Schwingung eines elastischen Seils, das von der Decke hängt

Question

Schwingung eines elastischen Seils, das von der Decke hängt

nunca13

Ich muss das Problem der Schwingungen eines von der Decke hängenden elastischen Seils untersuchen, das sich sowohl in vertikaler als auch in horizontaler Richtung bewegen kann. Ich plane, dies mit einer Art Finite-Differenzen-Methode zu lösen (die Stabilität und wie schnell die Methode ist, ist nicht wichtig).

Um zu verstehen, was ich versuche, werde ich es zuerst in 1D lösen (nur vertikale Verschiebungen).

Die PDE, die wir lösen, ist $\mu \frac{\partial^2 x}{\partial t^2} = \frac{\partial F(x)}{\partial x} + \mu g$ , wobei $\mu$ die Masse pro Längeneinheit und F die elastische Kraft ist.

Also teile ich das Seil in n kleine Stücke und $h = \frac{L}{n}$ . Stellen wir sie uns als n Punkte vor, die mit Federn mit Koeffizienten k verbunden sind. Wir müssen dann die Gleichung durch endliche Differenzen ausdrücken, wobei $x_{i,j}$ ist die Position des i-ten Elements zum Zeitpunkt $j\Delta t$ . Auf jedes Stück wirkt also eine Kraft $F = k*((x_{i-1,j}-x_{i,j}) + (x_{i+1,j}-x_{i,j})-h) = k(x_{i+1,j}-2x_{i,j}+x_{i-1,j}-2h)$ .

Wir brauchen die Ableitung der Kraft: $\frac{\partial F(x)}{\partial x} = \frac{F(x+h)-F(x)}{h} = \frac{x_{i+2,j}-2x_{i+1,j}+x_{i,j}-2h-x_{i+1,j}+2x_{i,j}-x_{i-1,j}+2h}{h} = \frac{x_{i+2,j}-3x_{i+1,j}+3x_{i,j}-x_{i-1,j}}{h}$

Die Zeitableitung ist $\frac{\partial^2 x}{\partial t^2} = \frac{x_{i,j+1}-2x_{i,j}+x_{i,j-1}}{(\Delta t)^2}$

Also $\frac{x_{i,j+1}-2x_{i,j}+x_{i,j-1}}{(\Delta t)^2} = \frac{k}{\mu} \frac{x_{i+2,j}-3x_{i+1,j}+3x_{i,j}-x_{i-1,j}}{h} +g$

Von hier aus können wir $x_{i,j+1}$ und löse dies rekursiv mit Doppelschleife. Aber...

Ich bin mir nicht sicher, ob dieser Ansatz in Ordnung ist. Die Rekursion in der Zeit scheint in Ordnung zu sein, Sie erhalten die $x_{i,-1}$ aus der Anfangsbedingung für Geschwindigkeit und $x_{i,-1}$ aus der Anfangsbedingung für die Position. Aber ich weiß nicht, wie ich mit der 4-teiligen Rekursion umgehen soll, die von der Ableitung der Kraft herrührt. Auch als ich versuchte, dies zu programmieren (ich verwendete $x_{-2} = x_{-1} = x_0 = 0$ ) Ich habe eine Art Oszillation (ähnlich einer Bessel-Funktion) auch ohne anfängliche Verschiebungen (ich habe nur anfänglich $x_i$ sa Abstand h auseinander). aufhebt. $\frac{F(x+h)-F(x)}{h}$ ? Habe ich bei der Ableitung dieses Problems etwas falsch gemacht? Gibt es einen besseren Weg, dies zu tun (so dass ich es später in ein 2D-Problem übersetzen kann)?

Ich hoffe, ich habe beim Aufschreiben der Indizes keine Fehler gemacht. Alle Tipps und Ideen werden geschätzt.

Antworten (2)

Schwingung eines elastischen Seils, das von der Decke hängt

Eli · Answer 1

Schwingungen eines elastischen Seils

Ich versuche dieses Problem mit einem anderen Ansatz zu lösen, weil ich denke, dass die Finite-Elemente-Methode (FEM) zu kompliziert sein könnte.

