenn man bedenkt, was wir jetzt wissen.

Hilbert hat ein Buch über die Grundlagen der Mathematik nach Gödels Theorem geschrieben, und ich wünschte, es wäre ins Englische übersetzt worden, weil ich kein Deutsch lese. Ich vermute, dass er dort das sagt, was ich hier sagen werde.

Was Finitär bedeutet

Die Definition von endlich ist heute, nach 1936, völlig offensichtlich. Eine endliche Aussage ist eine wahre Aussage über berechenbare Objekte, Dinge, die auf einem Computer dargestellt werden können. Dies ist gleichbedeutend mit der Aussage, dass eine endliche Aussage eine Aussage über ganze Zahlen ist, die in der Sprache der Peano-Arithmetik ausgedrückt (nicht unbedingt bewiesen ) werden kann.

Dazu gehören ganze Zahlen, endliche Graphen, Textstrings, symbolische Manipulationen, im Grunde alles, was Mathematica handhabt, und es schließt auch Ordnungszahlen ein. Sie können die Ordnungszahlen bis darstellen$\epsilon_0$, beispielsweise unter Verwendung einer Textzeichenfolgencodierung ihrer Cantor-Normalform.

Die Ordnungszahlen, die von einem Computer vollständig dargestellt werden können, sind durch die Church-Kleene-Ordnungszahl begrenzt, die ich nennen werde$\Omega$. Diese Ordnungszahl ist in der traditionellen Mengenlehre relativ klein, da es sich um eine zählbare Ordnungszahl handelt, die leicht überschritten werden kann$\omega_1$(die erste nicht zählbare Ordnungszahl),$\omega_\Omega$(das Church-Kleene-th unzählbare Ordnungszahl) und die Ordnungszahl eines großen Kardinals. Aber es ist wichtig zu verstehen, dass alle rechnerischen Darstellungen von Ordnungszahlen immer kleiner sind.

Wenn Sie also endliche Mathematik betreiben, bedeutet dies, dass Sie über Objekte sprechen, die Sie auf einer Maschine darstellen können, sollten Sie sich auf Ordinalzahlen beschränken, die kleiner sind als Church-Kleene. Im Folgenden wird argumentiert, dass dies überhaupt keine Einschränkung darstellt, da die Church-Kleene-Ordnungszahl die Konsistenz jedes Systems feststellen kann.

Ordinale Religion

Gödels Theorem lässt sich am besten wie folgt interpretieren: Jedes gegebene (konsistente, omega-konsistente) axiomatische System kann durch Hinzufügen des Axioms "consis(S)" stärker gemacht werden. Es gibt mehrere Möglichkeiten, das System zu stärken, und einige davon beziehen sich nicht einfach auf diese Erweiterung, sondern ziehen diese in Betracht.

Bei einem beliebigen System und einer berechenbaren Ordnungszahl können Sie den Prozess der Verstärkung bis zur Ordnungszahl iterieren. Es gibt also eine Karte von Ordnungszahlen zu Konsistenzstärke. Dies impliziert Folgendes:

• Natürliche Theorien sind linear nach Konsistenzstärke geordnet.
• Natürliche Theorien sind gut begründet (es gibt keine unendliche absteigende Kette von Theorien$A_k$so dass$A_k$beweist die Konsistenz von$A_{k+1}$für alle k).
• Natürliche Theorien nähern sich der Church Kleene-Ordnungszahl in ihrer Stärke, erreichen sie aber nie.

Es liegt nahe, Folgendes anzunehmen:

• Bei einer gegebenen Folge von Ordnungszahlen, die sich der Church-Kleene-Ordnungszahl annähert, werden die dieser Ordnungszahl entsprechenden Theorien jeden Satz der Arithmetik beweisen, einschließlich der Konsistenz beliebig starker konsistenter Theorien.

Außerdem werden die Konsistenzbeweise oft genauso gut in konstruktiver Logik geführt, also wirklich:

• Jeder Satz, der bewiesen werden kann, erhält im Rahmen der Church-Kleene-Ordnungszahl einen konstruktiven Beweis.

