Sprachbeweis und Logik Kapitel 15 Frage 16 Hilfe

Hier ist die Prämisse: ∀x∀y(x ⊆ y ↔️ ∀z(z ∈ x ⟶ z ∈ y)

Hier ist das Ziel: ∀x∀y∀z((x ⊆ y ∧ y ⊆ z) ⟶ x ⊆ z)

Ihre Prämisse ist eine Definition für die Teilmengenbeziehung. Ihr Ziel ist die Eigenschaft der Transitivität. Sie sollten sie erkennen, obwohl dies für dieses Problem nicht erforderlich ist.

Ohnehin. Ihr offensichtlicher erster Schritt besteht darin, universelle Einführungen einzurichten ... und lassen Sie uns eine bedingte Einführung machen, wenn wir schon dabei sind. (Hinweis: Bei einigen Proof-Checkern können Sie diese Schritte kombinieren)

|_ ∀x ∀y (x ⊆ y ↔️ ∀z(z ∈ x ⟶ z ∈ y)
|  |_ [a]
|  |  |_ [b]
|  |  |  |_ [c]
|  |  |  |  :                                    :
|  |  |  |  |_ a ⊆ b ∧ b ⊆ c
|  |  |  |  |   :                                :
|  |  |  |  |  a ⊆ c                             ...
|  |  |  |  (a ⊆ b ∧ b ⊆ c) ⟶ a ⊆ c             ⟶I
|  |  |  ∀z ((a ⊆ b ∧ b ⊆ z) ⟶ a ⊆ z)           ∀I
|  |  ∀y ∀z ((a ⊆ y ∧ y ⊆ z) ⟶ a ⊆ z)           ∀I
|  ∀x ∀y ∀z ((x ⊆ y ∧ y ⊆ z) ⟶ x ⊆ z)           ∀I

Um Äquivalenzen für diese drei Teilmengenaussagen zu erhalten, verwenden Sie Universal Elimination einige Male unter der Prämisse.

Nun, das werden drei universelle quantifizierte Aussagen sein, also nehmen Sie einen anderen willkürlichen Term an, um die universellen Quantoren nach Bedarf zu eliminieren und einzuführen.

Alles trifft sich dann in der Mitte mit einem Unterbeweis für das konstruktive Dilemma.

 |_ ∀x ∀y (x ⊆ y ↔️ ∀z(z ∈ x ⟶ z ∈ y))
 |  |_ [a]
 |  |  |_ [b]
 |  |  |  |_ [c]
 |  |  |  |  ∀y (a ⊆ y ↔️ ∀z(z ∈ a ⟶ z ∈ y))      ∀E 
 |  |  |  |  ∀y (b ⊆ y ↔️ ∀z(z ∈ b ⟶ z ∈ y))      ∀E
 |  |  |  |  a ⊆ b ↔️ ∀z(z ∈ a ⟶ z ∈ b)           ∀E 
 |  |  |  |  a ⊆ c ↔️ ∀z(z ∈ a ⟶ z ∈ c)           ∀E
 |  |  |  |  b ⊆ c ↔️ ∀z(z ∈ b ⟶ z ∈ c)           ∀E
 |  |  |  |  |_ a ⊆ b ∧ b ⊆ c
 |  |  |  |  |  a ⊆ b                              ∧E
 |  |  |  |  |  b ⊆ c                              ∧E
 |  |  |  |  |  ∀z(z ∈ a ⟶ z ∈ b)                 ↔️E                
 |  |  |  |  |  ∀z(z ∈ b ⟶ z ∈ c)                 ↔️E
 |  |  |  |  |  |_ [d]
 |  |  |  |  |  |  d ∈ a ⟶ d ∈ b                  ∀E
 |  |  |  |  |  |  d ∈ b ⟶ d ∈ c                  ∀E
 |  |  |  |  |  |  |_ d ∈ a 
 |  |  |  |  |  |  |  d ∈ b                        ⟶E 
 |  |  |  |  |  |  |  d ∈ c                        ⟶E
 |  |  |  |  |  |  d ∈ a ⟶ d ∈ c                  ⟶I             
 |  |  |  |  |  ∀z(z ∈ a ⟶ z ∈ c)                 ∀I
 |  |  |  |  |  a ⊆ c                              ↔️E                             
 |  |  |  |  (a ⊆ b ∧ b ⊆ c) ⟶ a ⊆ c             ⟶I
 |  |  |  ∀z ((a ⊆ b ∧ b ⊆ z) ⟶ a ⊆ z)           ∀I
 |  |  ∀y ∀z ((a ⊆ y ∧ y ⊆ z) ⟶ a ⊆ z)           ∀I
 |  ∀x ∀y ∀z ((x ⊆ y ∧ y ⊆ z) ⟶ x ⊆ z)           ∀I

Hier ist die Prämisse: ∀x∀y(x ⊆ y ↔️ ∀z(z ∈ x ⟶ z ∈ y)

Hier ist das Ziel: ∀x∀y∀z((x ⊆ y ∧ y ⊆ z) ⟶ x ⊆ z)

In der natürlichen Sprache besagt die Prämisse, dass, wenn eine Menge x eine Teilmenge einer Menge y ist, dann für alle Elemente z der Menge x diese Elemente z auch Elemente der Menge y sind. Das Ziel ist zu zeigen, dass dies impliziert, dass, wenn eine Menge x eine Teilmenge einer Menge y ist und die Menge y eine Teilmenge einer Menge z ist, die Menge x eine Teilmenge der Menge z ist.

Ich werde skizzieren, wie Sie vorgehen könnten.

Die Prämisse definiert, was es bedeutet, dass eine Menge eine Teilmenge einer anderen in Bezug auf Elemente dieser Mengen ist. Da das Ziel drei Teilmengenbeziehungen hat, verwenden Sie dreimal die universelle Eliminierung, um die folgenden drei Zeilen aus der Prämisse abzuleiten:

• a ⊆ b ↔️ s ∈ a ⟶ s ∈ b
• b ⊆ c ↔️ s ∈ b ⟶ s ∈ c
• ein ⊆ c ↔️ s ∈ ein ⟶ s ∈ c

Oben a, b und c sind Namen für Mengen und s ist der Name für ein Element einer Menge.

Machen Sie eine Annahme: a ⊆ b ∧ b ⊆ c

Dies ist der Vorläufer des Ziels. Wir müssen die Konsequenz herleiten: a ⊆ c

Verwenden Sie die Konjunktionselimination, um die Annahme in zwei Zeilen aufzuteilen:

• ein ⊆ b
• b ⊆ c

Verwenden Sie die bedingte Eliminierung oder den Modus Ponens, um diese beiden Zeilen abzuleiten:

• s ∈ ein ⟶ s ∈ b
• s ∈ b ⟶ s ∈ c

Annahme: s ∈ a

Leiten Sie daraus s ∈ b und daraus s ∈ c ab.

Lösen Sie diese letzte Annahme auf, indem Sie die folgende Bedingung einführen:

• s ∈ ein ⟶ s ∈ c

Verwenden Sie das, um a ⊆ c abzuleiten. Jetzt können Sie die erste getroffene Annahme entkräften, indem Sie die folgende Bedingung einführen:

• (a ⊆ b ∧ b ⊆ c) ⟶ a ⊆ c

Verwenden Sie eine universelle Einführung für die drei Namen. Der Name a wird zur Variablen x, b wird zur Variablen y und c wird zur Variablen z.

Das sollte den Beweis vervollständigen.