Teilspur mit dünn besetzten Matrizen

Lassen ρ A B C D sei eine dünne Matrix von jeweils 4 Systemen in a D -dimensionaler Hilbertraum.

Für D < 7 In einer angemessenen Zeit (wenige Sekunden) konnte ich die Teilverfolgung durchführen ρ A D unter Verwendung des in http://www3.imperial.ac.uk/people/m.tame/research vorgeschlagenen Codes . Ich bräuchte einen effizienten Algorithmus zur Berechnung ρ A D Wo D ≥ 7 . Der Algorithmus der obigen Seite nutzt keine Eigenschaften der Matrix aus und erfordert viele Permutationen und Neuanordnungen.

Kennen Sie einen effizienten Algorithmus zur Berechnung der Teilspur von qudit, der die Tatsache nutzt, dass die Matrix dünn besetzt ist? Es wäre auch interessant, wenn der Algorithmus parallele Berechnungen nutzen kann.

Vielen Dank im Voraus für Ihre Antworten.

Grüße,

Silvio

Genau genommen kann man nur mit der Dimension des Systems auf eine polynomiale Skalierung hoffen D (Ich würde dies in Bezug auf die Rechenkomplexität nicht als effizient bezeichnen, es sei denn, Sie setzen d als Konstante). Es wäre nützlich zu wissen, wie spärlich Ihre Dichtematrix ist: Wie skaliert die maximale Anzahl von Koeffizienten pro Zeile und Spalte asymptotisch mit der Dimension des Systems? D ?
Im Allgemeinen ergibt eine Teilspur einer dünn besetzten Matrix keine dünn besetzte Matrix, sodass Sie nur eine begrenzte Verbesserung erzielen, wenn Sie die Tatsache verwenden, dass die Matrix dünn besetzt ist (möglicherweise ein Faktor von d / s).

Antworten (1)

Wenn Sie etwas Spezielles für Mathematica wollen, dann weiß ich es nicht, aber im Allgemeinen:

Lassen σ = ρ A D = Tr B C ( ρ ) . ρ ist ein Operator auf vier Subsystemen, hat also vier Eingänge und vier Ausgänge, was ihn zu einem Tensor auf Rang 8 macht. Lassen ich , ich ' seien die Indizes, die der Ein- und Ausgabe von entsprechen ρ auf Subsystem A , lassen J , J ' entsprechen B , etc. Die Komponenten von σ sind dann σ ich ich ' l l ' = ∑ J k ρ ich ich ' J J k k l l ' .

Wenn ρ spärlich ist, müssen Sie nur die Einträge summieren, die nicht Null sind. Wenn ρ ist dann hermitesch σ hermitesch und es genügt, nur das obere Dreieck zu berechnen (das untere Dreieck ist dann das Konjugierte davon). Ich glaube nicht, dass es andere Optimierungen gibt, es sei denn, Sie kennen weitere Strukturen ρ . Die Summe ist trivialerweise parallelisierbar - jede Kombination ich ich ' l l ' ist völlig unabhängig von den anderen.

Die Effizienz dieser Methode hängt stark davon ab, wie aufwendig es ist, die Koeffizienten der Sparse aufzulisten, die nicht Null sind. Es wäre gut, wenn das OP diesen Punkt klären könnte.
Ich danke Ihnen sehr für Ihre Antwort. Mit Ihrem Vorschlag und genauerem Betrachten des in Mathematica vorgeschlagenen Algorithmus (Link in der Frage) konnte ich den Algorithmus parallelisieren und bin jetzt in der Lage, bis anzukommen D ≤ 9 . Bezüglich weiterer Strukturen oder der asymptotischen Skalierung der Nicht-Null-Elemente habe ich keine so tiefgehende Analyse, weil es für mein Problem nicht benötigt wird. Ich glaube, dass es keine interessante Eigenschaft gibt, die für die partielle Spur verwendet werden kann, weil ich auf einige Zustände eine Einheit anwende und sehe, dass es "viele" Nullen gibt. Danke dir nochmal.
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