Dies ist kein Widerspruch zum Satz von Gödel, da die Erzeugung einer Ordinalfolge, die nähert$\Omega$kann nicht algorithmisch gemacht werden, es kann nicht auf einem Computer gemacht werden. Darüber hinaus ist kein endlicher Ort philosophisch wirklich viel näher an Church-Kleene als dort, wo Sie angefangen haben, weil es immer unendlich mehr Strukturen gibt, die unbeschrieben bleiben.

So$\Omega$weiß alles und beweist alles, aber man kann es nie ganz begreifen. Annähern kann man sich nur durch eine Reihe von Annäherungen, die man nie genau spezifizieren kann und die immer irgendwie unendlich unangemessen sind.

Sie können glauben, dass dies nicht wahr ist, dass es Aussagen gibt, die unentscheidbar bleiben, egal wie nahe Sie Church-Kleene kommen, und ich weiß nicht, wie ich Sie vom Gegenteil überzeugen kann, außer indem ich auf langjährige Vermutungen hinweise, die hätten sein können absolut unabhängig, fiel aber auf ausreichend leistungsfähige Methoden. Zu glauben, dass ein ausreichend starkes formales System alle Fragen der Arithmetik löst, ist ein Glaubensartikel, der ausdrücklich von Paul Cohen in Set Theory and the Continuum Hypothesis artikuliert wurde . Ich glaube es, aber ich kann es nicht beweisen.

Ordnungsanalyse

Bei jeder Theorie wie ZF erwartet man also, dass es eine berechenbare Ordnungszahl gibt, die ihre Konsistenz beweisen kann. Wie nahe sind wir dem schon gekommen?

Wir wissen, wie man die Konsistenz der Peano-Arithmetik beweist – dies kann in PA, in PRA oder in Heyting-Arithmetik (konstruktive Peano-Arithmetik) durchgeführt werden, wobei nur das Axiom verwendet wird

• Jeder Countdown von$\epsilon_0$endet.

Dies bedeutet, dass die beweistheoretische Ordinalzahl der Peano-Arithmetik lautet$\epsilon_0$. Das sagt Ihnen, dass die Peano-Arithmetik konsistent ist, denn das ist offensichtlich offensichtlich$\epsilon_0$ist eine Ordnungszahl, also enden alle ihre Countdowns.

Es gibt konstruktive Mengentheorien, deren beweistheoretische Ordnungszahlen ähnlich gut verstanden sind, siehe hier: „Ordinalanalyse: Theorien mit größeren beweistheoretischen Ordnungszahlen“ .

Um weiter zu gehen, ist ein Fortschritt in unseren Systemen der Ordinalnotation erforderlich, aber es gibt keine prinzipielle Beschränkung darauf, die Konsistenz von so starken Mengentheorien wie ZF durch berechenbare Ordinalzahlen zu etablieren, die verstanden werden können.

Dies würde Hilberts Programm vervollständigen – es würde jede Notwendigkeit einer Ontologie unendlicher Mengen bei der Durchführung von Mathematik beseitigen. Sie können der Menge aller reellen Zahlen nicht glauben und trotzdem die Konsistenz von ZF oder von unzugänglichen Kardinalzahlen (unter Verwendung einer größeren Ordnungszahl) akzeptieren und so weiter in der Kette der Theorien.

Andere Interpretationen

Nicht jeder stimmt mit den obigen Gefühlen überein. Einige Leute sehen die unentscheidbaren Aussagen wie die von Gödels Theorem so, als hätten sie einen zufälligen Wahrheitswert, der durch nichts bestimmt ist, so dass sie absolut unentscheidbar sind. Dies macht die Mathematik in ihrer Grundlage grundsätzlich zufällig. Dieser Standpunkt wird oft von Chaitin vertreten. Aus dieser Sicht ist die Unentscheidbarkeit eine grundlegende Einschränkung dessen, was wir über Mathematik wissen können, und ähnelt daher einer populären Fehlinterpretation der Heisenbergschen Unbestimmtheitsrelation, die sie als Einschränkung dessen betrachtet, was wir über die gleichzeitige Position und den Impuls eines Teilchens wissen können (als ob dies versteckte Variablen wären).

