Summe der Gesamtentfernung von Elektronen auf einer Kugeloberfläche

Dieses als Thomson-Problem bekannte Problem, die niedrigste Energiekonfiguration von Punktladungen auf einer leitenden Kugel zu finden, hat seinen Ursprung in Thomsons Plumpudding-Modell des Atomkerns. Es gibt keine bekannte Formel, aber viele Computercodes, die versuchen, sie zu lösen.

http://en.wikipedia.org/wiki/Thomson_problem

JR MORRIS, DM DEAVEN UND KM HO, Genetische Algorithmus-Energieminimierung für Punktladungen auf einer Kugel, Phys. Rev. B, 53 (1996), S. R1740–R1743.

EB SAFF UND A. KUIJLAARS, Verteilen vieler Punkte auf der Kugel, Math. Intelligencer, 19 (1997), S. 5-11.

Zunächst muss ich davon ausgehen, dass Sie überschüssige Elektronenladungen auf einer Kugel meinen. Offensichtlich wäre das Integral der Inversen von Abständen zwischen Ladungen vergleichsweise einfach mit physikalischen Größen in Beziehung zu setzen, da dies im Grunde ein Potenzial ist. Reden wir also über diese Kugel, Radius$R$, mit einer Gebühr$Q$darauf, bestehend aus$Q/e$Elektronen. Die Eigenkapazität einer leitenden Kugel ist$4 \pi \epsilon_0 R = R/k$. Dann können wir feststellen, dass die gesamte potentielle Energie ist$\frac{1}{2}C V^2 = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{C}$.

$$E=\frac{Q^2}{2 C} = k e^2 \frac{N^2 }{2 R} = k e^2 \sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^{i-1} \frac{1}{|r_i-r_j|}$$

Für die Summe der Entfernungen (nicht umgekehrt) erhalten Sie eine Formel wie diese.

$$\sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^{i-1} |r_i-r_j| = \frac{2}{3} N^2 R$$

Dieser fällt ebenso wie der Kapazitätswert aus dem Kalkül der Summation heraus. Ich habe das nicht getan, stattdessen habe ich einfach einen Code geschrieben, der die Beziehung zu meiner Zufriedenheit entdeckte.

program sphere
  implicit none

  double precision :: mu, theta
  double precision :: mu2, theta2
  double precision, dimension(3) :: r1, r2, rand
  integer :: i, j, N
  double precision :: thesum,thesum2, ind
  double precision, parameter :: pi = 3.14159265
  double precision :: d, rad

  N = 5000
  rad = 2.

  ind = 0
  thesum = 0.
  thesum2 = 0.
  do i = 1,N
    r1 = random_points(rad)
    do j = 1,i-1
      ind = ind+1
      r2 = random_points(rad)
      d = sqrt(sum((r1-r2)**2))
      thesum = thesum + 1./d
      thesum2 = thesum2 + d
    end do
  end do

  write(*,*) ' N= ',N,'  number= ',ind
  write(*,*) ' pot/N^2 ',thesum/N**2
  write(*,*) ' len/N^2 ',thesum2/N**2

  contains

    function random_points(r)
      implicit none
      double precision, dimension(3) :: random_points
      double precision, intent(in) ::  r
      double precision :: theta, mu
      double precision, dimension(3) :: rand
      call random_number(rand(1))
      call random_number(rand(2))
      theta = 2.*pi*rand(1)
      mu = rand(2)*2.-1.
      random_points(1) = cos(theta)*sqrt(1.-mu**2)*rad
      random_points(2) = sin(theta)*sqrt(1.-mu**2)*rad
      random_points(3) = mu*rad
    end function random_points


end program sphere

Ich weiß nicht, ob dieser Wert einen physikalischen Nutzen hat. Zunächst einmal können wir es mit vertrauteren physikalischen Werten ausdrücken.

$$\frac{2 N^2 R}{3} = \frac{2 Q^2 R}{3 e^2}$$

Das Problem bei der Erstellung eines Abstandsintegrals besteht darin, dass mir keine physikalische Sache einfällt, für die dies von Bedeutung wäre. Feld und Potenzial sind$1/r^2$Und$1/r$und wenn du wieder integrierst, bekommst du$ln(r)$. Ich nehme an, einige Kräfte wachsen mit der Entfernung, und vielleicht sind sie proportional zur Entfernung.

Ich bin zuversichtlich, dass die Beziehung zwischen diesen beiden Werten eine relativ einfache Gleichung erfordert.

Solange die Geometrie hinreichend einfach ist, gilt dies für viele ähnliche Fragestellungen. Das ist in der Domäne der Mathematik.

