Taylor-Reihe von 2xex2xex2xe^x

Der Ausdruck, den Sie haben, ist korrekt , aber ich bezweifle, dass es das ist, wonach sie suchen. Sie möchten nämlich nur Begriffe haben$(x-1)^n$und keine von$x$(da es sonst nicht wirklich "zentriert" ist$x=1$). Es wäre eine gute Lösung, wie die Kommentare vermuten lassen, zu schreiben$x=(x-1)+1$und die Reihe damit rekonstruieren, aber eine alternative Lösung, die mehr rechnerisch ist und die Tatsache nutzt, dass$e^x$ist eine coole Funktion, um andere Dinge zu multiplizieren:

Lassen Sie insbesondere$f(x)=2xe^x$. Wir können die ersten paar Ableitungen leicht über die Produktregel berechnen:

$$f'(x)=2xe^x+2e^x$$ $$f''(x)=2xe^x+4e^x$$ $$f'''(x)=2xe^x+6e^x$$ und so weiter - beachten Sie, dass wir immer einen Begriff der Form haben $2xe^x$seit der Ableitung von $e^x$Ist $e^x$. Allgemeiner könnten wir schreiben $f'(x)=f(x)+2e^x$um diese Wiederholung zu erfassen - wodurch wir zum Beispiel erweitern können: $$f^{(n+1)}(x)=f^{(n)}(x)+\frac{d^n}{dx^n}2e^x=f^{(n)}(x)+2e^x$$ Das bedeutet, dass wir für jede Ableitung einfach einen neuen Term der Form hinzufügen $2e^x$. Damit erhalten wir in geschlossener Form: $$f^{(n)}(x)=2xe^x + 2ne^x$$ und dies ist trivial auszuwerten und zu verwenden, um eine Taylor-Reihe zu erstellen.

Ihre erste Einsicht ist gültig, Sie können die Exponentialfunktion umschreiben als$e^x=e\cdot e^{x-1}$. Aber dann sollte man den Faktor auch transformieren$2x$verwenden$2x=2(x-1)+2$.

Dann,

$$2xe^x=(2(x-1)+2)e\sum_{n=0}^\infty \frac{(x-1)^n}{n!} \\=2e\sum_{n=0}^\infty \frac{(x-1)^{n+1}}{n!}+2e\sum_{n=0}^\infty \frac{(x-1)^{n}}{n!} \\=2e\sum_{n=1}^\infty \frac{(x-1)^{n}}{(n-1)!}+2e\sum_{n=0}^\infty \frac{(x-1)^{n}}{n!} \\=2e+2e\sum_{n=1}^\infty \frac{(n+1)}{n!}(x-1)^{n}.$$

Schreiben Sie zuerst die Taylorreihe für auf$2xe^x$zentriert bei$x=0$.

$$2xe^x=2x \cdot \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2x^{n+1}}{n!}$$

Jetzt setzen$x=t-1$, du hast:

$$2(t-1)e^{t-1}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2(t-1)^{n+1}}{n!}$$

Aber$2(t-1)e^{t-1}=e^{-1}2te^{t}-e^{-1}2e^{t}$und Sie haben Taylor-Entwicklung für$e^{-1}2e^{t}$bei$t=1$,So:

$$e^{-1}2te^{t}-e^{-1}2e^{t}=e^{-1}2e^{t}- \sum_{n=0}^\infty \frac{(t-1)^n}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2(t-1)^{n+1}}{n!}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2(t-1)^{n}}{(n-1)!}$$

Endlich:

$$e^{-1}2e^{t}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(t-1)^n}{n!}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2(t-1)^{n}}{(n-1)!}$$

Schreiben$2xe^x=2(x-1)e^x+2e^x$Und$e^x=e\cdot e^{x-1}$erhalten$2xe^x=2e(x-1)e^{x-1}+2e\cdot e^{x-1}$. Seit

$$e^{x-1}=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}(x-1)^k,$$ wir haben $$\begin{align*} 2xe^x&=2e(x-1)e^{x-1}+2e\cdot e^{x-1} \\ &= 2e(x-1)\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}(x-1)^k+2e \sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}(x-1)^k \\ &= 2e\left(\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{(k-1)!}(x-1)^k+\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k!}(x-1)^k+1\right) \\ &= 2e\left(1+\sum_{k=1}^\infty\left(\frac{1}{(k-1)!}+\frac{1}{k!}\right)(x-1)^k\right) \\ &= 2e\sum_{k=0}^\infty\frac{k+1}{k!}(x-1)^k. \end{align*}$$

Der klassische Weg:

$$\begin{align}&f(x)=2xe^x,&f(1)=2e \\&f'(x)=2e^x+2xe^x,&f'(1)=4e \\&f''(x)=2e^x+2e^x+2xe^x=4e^x+2xe^x,&f''(1)=6e \\&f'''(x)=4e^x+2e^x+2xe^x=6e^x+2xe^x,&f'''(1)=8e\end{align}$$ $$...$$ Allgemeiner, $$f^{(n)}(1)=2(n+1)e,$$ Und $$2xe^x=2e\sum_{n=0}^\infty\frac{n+1}{n!}(x-1)^n.$$