Ich glaube, dass Gödels Theorem absolut keine Ähnlichkeit mit dieser Fehlinterpretation der Heisenbergschen Unbestimmtheitsrelation hat. Die bevorzugte Interpretation des Satzes von Gödel ist, dass jeder Satz der Peano-Arithmetik immer noch wahr oder falsch ist, nicht zufällig, und er sollte in einer ausreichend starken Reflexion der Peano-Arithmetik beweisbar sein. Der Satz von Gödel ist kein Hindernis dafür, dass wir irgendwann die Antwort auf jede Frage der Mathematik kennen.

Hilberts Programm ist lebendig und gesund, weil es scheint, dass zählbare Ordinalzahlen kleiner sind als$\Omega$jede mathematische Frage lösen. Dies bedeutet, dass, wenn eine Aussage in ZFC nicht auflösbar ist, sie durch Hinzufügen einer geeigneten Kette von Axiomen der Form „ZFC ist konsistent“, „ZFC+consis(ZFC) ist konsistent“ usw. erledigt werden kann, die transfinit bis zu a iteriert wird zählbare berechenbare Ordnungszahl oder ähnlich beginnend mit PA oder PRA oder Heyting-Arithmetik (möglicherweise durch Iteration der Theorieleiter mit einer anderen Schrittgröße, wie das Hinzufügen von transfiniter Induktion bis zur Grenze aller nachweislich wohlgeordneten Ordnungszahlen in der Theorie).

Der Satz von Gödel stellt keine Unentscheidbarkeit fest, sondern nur eine Unentscheidbarkeit relativ zu einer festen Axiomatisierung, und dieses Verfahren erzeugt ein neues Axiom, das hinzugefügt werden sollte, um das System zu stärken. Dies ist ein wesentlicher Bestandteil der Ordinalanalyse, und die Ordinalanalyse ist einfach Hilberts Programm, wie es heute genannt wird. Im Allgemeinen macht das jeder falsch, außer der Handvoll verbleibender Leute in der deutschen Schule der Ordinalanalyse. Aber das ist eines der Dinge, die behoben werden können, indem man laut genug schreit.

Torkel Franzén

Es gibt Bücher über Gödels Theorem, die nuancierter sind, aber meiner Meinung nach immer noch nicht ganz richtig sind. Greg P ​​sagt über Torkel Franzén:

Ich dachte, dass Franzens Buch die ganze Sache „Goedels Theorem war der Tod des Hilbert-Programms“ vermieden hat. Auf jeden Fall war er nicht so einfach, und wenn man es liest, würde man nur sagen, dass das Programm in dem Sinne „transformiert“ wurde, dass die Menschen sich nicht auf finite Argumente beschränken. Was das angeht, was Sie meinen, John Stillwells Buch „Roads to Infinity“ ist besser. Aber Franzens Buch ist gut für Themen wie die BCS-Frage (entspricht Gödels Theorem der Unschärferelation).

Finitär bedeutet rechnerisch, und ein Konsistenzbeweis benötigt nur eine Ordinalzahl von ausreichender Komplexität.

Greg P ​​antwortete:

Die Frage ist dann, was „endlich“ ist. Ich glaube, ich habe angenommen, dass es Dinge wie transfinite Induktion ausschließt. Aber es sieht so aus, als würdest du das finitär nennen. Was ist dann ein Beispiel für nicht-finitäres Denken?

Wenn die Ordnungszahl nicht berechenbar ist, wenn sie größer als die Church-Kleene-Ordnungszahl ist, dann ist sie unendlich. Wenn Sie die Menge aller reellen Zahlen oder die Potenzmenge von verwenden$\Bbb Z$als Menge mit diskreten Elementen ist das unendlich. Ordnungszahlen, die auf einem Computer dargestellt werden können, sind endlich, und das ist der Standpunkt, den Hilbert meiner Meinung nach in den Grundlagen vorantreibt , aber er wird nicht übersetzt.

Ich denke, Conways Game of Life ist hier ein großartiges Beispiel. Wir haben die „Theory of Everything“ für Conways Spiel des Lebens – die Gesetze, die das Verhalten jedes Systems bestimmen. Sie sind extrem einfach, nur ein paar Sätze ! Diese einfachen "Spielregeln" sind analog zu einer "Theorie von allem", die einen Physiker zufrieden stellen würde, der im Game Of Life-Universum lebt.

