Sind Infinitesimale im Newton- und Leibniz-Kalkül potentiell oder tatsächlich?

Tatsächliche Unendlichkeiten, die in Mengen zusammengefasst sind, wurden von (philosophierenden) Mathematikern nicht offiziell in Betracht gezogen, bis Cantor (mit einiger Erwartung von Bolzano) aristotelischen und scholastischen Argumenten entgegentrat, dass solche Objekte paradox sind, siehe Wie funktioniert tatsächliche Unendlichkeit (von Zahlen oder Raum)? Ironischerweise lehnte Cantor die Infinitesimalen selbst ab, siehe Was war Cantors philosophischer Grund dafür, das Unendliche zu akzeptieren, aber das Infinitesimale abzulehnen?

Stevin befürwortete jedoch bereits Mitte des 16. Jahrhunderts die Zulassung unendlicher Dezimalzahlen als Zahlen, siehe Wann wurde verstanden, dass irrationale Zahlen sich nicht wiederholende Dezimaldarstellungen haben? , und Mitte des 17. Jahrhunderts wurden die euklidischen Regeln zur Unterscheidung von Größen, Zahlen und Verhältnissen weitgehend aufgegeben. Noch früher begann Cardano damit, „unmögliche“ Zahlen zu manipulieren, und andere folgten. Die abenteuerliche Einstellung „Ergebnisse sind wichtiger als Formalitäten“ reichte bis weit ins 18. Jahrhundert hinein, als Euler seine berühmten Manipulationen mit divergierenden Reihen durchführte und Dalambert seinen Schülern sagte: „Arbeite weiter, der Glaube kommt später “. Um es ganz klar auszudrücken, die meisten Mathematiker kümmerten sich nicht um die aristotelische Unterscheidung zwischen tatsächlichen und potentiellen Unendlichkeiten.

Newton und Leibniz waren jedoch vorsichtiger. Leibniz dachte über die tatsächliche Unendlichkeit des Existierenden nach, siehe Leibniz' Actual Infinite von Arthur , aber er war ausreichend beeindruckt von den aristotelischen Argumenten, um sie nicht wie Cantor in Totalitäten zu sammeln. Neuere Forschungen zeigen, dass Leibniz (wie vor ihm Fermat) Infinitesimals als „ nützliche Fiktionen “ (seine Formulierung) behandelte, wie Cardanos imaginäre Zahlen, aber nicht als rein nominelle Fiktionen von heute, siehe Leibniz’ Infinitesimals von Katz und Sherry :

„ Leibniz‘ Infinitesimals sind Fiktionen, keine logischen Fiktionen, wie Ishiguro vorgeschlagen hat, sondern eher reine Fiktionen, wie Imaginäre, die nicht durch eine synkategorematische Paraphrase eliminiert werden können .

Dennoch waren die zeitgenössischen Wahrnehmungen anders. Diejenigen, die sich mehr mit dem philosophischen Status der Infinitesimal beschäftigten, sahen Berkeleys Kritik an ihnen als zutreffend und Newtons Konzeption als kohärenter an (einschließlich Kant, ungeachtet seiner Sympathien für Leibniz). Man könnte sagen, dass Newtons „kinematische Interpretation“ von Infinitesimalzahlen (die er zum Teil Archimedes durch Toricelli und Barrow verdankt, siehe Wer entdeckte die Potenzregel für Ableitungen?) war dem aristotelischen Verständnis von Bewegung mit potenziellen Unendlichkeiten und der klassischen Auflösung von Zenos Paradoxien nahe. Maclaurin versuchte 1742 eine rigorose Darstellung der Infinitesimalrechnung auf der Grundlage der kinematischen Interpretation. Man könnte sogar sagen, dass Kants Theorie der synthetischen Konstruktion in der Mathematik auf der aristotelischen Beschränkung auf potentielle Unendlichkeiten beruht, die wohl Euklids Elemente durchdringt (tatsächlich hat Kant sein Konzept ausdrücklich modelliert / Intuitionsdualität zu Aristoteles Materie/Form). Friedman kommentiert in Kants Theorie der Geometrie :

"Obwohl die kinematische Interpretation des Kalküls sicherlich nicht den modernen Standards der Strenge entspricht, ist sie außerdem nicht mit den offensichtlichen Problemen hinsichtlich Konsistenz und Kohärenz behaftet, denen eine Interpretation gegenübersteht, die auf Differentialen, Infinitesimalen und unendlich kleinen Mengen basiert. Als die kinematische Interpretation im späten 18. Jahrhundert ausdrücklich von Mathematikern wie D'Alembert und l'Huilier kritisiert wurde, geschah dies nicht aus Gründen der Kohärenz und Konsistenz, sondern weil angenommen wurde, dass sie ein "fremdes" oder "physikalisches" Element importiert in die reine Mathematik. Die reine Mathematik sollte unabhängig von und vor der mathematischen Physik sein; daher sollte es in völliger Unabhängigkeit von der Idee der Bewegung entwickelt werden. Für Kant hingegen ist dieses „Mischen“"

[...]Aber warum genau entspricht die kinematische Interpretation nicht den modernen Standards der Strenge? Das ist eine schwierige und faszinierende Frage. Fürs Erste wage ich jedoch einfach den Vorschlag, dass der Unterschied zwischen der iterativen Unendlichkeit bei euklidischen Konstruktionen und der stärkeren Verwendung von Unendlichkeit bei Grenzwertoperationen hier eine zentrale Rolle spielt. In der euklidischen Geometrie spezifizieren wir die Objekte unserer Untersuchung – Kreise, gerade Linien und alle daraus konstruierbaren Figuren – durch ein gut definiertes iteratives oder „induktives“ Verfahren … Im Gegensatz dazu haben wir in der Fluxationsrechnung keine solche Spezifikation: Es wurde kein schrittweises Verfahren (oder eine andere genau definierte Methode) zum Konstruieren aller Fluens oder "fließenden Grissen" angegeben. Ähnlich, unsere zeitliche Darstellung der Grenzwertoperation erfolgt nicht durch wiederholte Anwendung zuvor gegebener Funktionen: Jeder neue Grenzwert muss sozusagen „an Ort und Stelle“ konstruiert werden. Dies ist am Ende vielleicht der grundlegendste Vorteil der Cauchy-Bolzano-Weierstraß-Definition der Konvergenz."

In Newtons Kalkül wurden Infinitesimale Fluxionen genannt; in einer Kritik nannte Berkeley sie die „Geister vergangener Dinge“, was auf Potentialität hindeutet; Die normative Strategie, ihnen eine ontologische Grundlage zu geben, besteht darin, Operationen einzuschränken - wie Aristoteles feststellte, ergab dies eine "angemessene" Lösung.

Eine andere Ontologie, die durch die Kategorientheorie entsteht, besteht darin, den Begriff eines Infinitesimal zu axiomatisieren; algebraisch ist dies das duale Zahlensystem ; geometrisch, synthetische Differentialgeometrie ; Interessanterweise hat diese keine Modelle in der Basiskategorie namens Set .