Symbolische Dynamik eines multidimensionalen Systems

Lassen X T = F ( X T − 1 ) sei ein zeitdiskretes dynamisches System im chaotischen Regime. Ausgehend von einem Anfangszustand X 0 , können wir eine Zeitreihe erstellen ( X T ) Wo T = 1 , 2 , . . . , T gibt den Zeitindex an.
Daraus können wir Symbole wie folgt generieren: S T = 1 Wenn F T ( X 0 ) > C , Und S T = 0 ansonsten mit C der kritische Punkt der eindimensionalen Karte ist. Also jede Iteration der Karte F gibt ein neues Symbol. Wenn wir die Folgen von Nullen und Einsen in einen Vektor von Symbolen einfügen, erhalten wir S = ( S 0 , S 1 , S 2 , … ) . (Bitte beziehen Sie sich auf diese Frage zur symbolischen Dynamik eindimensionaler Karten für eine mathematischere Erklärung, wie Symbole generiert werden.)

Angenommen, wir haben ein zweidimensionales System, oder sagen wir, das obige univariate (eindimensionale) System wird unter Verwendung der Verzögerungseinbettungstechnik von Takens auf folgende Weise in ein zweidimensionales System umgewandelt: Gegeben eine eindimensionale Zeitreihe ( X T ) , eine Verzögerung τ , und einige Einbettungsdimensionen M , betrachtet man eine Einbettungskarte z T = ( X T , X T + τ , . . . , X T + ( M − 1 ) τ ) ∈ R M die die Phasenraumvektoren erzeugt z 1 , z 2 , … .

Lassen Sie als Beispiel M = 2 , τ = 1 , sei die erste erhaltene Koordinate aufgerufen X und die zweite Koordinate j . ( X , j ) bildet das neue mehrdimensionale System. Mein Problem ist: Wie erhalte ich die symbolische Dynamik für diesen Fall? Beispiel:

X = 0,10 , 0,45 , 0,60 , 0,42 , …
j = 0.00 , 0,10 , 0,45 , 0,60 , …

Gibt es für jede Dimension eine symbolische Folge oder wird einem Punkt ein Symbol zugeordnet? ( X , j ) ? Eine Erklärung wird sehr hilfreich sein, um das Konzept zu verdeutlichen.

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Gibt es für jede Dimension eine symbolische Folge oder wird einem Punkt ein Symbol zugeordnet? ( X , j ) ?

Dies hängt davon ab, was Sie letztendlich mit Ihrer Symbolfolge machen möchten, aber für typische Anwendungen, wie z. B. die Bestimmung der Entropie oder die Modellierung, möchten Sie dem Punkt ein Symbol zuweisen. Der allgemeine Grund dafür ist, dass Sie sich (für eine ordnungsgemäße Rekonstruktion) um die Position im Phasenraum und nicht um einzelne Komponenten kümmern - das ist mehr oder weniger der gesamte Punkt des Phasenraums im Allgemeinen.

Der einfache Weg, dies zu tun, besteht darin, jede Komponente zu symbolisieren und dann ein zusammengesetztes Symbol (oder „Wort“) zu erstellen. Wenn Sie beispielsweise zwei mögliche Symbole haben, 0 Und 1 Für jede Komponente haben Sie dann vier mögliche zusammengesetzte Symbole ( 0 , 0 ) ; ( 0 , 1 ) ; ( 1 , 0 ) ; ( 1 , 1 ) . Für weitere Literatur siehe z. B. Daw et al. – Ein Überblick über die symbolische Analyse experimenteller Daten .

Eine andere Möglichkeit ist die Verwendung von Permutationssymbolen, wie in Bandt und Pompe – Permutation Entropy: A Natural Complexity Measure for Time Series vorgeschlagen . Dabei berücksichtigst du die Reihenfolge der Komponenten und weist jeder möglichen Reihenfolge ein anderes Symbol zu. Aus einem anderen Blickwinkel betrachten Sie, welche Permutation Sie auf die Komponenten anwenden müssten, damit sie in aufsteigender Reihenfolge sind, und weisen Sie jedem der möglichen ein Symbol zu M ! Permutationen. Zum Beispiel für eine Verzögerungseinbettung mit Dimension M = 3 , haben Sie sechs mögliche Symbole, eines für jeden der folgenden Fälle:

  1. X T + 2 τ > X T + τ 2 > X T τ + 2 ;
  2. X T + 2 τ > X T τ + 2 ≥ X T + τ 2 ;
  3. X T + τ 2 ≥ X T + 2 τ > X T τ + 2 ;
  4. X T + τ 2 > X T τ + 2 ≥ X T + 2 τ ;
  5. X T τ + 2 ≥ X T + 2 τ > X T + τ 2 ;
  6. X T τ + 2 ≥ X T + τ 2 ≥ X T + 2 τ .