Andererseits kann man in The Game Of Life einen Turing-kompletten Computer bauen, das heißt, man kann Fragen zum Game of Life formulieren, auf die es keine mathematisch beweisbare Antwort gibt. Die Fragen würden ungefähr so ​​klingen:

Hier ist eine komplizierte Konfiguration von Billionen von Zellen. Beginnen Sie mit dieser Konfiguration und führen Sie das Spiel des Lebens für eine unendliche Anzahl von Schritten aus. Wird sich die Zelle an dieser und jener Koordinate jemals einschalten?

Diese beiden Dinge sind nicht wirklich verwandt. Natürlich können wir die extrem einfache „Theorie von allem“ für das Game Of Life nachvollziehen . Gleichzeitig können wir natürlich nicht jede Frage wie die obige nach dem asymptotischen Verhalten sehr komplizierter Punktkonfigurationen im Game Of Life mathematisch beantworten.

Ebenso können wir (hoffentlich) den ToE für unser Universum finden. Aber wir werden sicherlich nicht in der Lage sein, alle möglichen Sätze über das asymptotische Verhalten von Dingen, die den Gesetzen des Universums folgen, mathematisch zu beweisen. Damit hatte sowieso niemand gerechnet.

Die Leute neigen dazu, Gödels Theorem zu nehmen und ihn zu biegen, zu dehnen, falsch darzustellen, falsch anzuwenden und im Allgemeinen Dinge damit zu tun, die, wenn Sie sie einer Kakerlake in Texas antun würden, Sie wegen Tierquälerei verhaften würden. Aber es gibt ein Buch, Franzén (2005) , das ausreichen sollte, um jeden verantwortungsbewussten Erwachsenen gegen solch ungezogenes Verhalten zu impfen. Einige Punkte von Franzén:

1. Der Satz von Gödel gilt nur für formale axiomatische Systeme.
2. Der Satz von Gödel gilt nur für Systeme, die "einen bestimmten Betrag an Arithmetik" (der auf eine bestimmte technische Weise definiert ist) beschreiben können.
3. Der Satz von Gödel sagt uns, dass jede konsistente Theorie bestimmte unentscheidbare Aussagen haben wird. Diese Aussagen sind jedoch in der Regel ohne jegliches Interesse.
4. Neben dem Begriff der Konsistenz gibt es noch den Begriff der relativen Konsistenz.

Jede davon reicht aus, um zu zeigen, dass Gödels Theorem keine Relevanz für das Unternehmen der Physik hat. Nehmen wir sie einzeln.

1. Der Satz von Gödel gilt nur für formale axiomatische Systeme.

Nahezu keine nützlichen physikalischen Theorien aus der realen Welt wurden jemals als formale axiomatische Systeme aufgestellt (mit Ausnahme von Fleuriot, 2001 ). Keine solche Formalisierung wurde jemals verwendet, um reale Physik zu betreiben (dh Dinge, die Sie in einer Zeitschrift veröffentlichen könnten). „Formales Axiomatiksystem“ bedeutet für einen Logiker etwas ganz anderes, als es sich ein Physiker vorstellen mag. Es bedeutet, alle möglichen Aussagen der Theorie auf Zeichenfolgen und alle Axiome der Theorie auf Regeln zur Manipulation dieser Zeichenfolgen zu reduzieren, die so explizit formuliert sind, dass ein Computer sie überprüfen könnte. Diese Art der Formalisierung ist weder notwendig noch ausreichend, um eine physikalische Theorie gültig, nützlich oder interessant zu machen.

