Suche nach Primzahlkonstellation

Wie überprüft man systematisch, ob eine gegebene Konfiguration von Primzahlen vorliegt P 1 , P 2 , . . . P N ist die dichteste mögliche Konfiguration von Primzahlen im Bereich [ P 1 , P N ] ? (Die dichtesten Konfigurationen scheinen „Hauptkonstellationen“ genannt zu werden).

Ich schreibe eine Hausarbeit für meine naturwissenschaftliche Klasse (nicht Mathe). Es befasst sich mit interessanten Aspekten von Primzahlen. In diesem Zusammenhang habe ich zwei Fragen:

1) Es ist ziemlich klar, dass die Konfiguration eines Primtripletts entweder (p, p+2, p+6) oder (p, p+4, p+6) sein muss, da die „offensichtliche“ kürzere Wahl (p, p+2, p+4) ist eine Folge von drei Elementen mit gleichem Abstand, und daher ist eines der Elemente durch drei teilbar (die Ausnahme ist natürlich eine Folge mit „3“ als erstem Element). Während dieses einfache Beispiel von drei Primzahlen klar ist, würde ich gerne wissen, wie ich fortfahren soll? Wie lautet die Regel/der Algorithmus zum Identifizieren längerer Primzahlkonstellationen und wie viele Konstellationen gleicher Länge gibt es?

2) Wenn eine Konfiguration von Primzahlen gegeben ist als P , P + k 1 , P + k 2 , … P + k N , wie kann ich überprüfen, ob dies die dichteste mögliche Konfiguration ist, eine sogenannte „Hauptkonstellation“ im Lichte des oben Gesagten?

Ich danke Ihnen für Ihre Hilfe. Ich würde es begrüßen, wenn die Erklärungen praktisch mit Beispielen sind, die ziemlich leicht zu verstehen sind.

Das Schubladenprinzip kann helfen. Ebenso wie das Erlernen von Restmathematik in Form von Modularithmetik.
Ist das ein Hinweis oder nur eine Vermutung?

Antworten (2)

N , N + 2 , N + 4 können nicht alle Primzahlen mehr als einmal sein, denn was auch immer ist N Mod 3 einer von N , N + 2 , N + 4 wird sein ≡ 0 Mod 3 .

Gegeben 0 < B 1 < … < B k es gibt kein Hindernis für N , N + B 1 , … , N + B k alle Primzahlen (mehr als einmal) sein, iff für jede Primzahl P es gibt einige A P ∈ 1 … P − 1 so dass A P , A P + B 1 , … , A P + B k sind alle teilerfremd mit P .

Wenn P > B k + 1 da ist die lösung A P = 1 .

Es genügt also, die Primzahlen zu betrachten P ≤ B k + 1 was bedeutet, dass es für einige kein Hindernis gibt A alle A , A + B 1 , … , A + B k sind teilerfremd mit ( B k + 1 ) !

Die natürliche Verallgemeinerung der Primzahlzwillingsvermutung ist die, wenn es kein Hindernis gibt N , N + B 1 , … , N + B k sind alle unendlich oft Primzahlen.

Die vermutete Asymptotik (aus dem Zufallsmodell für die Primzahlen) für die Anzahl solcher N Ist

π B ( X ) ∼ ∑ N ≤ X ∏ P ≤ N R ∑ A = 1 ,   P ∤ A ( A + B 1 ) … ( A + B k ) P − 1 1 P ∼ C ( B ) X ln k + 1 ⁡ X
wofür P > B k + 1 , ∑ A = 1 ,   P ∤ A ( A + B 1 ) … ( A + B k ) P − 1 1 P = 1 − B k + 1 P

Und R = e − γ ≈ 0,56 ist die Konstante so dass ∏ P ≤ N R P − 1 P ∼ 1 ln ⁡ N (das Vorhergesagte machen C ( B ) Konstanten kompatibel mit dem PNT)

Das Zufallsmodell für die Primzahlen sagt dies lediglich bei der Auswahl N zufällig rein [ 1 , X ] , für P ≤ N R , Dann N Mod P Die Ereignisse können als gleichmäßig verteilt und wichtiger angesehen werden N Mod P Und N Mod Q kann als unabhängig betrachtet werden. Somit ist nach diesem Modell die Wahrscheinlichkeit, dass N ist Primzahl kann als sein angesehen werden ∏ P ≤ N R P − 1 P was nach dem Satz von Mertens ist ∼ 1 ln ⁡ N .