BEARBEITEN:

Ich denke, dass das Überarbeitungsproblem darin besteht, Folgendes einzuschränken:

$$i=1 .. N$$

$$|\vec{r}_i| < R$$

Zeigen Sie dann, dass die Tatsache, dass 1 wahr ist, 2 unten impliziert

1. die Summe von$1/r$Das Integral aller Ladungen über das gesamte Volumen ist konstant
2. der summierte Abstand zwischen allen Punkten ist maximal

Ich denke, das könnte das sein, was gefragt wird. Es ist ein wenig hoch, aber ich bin sicher, es ist durchaus machbar. Meine Vermutung ist, dass es für jede beliebige Region gelten würde.

DIE RECHNUNG:

Ich werde den Weg vorstellen, wie man diese Zahlen durch Integration erhält, teilweise weil ich denke, dass es für einen neuen Studienanfänger hilfreich wäre, dies zu sehen. Das Problem, das mein obiger Code löst, besteht darin, die Werte von zu integrieren$1/r$Und$r$über alle Punktpaare über einer Kugel. Wenn ich das eigentliche Integral mache, multipliziere ich es mit 1/2, weil das Integral sonst die Paare doppelt zählen würde. Integrieren ist im Grunde eine Möglichkeit, Mathematik zu verwenden, um ein Problem mit unendlich vielen Punkten zu beschreiben.

Fangen wir an. Die Oberfläche der Kugel ist:

$$SA = 4 \pi R^2$$

Die Ladungsdichte ist die Zahl dividiert durch die Oberfläche. Dies ist die Anzahl der Ladungen pro Flächeneinheit auf der Oberfläche der Kugel.

$$\sigma = \frac{N}{SA}$$

Sie können über jede beliebige Variable integrieren, ich wähle den Winkel zwischen der x-Achse und dem Vektor. Ich werde dies mit einem Apostroph bezeichnen, um anzuzeigen, dass es der „zweite“ Punkt in dem Paar ist und der „erste“ Punkt in dem Paar einfach fixiert wird.

$$\vec{r}' = <x',y',z'> = < R \cos{\theta}, 0, R \sin{\theta} >$$

$$\vec{r} = < 1, 0, 0 >$$

Definieren Sie den Abstand zwischen ihnen. Dies ist ein Skalar.

$$d = | \vec{r} - \vec{r}' |$$

Ich werde ein Oberflächenintegral machen, um alle abzudecken$\vec{r}'$und machen Sie dann ein weiteres Oberflächenintegral (mal 1/2) über alle$\vec{r}$. Das ist das Wesentliche, aber es gibt viele Symmetrien. Diese Symmetrien reduzieren die Dimensionalität der$\vec{r}'$Integral durch 1 und die$\vec{r}$Integral durch 2. Das bedeutet, dass letzteres nicht einmal ein Integral ist. Die Aussage dahinter ist die

1. Sie können die drehen$\vec{r}'$Punkt um die x-Achse und ändert den Abstand nicht
2. Sie können die verschieben$\vec{r}$Punkt rund um die Kugel und es ändert nicht die Entfernung

Jetzt bin ich an einem Punkt, wo ich das Integral schreiben kann. Zuerst für die gesamte elektrostatische Energie. Beachten Sie, dass$e \sigma$ist die Ladungsdichte seit ich verwendet habe$\sigma$als Zahldichte. Der erste Ausdruck der Ladungsdichte-Zeit-Oberfläche ist der Multiplikator, den ich anstelle eines äußeren Integrals verwende. Der$2 \pi y'$erforderlich ist, um die Symmetrie der x-Achse korrekt zu verwenden, entspricht dies der Multiplikation mit dem Umfang einer Unterlegscheibe, die um die x-Achse zentriert ist.

$$N = (e \sigma SA) \frac{1}{2} \int_0^{\pi} 2 \pi y' \frac{k e \sigma}{d} d \theta = k e^2 \frac{ N^2}{2}$$

Das ist das Ergebnis, das ich wollte. Die gleiche Weise wird fast identisch verwendet, um die Zahl für die Summe der Entfernungen zwischen Punkten zu reproduzieren. Ich lasse die Vorwürfe weg, weil es keine eindeutige physikalische Interpretation gibt.

$$sum = ( \sigma SA) \frac{1}{2} \int_0^{\pi} 2 \pi y' \sigma d d \theta = \frac{2 N^2}{3}$$

Und das ist das Integral. Die Verwendung eines Computeralgebra-Pakets ist hilfreich, aber hier sollte alles ausreichend definiert sein.