Tripel positiver ganzer Zahlen a,b,ca,b,ca,b,c mit rationalem c−ac+b−−−√,c+ac−b−−−√c−ac+b,c+ac−b\ sqrt{\frac{ca}{c+b}},\sqrt{\frac{c+a}{cb}}

Um alle Lösungen zu erhalten, hilft es, die Gleichungen mit einem Term zu schreiben, der sich zwischen Zähler und Nenner kürzt (und somit nicht quadratisch sein muss wie der Rest der Zähler und Nenner):

$$\left\{\begin{aligned}\frac{c-a}{c+b}&=\frac{q\times r^2}{q\times s^2}\\\frac{c+a}{c-b}&=\frac{t\times u^2}{t\times v^2}\end{aligned}\right.$$

SageMathCell zerlegt das in separate Zähler und Nenner und gibt:

$$\begin{align} a &= -\frac{s^{2} t u^{2} - {\left(2 \, t u^{2} - t v^{2}\right)} r^{2}}{2 \, {\left(r^{2} - s^{2}\right)}}\\ b &= -\frac{r^{2} t v^{2} + {\left(t u^{2} - 2 \, t v^{2}\right)} s^{2}}{2 \, {\left(r^{2} - s^{2}\right)}}\\ c &= -\frac{s^{2} t u^{2} - r^{2} t v^{2}}{2 \, {\left(r^{2} - s^{2}\right)}}\\ q &= -\frac{t u^{2} - t v^{2}}{r^{2} - s^{2}} \end{align}$$

Sage gibt keine Lösungen zurück, wenn er nach gerecht löst$a, b, c$, aber ich bin mir nicht sicher warum. Ich bin auch kein Mathematiker genug, um zu wissen, ob all das oben Genannte auch nur annähernd hilfreich ist.

---

Bearbeiten: Als Beispiel dafür, wo die zusätzlichen Variablen die Dinge schöner machen:

solve([q*r^2 == (14-2), q*s^2 == (14+13), t*u^2 == (14+2), t*v^2 == (14-13)], (q,s,t,v))

$$\left[q = \frac{12}{r^{2}}, s = \frac{3}{2} \, r, t = \frac{16}{u^{2}}, v = \frac{1}{4} \, u\right]$$

vs Auflösen nach (r,s,u,v), was ergibt

$$\left[r = \frac{2 \, \sqrt{3}}{\sqrt{q}}, s = -\frac{3 \, \sqrt{3}}{\sqrt{q}}, u = -\frac{4}{\sqrt{t}}, v = \frac{1}{\sqrt{t}}\right]$$

Löse das System.

$$\left\{\begin{aligned}&\sqrt{\frac{c-a}{c+b}}=\frac{k}{t}\\&\sqrt{\frac{c+a}{c-b}}=\frac{p}{s}\end{aligned}\right.$$

Die Lösung kann geschrieben werden als.

$$c=t^2p^2-k^2s^2$$

$$a=t^2p^2+k^2s^2-2k^2p^2$$

$$b=t^2p^2+k^2s^2-2t^2s^2$$