Treibstoffmenge zum Beschleunigen eines Raumschiffs

Benötige ich weitere 1 % meines Startkraftstoffs oder benötige ich mehr Kraftstoff, dh Energieverbrauch linear oder nicht linear?

Wenn Sie relativistische Effekte ignorieren, benötigen Sie weniger Kraftstoff, um von 10000 km/h auf 20000 km/h zu fahren, als von 0 km/h auf 10000 km/h. Während 20000 km/h schnell klingt, ist es eigentlich ziemlich langsam. Das reicht nicht einmal aus, um Sie vom Boden in eine Umlaufbahn um die Erde zu bringen, was ein Δv irgendwo zwischen 34000 km/h und 40000 km/h erfordert. Diese 20000 km/h sind auch sehr langsam im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit, die etwas über 1000000000 km/h liegt. Relativistische Effekte treten ab etwa 1 % der Lichtgeschwindigkeit auf und sind erst ab etwa 10 % der Lichtgeschwindigkeit signifikant.

Ich gehe großzügig davon aus, dass Ihre Rakete ursprünglich zu 90 % aus Treibstoff bestand. (Eine Rakete zu bauen, deren Masse anfangs zu 85% aus Treibstoff besteht, ist schwierig.) Ich gehe auch davon aus, dass sich Ihre Rakete im leeren Raum befindet und weit entfernt von allen Gravitationskörpern ist. In diesem Fall gilt die ideale Raketengleichung :

$$\Delta v = v_e \ln\left(\frac{m_i}{m_f}\right)$$ Ihre Rakete erreichte ein Δv von 10000 km/h, nachdem sie 10 % des ursprünglichen Treibstoffs verbrannt hatte. Das bedeutet, dass Ihre Rakete eine Austrittsgeschwindigkeit von 29,45 km/s (106033 km/h) hat, was sie in die Klasse eines typischen Ionenantriebsmotors einordnet.

Wenn die Rakete den gesamten Treibstoff verbrennt, während sie geradeaus beschleunigt, beträgt die Endgeschwindigkeit 244148,9 km/h. Das ist mehr als das Doppelte des Wertes, den man naiv erhält, wenn man seine 10000 km/h mit zehn multipliziert.

Dies wird durch die Tsiolkovsky-Raketengleichung geregelt

$$\Delta V = ln\left( \frac{M_{i}}{M_{f}} \right)v_e$$

wo$\Delta V$ist Ihre Gesamtgeschwindigkeitsänderung,$v_e$ist die effektive Abgasgeschwindigkeit Ihres Motors,$M_{i}$ist die Masse vor dem Brennen, und$M_{f}$ist die Masse am Ende der Verbrennung.

Hier ist das Problem - es braucht ein minimales Massenverhältnis, um ein bestimmtes zu erreichen$\Delta V$für eine gegebene effektive Abgasgeschwindigkeit, wie durch gegeben

$$\frac{M_i}{M_f} = e^\left(\frac{\Delta V}{v_e}\right)$$

Aufgrund des exponentiellen Terms werden die Massenverhältnisse hässlich, wenn Sie nach mehr streben$\Delta V$. Für alles, was wir heute fliegen, werden sie dumm riesig, wenn sie Geschwindigkeiten erreichen, die über winzige Bruchteile hinausgehen$c$. Aus diesem Grund fange ich mit Geschwindigkeiten in der Größenordnung von 0,0001 an$c$. Das würde alles bei relativistischen Geschwindigkeiten zusammenbrechen, aber wir werden mit konventionellen Reaktionsantrieben nicht annähernd relativistische Geschwindigkeiten erreichen.

Wenn Sie einen Ionenantrieb wie das Dawn-Raumschiff verwenden ($v_e$~ 30380 m/s), dann ist das Massenverhältnis erforderlich, um 0,0001 zu erreichen$c$(~30000 m/s) ist 2,685; für jedes Kilogramm Masse, das Sie beschleunigen möchten, müssen Sie ~1,7 kg Treibmittel ¹ aufwenden . Dies ist der effizienteste Motor, der heute verwendet wird; die SSME$v_e$erreicht im Vakuum ~4410 m/s, was uns ein Massenverhältnis von etwas über 900 (899 kg Treibmittel pro kg Endmasse) gibt.