2. Der Satz von Gödel gilt nur für Systeme, die „einen gewissen Grad an Arithmetik“ beschreiben können.

Dies ist eine größere Einschränkung, als Sie vielleicht annehmen. In unserer heutigen Wissenschaftskultur gehen wir zur Schule und lernen Arithmetik, dann Geometrie und das System der reellen Zahlen. Daher stellen wir uns die ganzen Zahlen als ein einfaches mathematisches System vor und die reellen Zahlen als ein komplizierteres, das auf den ganzen Zahlen aufbaut. Das ist nicht mehr als eine kulturelle Voreingenommenheit. Die Elementartheorie der reellen Zahlen entspricht der Elementartheorie der Euklidischen Geometrie. ("Elementar" hat eine technische Bedeutung und entspricht der Logik erster Ordnung.) Die elementare euklidische Geometrie ist nicht in der Lage, "ein gewisses Maß an Arithmetik" zu beschreiben, wie sie in Gödels Theorem definiert ist. Der Satz von Gödel gilt also nicht für die elementare Theorie der reellen Zahlen, und tatsächlich hat sich diese Theorie als konsistent und vollständig erwiesen (Tarski, 1951). Es ist durchaus möglich, dass eine ToE in geometrischer Sprache ohne Verwendung von Arithmetik oder in der Sprache des reellen Zahlensystems ausgedrückt werden könnte. Zum Beispiel diePrincipia ist vollständig in der Sprache von Euklids Elementen gehalten , und es ist für mich auch nicht offensichtlich, dass es irgendein Hindernis gibt, Theorien wie die Maxwellschen Gleichungen oder die allgemeine Relativitätstheorie in der Sprache des Systems der reellen Zahlen unter Verwendung der elementaren Logik aufzustellen.

3. Der Satz von Gödel sagt uns, dass jede konsistente Theorie bestimmte unentscheidbare Aussagen haben wird. Diese Aussagen sind jedoch in der Regel ohne jegliches Interesse.

Ich denke, das ist ziemlich selbsterklärend. Und ich denke nicht, dass Entscheidbarkeit eine notwendige oder sogar besonders wünschenswerte Eigenschaft für einen ToE ist; Nur wenige interessante Theorien in der Mathematik sind entscheidbar, und doch verbringen die meisten Mathematiker keine Zeit damit, sich darüber Gedanken zu machen.

4. Neben dem Begriff der Konsistenz gibt es noch den Begriff der relativen Konsistenz.

Es ist möglich zu beweisen, dass ein axiomatisches System mit einem anderen äquikonsistent ist, was bedeutet, dass eines genau dann selbstkonsistent ist, wenn das andere es ist. Wenn wir ein ToE hätten und es zu einem axiomatischen System machen könnten, und es die Art von axiomatischem System wäre, auf das Gödels Theorem zutrifft, dann wäre es wahrscheinlich gleichbedeutend mit einem anderen bekannten System, wie etwa einer Formulierung der reellen Analyse . Jeder Zweifel an der Konsistenz der ToE wäre dann gleichbedeutend mit Zweifeln an der Konsistenz der echten Analyse – aber niemand glaubt, dass es der echten Analyse an Konsistenz mangelt.

Warum kümmern wir uns schließlich um "Konsistenz"? Ich verwende die erschreckenden Anführungszeichen, weil wir hier über Physik sprechen. Wenn ich mit einem Mathematiker über die "Selbstkonsequenz" einer Theorie spreche, ist die übliche Reaktion ein verständnisloser Blick oder eine gönnerhafte Korrektur. „ Selbst “-Konsistenz ist die einzige Art von Konsistenz, um die sich ein Mathematiker jemals kümmert. Aber ein Physiker interessiert sich für mehr als das. Uns interessiert, ob eine Theorie mit dem Experiment vereinbar ist . Es gibt keinen guten Grund, sich darum zu kümmern, ob ein ToE nicht als selbstkonsistent bewiesen werden kann, denn es gibt andere Sorgen, die viel größer sind. Der ToE könnte selbstkonsistent sein, aber jemand könnte ein Experiment durchführen, das beweisen würde, dass er falsch war.

J. Fleuriot, Eine Kombination aus Geometriesatzbeweis und Nichtstandardanalyse mit Anwendung auf Newtons Principia , 2001

T. Franzén, Gödels Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Misuse , 2005

A. Tarski, A Decision Method for Elementary Algebra and Geometry , 2nd rev. ed., 1951 [Nachdruck in seinen Collected Papers , Vol. 3.]

