Testen, ob ein Polynom nur reelle Wurzeln hat?

Beginnen wir mit einer trivialen Tatsache: Ein Gradpolynom$n$hat insgesamt$n$Wurzeln. Nehmen wir außerdem an, dass alle Wurzeln verschieden sind und dass die Gesamtzahl der reellen Wurzeln des Gradpolynoms ist$n$Ist$X$. Daher, wenn$X = n$, sind alle Nullstellen des Polynoms reell. Die Herausforderung besteht jedoch darin, sie zu finden$X$. Wir können dies mit dem Satz von Sturm tun!

Der Satz lautet wie folgt:

Nehmen Sie ein beliebiges quadratfreies Polynom $p(x)$, und jedes Intervall$(a, b)$so dass$p_i(a), p_i(b) \neq 0$, für alle$i$. Lassen$p_0(x), . . . p_m(x)$bezeichnen die entsprechende Sturm-Kette$p(x$). Für jede Konstante$c$, lassen$\sigma(c)$bezeichnen die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge$p_0(c), . . . p_m(c)$. Dann$p(x)$hat$\sigma(a) − \sigma(b)$deutliche Wurzeln im Intervall$(a, b)$.

( Von hier genommen )

Versuchen wir, die oben kursiv gedruckten Begriffe zu verstehen:

1. Ein quadratfreies Polynom bezieht sich auf eines, das nur verschiedene Wurzeln hat.
2. Wir können verstehen, dass eine Sturmkette auf folgende Weise fortgesetzt wird, bis$p_i(x) = 0$: $$p_0(x) = p(x)$$ $$p_1(x) = p^\prime(x)$$ $$p_2(x) = -1 \times \text{remainder of} \: (p_0 \div p_1)$$ $$p_3(x) = -1 \times \text{remainder of} \: (p_1 \div p_2)$$ $$\text{...}$$ $$p_m(x) = -1 \times \text{remainder of} \: (p_{m-2} \div p_{m−1})$$
3. Vorzeichenwechsel beziehen sich auf ausgehend von$+$Zu$-$und umgekehrt.

Hoffentlich macht der Satz jetzt Sinn. Einfach gesagt, es sagt uns das$X = \sigma(a) − \sigma(b)$im Intervall$(a,b)$.

Wenn es immer noch etwas Verwirrung gibt, kann das folgende Beispiel helfen:

1. Betrachten Sie das Polynom$p(x) = x^3 - 7x + 7$. Unser Ziel ist es herauszufinden, ob alles echte Wurzeln hat.
2. Wir beginnen damit, seine Sturm-Kette zu finden: $$p_0(x) = x^3 - 7x + 7$$ $$p_1(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 7x + 7) = 3x^2 - 7$$ $$p_2(x) = -1 \times \text{remainder of} \: \frac{x^3 - 7x + 7}{3x^2 - 7} = \frac{14x}{3} - 7$$ $$p_3(x) = -1 \times \text{remainder of} \: \frac{3x^2 - 7}{\frac{14x}{3} - 7} = \frac{1}{4}$$ Wir können hier aufhören, weil$p_4(x) = 0$.

Hinweis: Die gefundenen Reste können mit einer beliebigen positiven Konstante multipliziert werden, um die Berechnung zu unterstützen. Zum Beispiel$\frac{14x}{3} - 7$mit multiplizieren könnte$3$geben$14x - 21$. Dies könnte nun als verwendet werden$p_{2}(x)$.

3. Innerhalb des Intervalls$(-\infty, \infty)$, wir finden jetzt die Zeichen von$p_i(a)$Und$p_i(b)$für$i = \{0, 1, 2, 3 \}$was in der folgenden Tabelle dargestellt ist:

4. Somit$X = \sigma(a) − \sigma(b) = 3 - 0 = 3$. Seit$X = n$, alle Wurzeln sind real.

Wir können das obige Ergebnis mit einer konventionelleren Methode überprüfen. Die Vorzeichenregel von Descartes garantiert genau eine negative Wurzel, die wir nennen können$a$. Folglich ist die Summe der verbleibenden Wurzeln$−a$und ihr Produkt ist$\frac{-7}{a}$, also erfüllen die verbleibenden Wurzeln die Gleichung

Dies hat eine positive Diskriminante if$a<-\sqrt[3]{28}$, geben uns$2$echtere Wurzeln. Allerdings haben wir auch$x^3−7x+7\to-\infty$als$x$nimmt ohne Begrenzung ab. Daher ist die negative Wurzel$< -\sqrt[3]{28}$. Als Ergebnis die quadratische Gleichung$(1)$wird sorgen$2$mehr echte Wurzeln, die dem Ergebnis entsprechen, das über die Sturm-Kette gefunden wurde.

( Quelle: Oscar Lanzi )

Für die Zwecke dieser Frage sollte die obige Antwort ausreichen. Ich empfehle jedoch dringend, dass Sie den Beweis für dieses Theorem nachschlagen, ohne den keines der oben genannten Punkte sinnvoll wäre. Beifall!

Bearbeiten$1$:$b = \infty \neq -\infty$in der Tabelle oben.

Bearbeiten$2$: Um diese Methode effektiver zu machen, müssen wir möglicherweise die Vorzeichenänderungen an bestimmten Punkten auswerten$(-\infty,\infty)$. Die oberen Grenzen von Cauchy oder Lagrange geben explizite Grenzen für die maximale Größe aller Wurzeln (reell oder komplex). Durch Auswählen$a$Und$b$Außerhalb dieses Bereichs haben wir$\sigma(a)-\sigma(b)=\sigma(-\infty)-\sigma(\infty)$dh die Gesamtzahl der reellen Wurzeln. ( Quelle: Michael Burr )