Thermische Rauschautokorrelation und Zeitbereichsanalyse

Thermisches Rauschen ist auch als Johnson-Rauschen, Nyquist-Rauschen, Widerstandsrauschen und Variationen davon bekannt. Eine hervorragende Charakterisierung des thermischen Rauschens stammt von Davenport und Root 1 : „Die Zufälligkeit der thermisch angeregten Bewegung freier Elektronen in einem Widerstand führt zu einer schwankenden Spannung, die an den Anschlüssen des Widerstands erscheint. Diese Fluktuation ist als thermisches Rauschen bekannt. Da die Gesamtrauschspannung durch die Summe einer sehr großen Anzahl elektronischer Spannungsimpulse gegeben ist, könnte man nach dem zentralen Grenzwertsatz erwarten, dass die Gesamtrauschspannung ein Gaußscher Prozess wäre. Das kann tatsächlich bewiesen werden.“

Das Rauschen ist also gaußverteilt , wie auf der rechten Seite der zweiten Abbildung des OP gezeigt.

Etwas allgemeiner ist thermisches Rauschen die Rauschspannung, die aufgrund thermischer Bewegung geladener Teilchen in leitenden Medien erzeugt wird. Für einen Leiter mit einer Impedanz Z erzeugt nur der Realteil der Impedanz, Re{Z}, thermisches Rauschen. Thermisches Rauschen ist am absoluten Nullpunkt Null und wäre in perfekten Leitern Null, weil dann Re{Z} = 0 ist. Die bilaterale Rauschleistungsspektraldichte (PSD), bezeichnet mit$S_n(f)$und mit Einheiten von${V^2/Hz}$, wird als 2 angegeben :

$${S_n(f) = \frac{2Rh|f|}{e^{h|f|/kT}-1}} \tag{1}$$

wobei R = Widerstand (Ω), f = Frequenz (Hz), T = absolute Temperatur (K), h = Plancksche Konstante (${6.6260755 x 10^{-34} J s}$) und k = Boltzmann-Konstante (${1.38054 x 10^{-23} J/K}$). Beachten Sie, dass 1 J = 1 W/Hz ist.

Diese bilaterale PSD für R = 1000 Ω, T = 300 K und ±60 THz um DC ist unten dargestellt:

Die mittlere thermische Rauschspannung ist gemäß dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik null, und die Varianz, die gleich der mittleren quadratischen Spannung ist, weil die Rauschspannung einen Mittelwert von null hat, beträgt 2 :

${\sigma^{2} = \int\limits_{-\infty}^{\infty}S_n(f)\,df = \frac{2R(\pi kT)^2}{3h}} \tag{2}$

Diese Varianz wäre die Rauschleistung, wenn es keine Begrenzung der Messbandbreite gäbe . Tatsächlich muss es immer eine Beschränkung der Messbandbreite geben . In praktisch jedem Fall legt das Messsystem eine rauschäquivalente Bandbreite fest , die viel kleiner als kT/h ist, z. B. beträgt die rauschäquivalente Bandbreite für einen einfachen RC-Tiefpassfilter 1/4RC. Bei 300 K, kT/h$\approx$6,25 THz. Für einen 1000-Ω-Widerstand bei 300 K beträgt die bilaterale Rausch-PSD über ±6,25 THz um DC:

Ist Messbandbreite << kT/h, was sehr häufig der Fall ist, dann ist h|f|/kT << 1 und${e^{h|f|/kT} -1} \approx h|f|/kT$. Dementsprechend ist der strenge Ausdruck für${S_n(f)}$vereinfacht sich zu:

$${S_n(f) \approx 2RkT} \tag{3}$$

was auch oben gezeigt wird. Die herkömmliche PSD für einseitiges Rauschen,${G_n(f)}$, ist definiert als:

$${G_n(f)} = 2S_n(f) \tag{4}$$

für f ≥ 0 und sonst Null. So${G_n(f)}$beträgt etwa 4kTR. Daher thermisches Rauschen, in der Grenze, wo${h|f| << kT}$, ist weißes Rauschen, dh Rauschen ohne Frequenzabhängigkeit. Wenn${G_n(f)}$tatsächlich gleich 4kTR, für alle Frequenzen wäre die Varianz unendlich (und physikalisch absurd).

Die Autokorrelation der ungefähren Weiß-PSD, dh die inverse Fourier-Transformation von Gleichung 3, ist also eine „Delta-Funktion“. Aber die Autokorrelation der links neben der zweiten Abbildung des OP gezeigten zeitlichen Spur wäre eine schmale Spitze, die sich der „Delta“-Funktion annähert. Die inverse Fourier-Transformation von Gleichung 1 würde die tatsächliche Autokorrelation des thermischen Rauschens ergeben.

Verweise:

1. WB Davenport, Jr., WL Root, An Introduction to the Theory of Random Signals and Noise, McGraw-Hill, NY, ©1958, p. 185.

2. AB Carlson, Kommunikationssysteme, McGraw-Hill, NY, © 1968, S. 118.

(1) die Widerstände sind physisch getrennt. Daher werden die Bewegungen von Elektronen, die Bahnen überspringen oder von Atom zu Atom oder von Korn zu Korn springen, nicht korreliert sein.

(2) Die 3-dB-Frequenz für (thermisches) Elektronenrauschen beträgt etwa 200 Terahertz, weil die Elektronensprungzeit einige Femtosekunden beträgt.

1) Brute-Force-Berechnung bringt das Ergebnis für Sie. Wenn Sie die Definition der RMS-Spannung nehmen und sie auf eine Summe anwenden, sagen wir A + B, wobei A und B unterschiedliche zufällige Spannungen sind, müssen Sie (A + B) ^ 2 integrieren, das ist A ^ 2 + 2AB + B ^2. Das Integral einer Summe ist die Summe von Integralen. Aber das integrierte Produkt AB reduziert sich auf die Kreuzkorrelationsfunktion bei Verzögerung = 0, und das ist genau dann Null, wenn A und B unabhängig sind.

2) Autokorrelation bei Nullverzögerung (oder R(0)) = Diracs Delta gilt für das theoretische weiße Rauschen mit unendlicher Bandbreite, da es eine unendliche Leistung hat und die Spannung unendlich schnell variieren kann. Keine Simulationen können ein solches Signal haben.

Im Allgemeinen R(0)= die durchschnittliche Leistung (an 1 Ohm). R(T) wo T nicht Null ist, sollte in der Praxis schließlich etwas geben, wenn T klein genug ist, da eine begrenzte Bandbreite verhindert, dass sich das Signal unendlich schnell ändert.

Ich denke, Sie sollten etwas über stochastische Prozesse lesen. Jedes grundlegende kommunikationstheoretische Buch auf Universitätsniveau verwendet sie und erklärt sehr wahrscheinlich auch ihre Grundlagen in einem einleitenden Abschnitt.