Verwenden Sie die Zahlen als Symbole, mit τ = 1 , und ohne Überlappung zwischen Symbolen würden Sie die folgende Zeitreihe wie folgt in Symbole übersetzen:

1 , 7 , 6 ⏟ 3 , 4 , 6 , 5 ⏟ 3 , 3 , 0 , 3 ⏟ 5 , 6 , 1 , 0 ⏟ 6 , 2 , 2 , 4 ⏟ 6 , 7 , 3 , 5 ⏟ 5 , 7 , 6 , 9 ⏟ 2 .

Danke für Ihre Antwort. Nach meinem Verständnis schlagen Sie vor, dass jede Koordinate unabhängig von der anderen Koordinate symbolisiert werden sollte, indem der kritische Punkt (oder der Mittelwert der Zeitreihe für diese Koordinate) für jede Koordinate verwendet wird. Im Wesentlichen können wir also sagen, dass jede Koordinate von einer Anfangsbedingung iteriert wird und die symbolische Darstellung dieser Koordinate die binäre Erweiterung der reellwertigen Anfangsbedingung ist. Bitte korrigieren Sie mich, wenn falsch.
Eine andere Art zu symbolisieren, wann das System verzögert eingebettet ist, ist die Verwendung des Verzögerungspunkts anstelle des kritischen Punkts. Diese Technik des Symbolisierens ist neu für mich, danke für die Einführung/Erwähnung. Könnten Sie bitte ein Beispiel für M = 3 Wie würde die symbolische Darstellung für die Einbettung von Verzögerungen aussehen? Vielen Dank für Ihre Mühe und Zeit.
Ich habe eine andere Frage gestellt, die in Fortsetzung dieses Beitrags hier ist physical.stackexchange.com/q/248951 Könnten Sie bitte einen Blick darauf werfen und vielleicht können Sie eine bessere Erklärung dazu geben.
@SKM: Im Wesentlichen können wir also sagen, dass jede Koordinate von einer Anfangsbedingung iteriert wird und die symbolische Darstellung dieser Koordinate die binäre Erweiterung der reellwertigen Anfangsbedingung ist. – Die Anfangsbedingung ist nicht reellwertig, sondern vektorwertig. Vergessen Sie auch nicht, dass die Komponenten miteinander interagieren. Schließlich sehe ich nicht, wie dies für das vorliegende Problem relevant ist.
@SKM: Eine andere Möglichkeit zu symbolisieren, wann das System verzögert eingebettet ist, ist die Verwendung des Verzögerungspunkts anstelle des kritischen Punkts. – Ich bin mir nicht ganz sicher, was Sie mit Verzögerungspunkt meinen. — Könnten Sie bitte ein Beispiel für geben M = 3 Wie würde die symbolische Darstellung für die Einbettung von Verzögerungen aussehen? – Siehe meine Bearbeitung.
Letzte Frage: Wenn Sie sagen, dass die Anfangsbedingung vektorwertig ist, meinen Sie damit, dass jede Komponente des Vektors der Anfangswert dieser Komponente ist? Beispiel: Ein Punkt (x,y,z) im eingebetteten Raum hat die Anfangsbedingung als Vektor ( X 0 , j 0 , z Ö ) ? Könnten Sie eine Referenz / Links bereitstellen, wo ich eine formelle Einführung in dieses Thema erhalten kann, insbesondere in die Zuweisung von Symbolen nach der verzögerten Einbettung. Vielen Dank!
@SKM: Zum Beispiel: Ein Punkt (x,y,z) im eingebetteten Raum hat die Anfangsbedingung als Vektor (x₀,y₀,z₀)? – Ja, aber wenn es sich um verzögert eingebettete Vektoren handelt, ist möglicherweise nicht jede Wahl des Anfangsvektors gültig. Es könnte zB sein, dass Sie haben müssen F ( X 0 ) = j 0 Und F ( j 0 ) = z 0 . — Könnten Sie eine Referenz / Links bereitstellen, wo ich eine formelle Einführung in dieses Thema erhalten kann, insbesondere in die Zuweisung von Symbolen nach der verzögerten Einbettung. – Das ist eine eigene Wissenschaft. Die verlinkten Aufsätze sollen Ihnen als Einstieg für eine Literaturrecherche dienen.
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