Ansatz:

Die Länge des Pendelseils $L$ hängen vom "Dehnungskoeffizienten" $\eta$

Gleichungen:

Positionsvektor R ⃗ = [L (η) weil (ϑ) L (η) Sünde (ϑ)] Kinetische Energie T = 1 2 M R ⃗ ˙ 2 = 1 2 M L (η) 2 ϑ ˙ 2 Potenzielle Energie v = m G L (η) cos (ϕ)

$\begin{align*} &\text{Position vector}\\ &\vec{r}=\left[ \begin {array}{c} L \left( \eta \right) \cos \left( \vartheta \right) \\ L \left( \eta \right) \sin \left( \vartheta \right) \end {array} \right]\\\\ & \text{Kinetic energy }\\ &T=\frac{1}{2}\,m\,\dot{\vec{r}}^2=\frac{1}{2}\,m\,L(\eta)^2\dot{\vartheta}^2\\\\ & \text{Potential energy }\\ &V=m\,g\,L(\eta)\,\cos(\varphi) \end{align*}$ Wie berechnen wir

L ( η) $L(\eta)$ ?

L (η) = L 0 + 1 η R ⃗ 2 - - \sqrt = L 0 + 1 | η | L (η) \Rightarrow L (η) = L 0 | η | 1 + | η |, also wenn der Dehnungskoeffizient sehr steif ist η \mapsto \infty bekommen wir L (η) = L 0 wie es sein soll

$\begin{align*} &L(\eta)=L_0+\frac{1}{\eta}\,\sqrt{\vec{r}^2}=L_0+\frac{1}{|\eta|}\,L(\eta)\quad \Rightarrow\\ &L(\eta)=L_0\,\frac{|\eta|}{1+|\eta|}\\ &\text{,so if the strain coefficient is very stiff $\eta\mapsto\infty$ we get } \quad L(\eta)=L_0 \quad \text{as it schuld be} \end{align*}$

Abbildung: $L(\eta)$ gegen $\eta$

$Abbildung $L(\eta)$ gegen $\eta$$

Die Bewegungsgleichung:

$\begin{align*} &\frac{d^2 \vartheta}{dt^2}+\frac{g}{L_0}\frac{1+|\eta|}{|\eta|}\,\sin(\vartheta)=0 \end{align*}$

Auf den Dehnungskoeffizienten bin ich noch nie gestoßen. Ich würde gerne etwas mehr über diese Lösung verstehen, anstatt sie nur blind umzusetzen. Könnten Sie vielleicht näher darauf eingehen oder einen Link oder eine Buchempfehlung haben, wo ich etwas Theorie dahinter finden könnte?
Vielleicht finden Sie einige Informationen unter en.wikipedia.org/wiki/Young%27s_modulus
Bitte beschädigen Sie Ihren Post nicht, indem Sie sagen: "Sie haben ihn herausgenommen". Wenn Sie die Antwort nicht anzeigen möchten, drücken Sie die Schaltfläche "Löschen" und löschen Sie sie stattdessen.

Chet Miller · Answer 2

Ich habe Probleme mit Ihrer Gesamtformulierung. Bei einem elastischen Seil ist die Spannung im Seil

$F=EA\frac{du}{dx}$ wobei u die Abwärtsverschiebung relativ zum oberen Ende ist, A die Querschnittsfläche des Seils ist und E der Elastizitätsmodul ist. Dann würde die Kräftebilanzgleichung lauten:

$\mu\frac{\partial ^2 u}{\partial t^2}=EA\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}+\mu g$ Die Randbedingungen wären u = 0 bei x = 0 und du/dx = 0 bei x = L. Die ungestörte Spannung wäre

$F_0(x)=\mu g (L-x)$ , und die ungestörte Verschiebung wäre

$u_0(x)=\frac{\mu g}{2EA}\left[L^2-(L-x)^2\right]$

Anhang 2D Betrachtet man das Materialelement zwischen s und s + ds entlang des Seils, so ist das Dehnungsverhältnis dieses Materialelements