Das bedeutet, dass wir rückwärts arbeiten müssen; Wenn wir zwei Zündungen machen wollen, müssen wir zuerst ausrechnen, wie viel Treibmittel wir für die zweite Zündung reservieren müssen, und das dann in die Berechnung für die erste Zündung einbeziehen. Wir gehen von magischen Treibstofftanks ohne Masse aus.

Für die zweite Zündung beschleunigen wir gerade die Trockenmasse des Raumfahrzeugs um 30000 m/s. Wenn unser Raumfahrzeug 1000 kg wiegt und unser Massenverhältnis ~2,7 beträgt, bedeutet dies, dass wir 1700 kg Treibmittel für diese Verbrennung reservieren müssen.

Für die erste Zündung beschleunigen wir das Raumschiff plus das Treibmittel, das für die zweite Zündung benötigt wird. Unser$\Delta V$ist gleich, also ist unser Massenverhältnis gleich, also brauchen wir 1,7 * (1000 + 1700) = 4590 zusätzliche Kilogramm Treibmittel, für eine Gesamtstartmasse von 8290 kg.

Ich habe erwähnt, dass die Massenverhältnisse so hässlich werden wie bei Ihnen$\Delta V$steigt. Wenn Sie um 0,001 beschleunigen möchten$c$(300000 m/s) springt das Massenverhältnis für den Dawn-Motor auf ~19437; für jedes kg Masse, die Sie beschleunigen wollen, müssen Sie über neunzehntausend kg Treibstoff aufwenden.

Wir werden mit keinem Reaktionsantrieb, der seinen eigenen Treibstoff tragen muss, annähernd Lichtgeschwindigkeit erreichen. Sie müssen entweder beim Fliegen Treibmasse sammeln (Bussard-Staujets), Sonnen- oder Lasersegel verwenden oder einen echten reaktionslosen Antrieb wie den Warp-Antrieb von Star Trek verwenden.

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1. Das Massenverhältnis ist Treibmittelmasse plus Endmasse dividiert durch Endmasse. Ein Massenverhältnis von 2 bedeutet, dass wir 1 kg Treibmittel für jedes kg Endmasse haben, ein Massenverhältnis von 3 bedeutet, dass wir 2 kg Treibmittel für jedes kg Endmasse haben usw. Wir subtrahieren also 1 von dem Massenverhältnis zur Zahl heraus, wie viel Treibmittel wir verwenden.

Die Antworten mit der Tsiolkovsky-Raketengleichung sind in Ordnung, aber sie klären möglicherweise nicht die zugrunde liegende Physik. Es ist einfacher, wenn wir den Fall nehmen$\Delta V\ll v_e$. In dieser Näherung ist die Masse des Schiffes konstant. Die Frage wäre dann, ob der verwendete Treibstoff proportional zum Endimpuls der Rakete ist (der linear mit$\Delta V$) oder seine endgültige kinetische Energie (was so geht$\Delta V^2$). Es scheint paradox, denn in einer Rakete liefert der Treibstoff sowohl den Impuls (Reaktionsmasse) als auch die kinetische Energie.

Die Auflösung des Paradoxons besteht darin, dass im Endzustand nicht nur kinetische Energie in der Rakete vorhanden ist. Im Kraftstoff steckt auch kinetische Energie. Es ist also falsch anzunehmen, dass wir Brennstoffenergie im Verhältnis zu verbrauchen müssen$\Delta V^2$. Der verwendete Kraftstoff ist proportional zu$\Delta V$.

Eine andere Möglichkeit, dies zu sehen, besteht darin, dass wir einen Bezugsrahmen auswählen können, der zu einem bestimmten Zeitpunkt, nachdem es bereits beschleunigt hat, relativ zum Schiff vorübergehend in Ruhe ist. In diesem Rahmen muss der Wirkungsgrad des Motors gleich dem Wirkungsgrad sein, wenn der Motor aus dem Ruhezustand startet, da sich die Rakete in diesem Rahmen vorübergehend im Ruhezustand befindet .