Wenn eine "Theorie von allem" eine rechnerische Methode zur Beschreibung einer beliebigen Situation bedeutet und wahre arithmetische Formeln existieren (wie Gödel gezeigt hat), die nicht bewiesen werden können, gibt es wahre arithmetische Formeln, die notwendig sind, um eine Situation zu beschreiben, die nicht rechnerisch entdeckt werden kann, oder wenn sie zufällig entdeckt werden, können sie nicht bewiesen werden. Um beispielsweise vollständig zu sein, müsste diese Berechnungsmethode in der Lage sein, die Gültigkeit von Mathematik und Logik zu beweisen, ohne Mathematik und Logik zu verwenden, da Mathematik und Logik von der Physik getrennt sind.

Die obige Definition, dass "Gödels Theorem eine Aussage ist, dass es unmöglich ist, das unendliche Zeitverhalten eines Computerprogramms vorherzusagen." ist sowohl falsch als auch anachronistisch (zuerst lehnte Gödel die Church-Turing-Definition von „Berechenbarkeit“ ab, musste sie aber später (gemeint ist 1946) schließlich selbst entdecken). Außerdem war Gödel kein Informatiker, auch wenn seine Logik ihnen zu einem späteren Zeitpunkt nützlich sein würde. Das oben beschriebene Problem ist eine spezifische Anwendung von Gödels Theorem, das als „Halteproblem“ bezeichnet wird, aber sein Theorem ist viel umfassender und seine Implikationen sind viel größer. Was Gödels erster Satz im Wesentlichen besagt, ist Folgendes:

Jedes effektiv generierte axiomatische System$S$kann nicht gleichzeitig konsistent und vollständig sein. Insbesondere für jedes effektiv generierte Axiomatiksystem$S$das konsistent ist, was bestimmte grundlegende Schlussfolgerungen als wahr beweist, gibt es einige grundlegende wahre Schlussfolgerungen, die innerhalb dieses Systems nicht beweisbar sind$S$.

Für jedes formal effektiv generierte Axiomatiksystem$S$, wenn$S$eine Aussage über seine eigene Konsistenz enthält, dann ist S inkonsistent.

Eine der obigen Antworten stellte fest, dass:

1. Gödels Theorem gilt nur für formale axiomatische Systeme (was wahr ist)

Er schlug jedoch weiter vor, dass "fast keine nützlichen realen physikalischen Theorien jemals als formale axiomatische Systeme angegeben wurden". Dies ist völlig falsch, wenn man bedenkt, wie Gödel formale axiomatische Systeme definiert hat. Mit formalen axiomatischen Systemen meinte Gödel „berechenbar“ und meinte jedes System, das in der Lage ist, Ergebnisse (Schlussfolgerungen) durch Funktionen (oder Logik) abzuleiten, die algorithmisch berechenbar sind. Die Physik stützt sich vollständig auf zwei solcher Systeme - Mathematik und Logik, was bedeutet, dass die Physik es auch ist.

Wird wirklich behauptet, Physik sei nicht berechenbar? Die Physik macht Vorhersagen mithilfe von Mathematik und Logik, die beide formale axiomatische Systeme sind. Die Physik beschreibt auch ihr beobachtetes Verhalten unter Verwendung derselben Systeme. Die Physik ist nichts weniger als ein formales axiomatisches System zur Beschreibung der Natur, setzt aber diese anderen Systeme voraus. Auch wenn einige seiner Axiome beobachtet oder gemessen werden, leitet es Ergebnisse aus diesen oder Gesetze über sie durch Funktionen ab, die berechenbar sind ($E=MC^2, F=MA$), daher trifft Gödel absolut zu.