$\lambda=\sqrt{\left(\frac{\partial x}{\partial s}\right)^2+\left(\frac{\partial y}{\partial s}\right)^2}$ und die Dehnung ist

$\epsilon=\lambda-1=\sqrt{\left(\frac{\partial x}{\partial s}\right)^2+\left(\frac{\partial y}{\partial s}\right)^2}-1$ In Bezug auf Verschiebungen wird dies zu:

$\epsilon=\sqrt{\left(1+\frac{\partial u}{\partial s}\right)^2+\left(\frac{\partial v}{\partial s}\right)^2}-1$ wobei u die Verschiebung des Materialpunkts s in x-Richtung und v die Verschiebung in y-Richtung ist. Der Einheitsvektor in Seilrichtung am Materialort s ist gegeben durch:

$\mathbf{i_s}=\frac{\mathbf{i_x}dx+\mathbf{i_y}dy}{\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}}=\frac{\mathbf{i_x}\frac{\partial x}{\partial s}+\mathbf{i_y}\frac{\partial y}{\partial s}}{\sqrt{\left(\frac{\partial x}{\partial s}\right)^2+\left(\frac{\partial y}{\partial s}\right)^2}}=\frac{\mathbf{i_x}(1+\frac{\partial u}{\partial s})+\mathbf{i_y}\frac{\partial v}{\partial s}}{\sqrt{\left(1+\frac{\partial u}{\partial s}\right)^2+\left(\frac{\partial v}{\partial s}\right)^2}}$ Die Zugkraft im Seil ist dann:

$\mathbf{F}=\frac{\mathbf{i_x}(1+\frac{\partial u}{\partial s})+\mathbf{i_y}\frac{\partial v}{\partial s}}{\sqrt{\left(1+\frac{\partial u}{\partial s}\right)^2+\left(\frac{\partial v}{\partial s}\right)^2}}EA\epsilon$ Der Beschleunigungsvektor am materiellen Punkt s ist:

$\mathbf{a}=\frac{\partial ^2 u}{\partial t^2}\mathbf{i_x}+\frac{\partial ^2 v}{\partial t^2}\mathbf{i_y}$

