Summe der Kehrwerte ungerader Zahlen, die zusammen 222 ergeben

Question

Summe der Kehrwerte ungerader Zahlen, die zusammen 222 ergeben

Mathematik
Folgen-und-Serien
Elementarzahlentheorie

Klangen

Es ist bekannt, dass sich bestimmte Summen von Kehrwerten zu addieren $2$ :

die Kehrwerte der Potenzen von $2$ :

\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \dots = 2,

${1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+{1 \over 32}+\cdots =2,$

die Kehrwerte der Dreieckszahlen:

\frac{1}{1} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{10} + \frac{1}{15} + \frac{1}{21} + \dots = 2,

${1 \over 1}+{1 \over 3}+{1 \over 6}+{1 \over 10}+{1 \over 15}+{1 \over 21}+\cdots =2,$

$\ldots$

Gibt es solche Beträge $\sum_{i=0}^{\infty} s_i^{-1}=2$ für die alle $s_i$ sind alle verschiedene ungerade positive ganze Zahlen?

Ebenso gibt es solche Summen $\exists k\in\mathbb{Z}, k>0$ so dass $\sum_{i=0}^{k} s_i^{-1}=2$ für die alle $s_i$ sind alle verschiedene ungerade positive ganze Zahlen?

Angina Seng

Die Summe der Kehrwerte der positiven ungeraden Zahlen divergiert, sodass Sie immer eine Teilfolge extrahieren können, indem Sie zu Ihrer bevorzugten positiven Zahl addieren.

Jyrki Lahtonen

Verwandte . Endliche Summen statt Serien.

Antworten (2)

Summe der Kehrwerte ungerader Zahlen, die zusammen 222 ergeben

Die Summe der Kehrwerte der positiven ungeraden Zahlen divergiert, sodass Sie immer eine Teilfolge extrahieren können, indem Sie zu Ihrer bevorzugten positiven Zahl addieren.

pfote88789 · Answer 1

Wenn du erlaubst $\frac{1}{1}$ , was Sie Ihrer Frage nach zu urteilen scheinen:

Versuchen Sie, die Kehrwerte von zu addieren $1, 3, 5, 7, 9, 15, 21, 27, 35, 63, 105, 135$ .

Gefunden, indem man eine ungerade reichliche Zahl wählt, nämlich $945$ und das Finden einer Summe von Faktoren, die dazu beitragen $2\cdot 945$ :

$945+315+189+135+105+63+45+35+27+15+9+7=2\cdot 945$ .

Dann teilen Sie diese Gleichung durch $945$ , wobei die einzelnen Brüche links gekürzt werden.

Danke schön. Es könnte erwähnenswert sein, dass diese Methode funktioniert, weil $945$ ist eine halbperfekte Zahl (obwohl keine ungeraden seltsamen Zahlen bekannt sind, ist es die semiperfekte Eigenschaft, die es einer Teilmenge von Teilern ermöglicht, sich zur Zahl selbst zu addieren)

Jurij S · Answer 2

Wir können eine Variation des Greedy-Algorithmus verwenden , um eine solche Sequenz auf deterministische Weise zu finden.

Zuerst addieren wir die reziproken ungeraden Zahlen, bis ihre Summe erschöpft ist $2$ :

1 + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{13} < 2

$1+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{13}<2$

1 + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{13} + \frac{1}{15} > 2

$1+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{13}+\frac{1}{15}>2$

Somit beginnen wir mit:

S_{7} = \sum_{N = 1}^{7} \frac{1}{2 N - 1}

$S_{7}=\sum_{n=1}^{7} \frac{1}{2n-1}$

1) Nach Abzug der Summe bleibt:

2 - S_{7} = \frac{2021}{45045}

$2-S_{7}=\frac{2021}{45045}$

Um den nächsten Term zu finden, müssen wir eine ganze Zahl finden $m_1$ so dass:

\frac{1}{2 M_{1} - 1} < \frac{2021}{45045} < \frac{1}{2 M_{1} - 3}

$\frac{1}{2m_1-1} < \frac{2021}{45045} < \frac{1}{2m_1-3}$

Es stellt sich heraus $m_1=12$ , Weil:

\frac{1}{23} < \frac{2021}{45045} < \frac{1}{21}

$\frac{1}{23} < \frac{2021}{45045} < \frac{1}{21}$

2) Nach dem Subtrahieren bleibt:

2 - S_{7} - \frac{1}{23} = \frac{1438}{1036035}

$2-S_{7}-\frac{1}{23}=\frac{1438}{1036035}$

Weil:

\frac{1}{721} < \frac{1438}{1036035} < \frac{1}{719}

$\frac{1}{721} < \frac{1438}{1036035} < \frac{1}{719}$

Wir haben $m_2=361$ .

3) Nach dem Subtrahieren bleibt:

2 - S_{7} - \frac{1}{23} - \frac{1}{721} = \frac{109}{106711605}

$2-S_{7}-\frac{1}{23}-\frac{1}{721}=\frac{109}{106711605}$

Wir glauben, dass:

\frac{1}{979007} < \frac{109}{106711605} < \frac{1}{979005}

$\frac{1}{979007} < \frac{109}{106711605} < \frac{1}{979005}$

Also haben wir jetzt:

$2 = \sum_{N = 1}^{7} \frac{1}{2 N - 1} + \frac{1}{23} + \frac{1}{721} + \frac{1}{979007} + \dots$ $2=\sum_{n=1}^{7} \frac{1}{2n-1}+\frac{1}{23}+\frac{1}{721}+\frac{1}{979007}+\dots$

Einige Kommentare . Wir können auf die gleiche Weise fortfahren und immer größere Nenner bekommen. Ich bin mir nicht sicher, ob die Folge endlich sein wird oder nicht.

Wenn wir alle ganzen Zahlen verwenden dürften, dann wäre die Folge endlich, weil $2$ ist eine rationale Zahl. Außerdem wüssten wir, dass die Nenner ungefähr so wachsen würden $a_{n+1} > a_n^2-a_n$ , was die Suche nach dem nächsten vereinfacht.

Bei ungeraden ganzen Zahlen wird es etwas komplizierter. Ob alle rationalen Zahlen mit ungeradem Nenner eine endliche ungerade gierige Entwicklung erzeugen, ist bis heute unbekannt.

Wenn wir, wie es der Zufall will, die Vorzeichen wechseln dürften, finden wir eine relativ kurze Sequenz:

2 = \sum_{N = 1}^{7} \frac{1}{2 N - 1} + \frac{1}{23} + \frac{1}{715} - \frac{1}{94185}

$2=\sum_{n=1}^{7} \frac{1}{2n-1}+\frac{1}{23}+\frac{1}{715}-\frac{1}{94185}$

Eine kleine Bemerkung: Wenn wir Primzahlen anstelle von generischen ungeraden ganzen Zahlen verwenden, sind wir sicher, dass die vom Greedy-Algorithmus erzeugte Darstellung eine Reihe ist, von $p$ -adische Höhen.

Summe der Kehrwerte ungerader Zahlen, die zusammen 222 ergeben

Klangen

Angina Seng

Jyrki Lahtonen

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pfote88789

Klangen

Jurij S

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