Transfinite Rekursion anwenden

Lassen$f\colon\alpha\to\beta$eine Funktion zwischen Ordnungszahlen sein$\alpha,\beta$.

Ich möchte eine Funktion definieren$g\colon\alpha\to\gamma$für eine Ordnungszahl$\gamma$so dass

$(\forall \eta < \alpha)(g(\eta) = \max\{f(\eta),\bigcup_{\xi < \eta} (g(\xi)+1)\})$

Diese Konstruktion erscheint in einem Buch von Krzysztof Ciesielski mit dem Titel "Mengentheorie für den arbeitenden Mathematiker". Der Autor gibt nicht an, wie eine solche Funktion erhalten wird$f$, einfach sagen, dass es durch "transfinite Induktion" definiert ist.

Meine Gedanken zu der Sache:

Soweit ich sehen kann, benötigen wir den folgenden transfiniten Rekursionssatz:

Transfinite Rekursion. Lassen$G$sei eine Klassenfunktion von der Klasse aller Mengen in die Klasse aller Mengen. Dann gibt es eine Klassenfunktion$F$von der Klasse der Ordnungszahlen zur Klasse aller Mengen, so dass für jede Ordnungszahl$\eta$wir haben

$$F(\eta) = G(F{\restriction}_{\eta}).$$

Man könnte zum Beispiel so anfangen: Betrachten Sie eine Klassenfunktion$G$so dass für jeden Satz$x$,$G(x) = \bigcup\mathrm{ran}(x)$Wenn$x$ist eine Beziehung und$G(x) = \varnothing$ansonsten.

Dann gibt es eine Klassenfunktion$F$damit für jede Ordnungszahl$\alpha$,$F(\eta) = G(F{\restriction}_{\eta}) = \bigcup\mathrm{ran}(F{\restriction}_{\eta}) = \bigcup_{\xi < \eta} F(\xi)$.

Aber dann bräuchten wir einen Weg, um ein Set zu erhalten$\bigcup_{\xi < \eta} (F(\xi) + 1)$aus einem Satz$\bigcup_{\xi < \eta} F(\xi)$für jede Ordnungszahl$\alpha$, und ich sehe es derzeit nicht. Vielleicht war es von Anfang an eine falsche Strategie.

Außerdem, auch wenn wir eine Klassenfunktion hätten$F$Senden jeder Ordnungszahl$\eta$Zu$\bigcup_{\xi < \eta} F(\xi)$, müssten wir trotzdem irgendwie eine Klassenfunktion erhalten$H$Senden jeder Ordnungszahl$\eta$Zu$\max\{f(\eta),\bigcup_{\xi < \eta} F(\xi) \}$.

Natürlich funktioniert jede solche Klasse$H$könnte eingeschränkt werden$\alpha$um eine gewünschte Funktion zu erhalten$g$.