Das bedeutet, dass eine Theory of Everything und auch die Physik entweder in sich konsistent, aber unvollständig sein muss, d. h. nicht wirklich jede mögliche Situation beschreiben kann, oder sie muss vollständig, aber inkonsistent sein, d. Widersprüche). Dass die Physik die Mathematik benötigt, um ihre eigenen Wahrheiten zu beweisen, zeigt, dass die Physik unvollständig ist (da sie die Konsistenz der Mathematik als axiomatisches System voraussetzen muss), genauso wie die Mathematik die Logik benötigt, um ihre Theoreme zu beweisen (aus dem gleichen Grund kann die Mathematik die Logik nicht beweisen, aber muss man einfach voraussetzen). Dies ist ein direkter Beweis für Gödels Behauptung, dass kein axiomatisches System seine eigene Konsistenz beweisen kann und daher unvollständig ist. Zusätzlich,

Jede „Theory of Everything“ kann nicht vollständig sein, da sie Mathematik oder Logik nicht erklären kann und es physikalische Phänomene geben wird, deren Verhalten nicht berechnet werden kann. Genau wie die Physik selbst erfordert die Physik eines EVG zusätzlich zur physikalischen Beobachtung Mathematik und Logik, was zeigt, wie unvollständig die Physik an sich ist (obwohl sie konsistent ist).

Ich stimme Ihrer Aussage zum Satz von Gödel nicht zu. Der Unvollständigkeitssatz von Gödel besagt, dass es in jeder formalen Sprache, die stark genug ist, um zu rechnen (dh Sie können Peanos Axiome aufschreiben), immer eine wahre Aussage gibt, die nicht bewiesen werden kann. Was Gödel tat, um dies zu beweisen, war, so etwas wie das Paradox des Lügners in einer solchen Sprache zu konstruieren:

Dieser Satz ist nicht beweisbar.

Ich glaube nicht, dass dies einen Einfluss darauf hat, ob es einen praktikablen ToE gibt oder nicht, aber ich weiß nicht viel über ToE.

Ich habe das Gefühl, dass Gödels Unvollständigkeitssatz oft missverstanden wird. Es erhebt keinen Anspruch darauf, ob Aussagen wahr sind oder nicht, es sagt einfach, dass wir nicht alles beweisen können, was wahr ist; Dinge sind einfach.

Eine Möglichkeit, dies zu betrachten, ist Hilberts sechstes Problem , nämlich die Axiomatisierung der Physik. Nun kann man sagen, dass das, was Hilbert unter „Axiomatisierung“ verstanden hat, durch Gödels (und Gentzens) Ergebnisse widerlegt wird. (Siehe sein zweites Problem .)

tl;dr; Alle möglichen Universen haben einen endlichen Maßstab und sind "zu klein", um alle möglichen Vermutungen codieren zu können, sodass sie nicht auf ihnen operieren und somit ihre Wahrhaftigkeit nicht beweisen können. Daher kann ein vollständig berechenbares Universumsmodell das Gödelsche Theorem nicht verletzen.

Auszüge aus verschiedenen anderen Stellen in den Antworten:

Ich denke, die Antwort wird eines von zwei Dingen:

Option A: Der Satz von Gödel verhindert nicht die Existenz mechanistischer Mittel zur Bestimmung des Wahrheitsgehalts einer willkürlichen Vermutung. (Obwohl ich nicht sicher bin, ob Gödel dies ausschließt, wird es durch die Reduktion auf das Halteproblem ausgeschlossen.)

Option B: Das Gödelsche Theorem impliziert, dass es selbst bei einem gültigen, berechenbaren EVG keine Abbildung zwischen arithmetischen Vermutungen und Zuständen des Universums gibt, so dass eine identifizierbare Eigenschaft gilt, wenn die Vermutungen korrekt sind. Dies könnte (und ich vermute es) einfach dadurch wahr sein, dass die Menge aller möglichen Vermutungen größer ist (eine Unendlichkeit höherer Ordnung oder größere Ordnungszahlen) als die Menge aller möglichen Zustände von Universen, die unter dem EVG existieren können.

Tatsächlich ist der Unvollständigkeitssatz der Weg zu einer Theorie von allem.

Das Theorem besagt ungefähr, dass Sie ein Supersystem benötigen, um die Axiome eines Systems konsistent und vollständig zu beweisen.

Was Sie also tun müssen, ist, unsere Messungen in ein größeres System einzubinden. Wir modellieren derzeit unsere Messungen frontal.

Wenn wir sie indirekt modellieren könnten, sodass sie aus der Theorie hervorgehen, anstatt sich automatisch zu vermuten, würden wir einen Durchbruch erzielen.

Lanzas Biozentrismus verspricht das.