Wie würde sich das auf einen 2D-Fall übertragen? Wäre es richtig, 2 Gleichungen dieser Art zu verwenden, eine für $u_y$ und die andere für $u_x$ (abzüglich der Schwerkraft von c)?
Ich nehme an, Sie vernachlässigen die Biegesteifigkeit des Seils, richtig? Ich denke, es verstößt gegen die Forenregeln, wenn ich die vollständige 2D-Ableitung zur Verfügung stelle. Aber um Ihr Denken anzuregen, würde ich s die unverformte Abstandskoordinate darstellen lassen, die entlang des Seils gemessen wird, und ich würde x(s,t), y(s,t) und z(s,t) die kartesische Parametrisierung darstellen lassen Koordinaten des materiellen Punktes s zum Zeitpunkt t. Jedenfalls würde ich es persönlich so einrichten.
Ja, Biegen wird vernachlässigt. Ich habe versucht, mit der von Ihnen beschriebenen Parametrisierung zu arbeiten, bevor ich zuerst mit dem 1D-Modell begonnen habe, aber ich bin wohl falsch vorgegangen. Ich habe so etwas wie das gemacht, was ich in meiner Frage beschrieben habe, außer dass es ziemlich schrecklich war - eine Rekursion mit 4 Elementen und es war nicht einmal linear. I, weil ich $(ds+du)^2 = (x_{i+1} -x_i)^2+ (y_{i+1} -y_i)^2 $und von dort $F = k*du$ verwendet habe, dann habe ich getrennte Gleichungen für x- und y-Richtung gemacht, die so aussahen: $\mu x_{tt} = \frac{\partial}{\partial s}(F(s)\frac{dx}{ds})$ und ähnlich für die y-Richtung.
Sie können hierfür nicht die gerade Federgleichung verwenden, ohne die Auswirkung der Federlänge auf die Federkonstante zu berücksichtigen (die durch die Spannungs-Dehnungs-Beziehung erfasst wird). Da Sie sich etwas Mühe gegeben haben, werde ich ein wenig mit der 2D-Analyse fortfahren. Ich werde den Nachtrag bald eintragen.
Ich versuche jetzt aktiv, mich um das zu kümmern, was Sie mir gesagt haben, insbesondere in der ursprünglichen Antwort. Wenn also die Kraft $F = EA\frac{du}{ds}$ ist und am Ort von ds in die Richtung von s zeigt, ist die Komponente in x-Richtung $EA\frac{du}{ds}\frac{dx }{ds}$. Jetzt habe ich Probleme, herauszufinden, 1. was die Gleichung sein wird (da wir dann 2 Gleichungen für die x- und y-Projektion der Kraft erhalten, wird es auf beiden $\frac{\part^2 u}{\part s geben ^2} und die Ableitung von x/y nach s. Was wird auf der linken Seite stehen?Und 2. Ich kann die Verbindung zwischen dx/dy und ds nicht erkennen
Betrachten Sie nur kleine Verschiebungen des Seils oder berücksichtigen Sie auch große Verschiebungen?
Idealerweise auch große Verschiebungen, aber immer noch klein genug, dass Komplikationen wie Schlaufenbildung des Seils etc. nicht auftreten
Der Grund, warum ich frage, ist, dass, wenn nur kleine Verschiebungen berücksichtigt würden, die Seilelastizität nicht berücksichtigt werden müsste und die Spannung nur als die für das ungestörte Seil angenommen werden könnte (dh nicht dehnbare Seilnäherung).
Die Idee ist, Elastizität zu implementieren und das Problem numerisch zu lösen. Das Problem mit der konstanten Spannung habe ich bereits gelöst (es ist analytisch lösbar und die Lösungen für die räumliche Abhängigkeit sind Besselsche Funktionen $J_0$, wobei nur Verschiebungen in horizontaler Richtung angenommen werden)
Okay. Ich würde auch die x-Verschiebung als $u=u_0+u_1$ darstellen und dann in Bezug auf $u_1$ und v linearisieren, wobei $u_0$ die Verschiebung für das ungestörte Seil ist (in meinem ursprünglichen Beitrag).
Meine Empfehlung ist, zuerst das linearisierte Problem (in Bezug auf die Verschiebungen) zu lösen. Warum? Wenn Sie das nicht lösen können, werden Sie niemals in der Lage sein, die nichtlineare Version zu lösen. Außerdem haben Sie dann die linearisierte Lösung bereits zum Vergleich in der Tasche.
Mit linearisieren meinen Sie, alle Teile der Gleichung wegzuwerfen, die in u1 zweiter oder höherer Ordnung sind?

Schwingung eines elastischen Seils, das von der Decke hängt

nunca13

Antworten (2)

Eli

nunca13

Eli

Kyle Kanos

Chet Miller

nunca13

Chet Miller

nunca13

Chet Miller

nunca13

Chet Miller

nunca13

Chet Miller

nunca13

Chet Miller

Chet Miller

nunca13

Chet Miller

Äquivalente Länge eines einfachen Pendels

Warum müssen wir Impulse für Zeichenfolgen einfügen?

Warum ist die Spannung in einem Tauziehen nicht doppelt so hoch wie die Waage? [Duplikat]

Wie findet man die Bewegungsgleichung für eine Schnur, die durch die Mitte eines Tisches gefädelt ist?

Warum sind die Spannungskräfte in einem gespannten Seil / einer gespannten Schnur intuitiv gleich, aber entgegengesetzt?

Umgang mit Riemenscheiben und Saiten mit Masse

Federzugsystem

Abhängigkeit der Spannung (unter Berücksichtigung eines Flaschenzugsystems) von der Masse der Lasten

Probleme mit Spannung

Eine intuitivere Lösung für die Kinematik des Rollen-Seil-Systems