Sicher teilerfremd mit ( B k + 1 ) ! ist dasselbe wie teilerfremd mit allen Primzahlen ≤ B k + 1
Gibt es einen Link oder Literatur, die dies auf elementarer Ebene erklärt? Die Überprüfung auf Koprimalität könnte alle Primzahlmodulen durchlaufen P ≤ B k + 1 und sehen, dass sie nicht das gesamte mögliche Spektrum abdecken 0 Zu P − 1 ?
Ja, der naive Algorithmus ist, jeden zu versuchen A Mod ( B k + 1 ) ! gleichermaßen jeden zu versuchen A P Mod P , P ≤ B k + 1 . Auf jeden Fall müssen sie alle ausprobiert werden, um die zu finden C ( B ) ständig das Asymptotische vorherzusagen (und bei diesem Thema ist es interessant, die Wahrheit damit zu vergleichen C ( B ) X ( ln ⁡ X ) k + 1 )
Verstanden, danke! Irgendwelche Literaturtipps?
(in Anbetracht meiner anderen Frage): Für eine gegebene Primzahlkonfiguration können wir mit obigem herausfinden, ob ein Hindernis vorliegt oder nicht. Könnte man umgekehrt auch bestimmen, wie dicht Primzahlen in einem bestimmten Bereich gepackt werden können?

Betrachten Sie dieses k-Tupel: H k = ( 0 , H 1 , H 2 , ⋯ , H k − 1 ) , mit 0 < H 1 < ⋯ < H k − 1 gerade Zahlen.

H k ist zulässig iff P ( P + H 1 ) ⋯ ( P + H k − 1 ) hat keinen festen Teiler.

Zum Beispiel P ( P + 2 ) ( P + 4 ) ist immer durch teilbar 3 Dann ( 0 , 2 , 4 ) nicht zulässig.

Betrachten Sie die Konstante:

G k = ( ∏ p prim 1 − w ( H k , P ) P ( 1 − 1 P ) k )

Wo w ( H k , P ) ist die Anzahl der unterschiedlichen Reste ( Mod P ) In H k .

Die k-Tupel-Vermutung sagt voraus, dass die Anzahl der Primzahlen ( P , P + H 1 , ⋯ , P + H k − 1 ) ∈ P k mit P + H k − 1 ≤ X Ist:

π H k ( X ) ∼ G k X Protokoll ⁡ ( X ) k

Und wir können beweisen, ob H k ist dann nicht zulässig G k = 0 .

Beweis: Wenn Q ist eine immer teilende Primzahl P ( P + k 1 ) ⋯ ( P + k N ) , P ∈ P , Dann w ( H k , Q ) = Q , Dann G k = ( ∏ p prim 1 − w ( H k , P ) P ( 1 − 1 P ) k ) = 0

Und Sie können für sehen P > H k − 1 wir haben w ( H k , P ) = k , dann prüfen wir nur Primzahlen kleiner als H k − 1 für die Zulässigkeit.

Beispiel 1 : H k = ( 0 , 2 , 4 ) , wir haben w ( H k , 3 ) = 3 Dann ( 0 , 2 , 4 ) nicht zulässig.

Beispiel2: H k = ( 0 , 2 , 6 ) , wir haben w ( H k , 3 ) = 2 Und w ( H k , 5 ) = 3 Dann ( 0 , 2 , 6 ) ist zulässig.

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