Über Poincare-Schnitt für das Doppelpendel

Ich lese Analytical Mechanics von Prof. Louis N. Hand. Im Kapitel über Chaos stellt er die Konzepte des Poincare-Abschnitts am Beispiel des Doppelpendels vor. Außerdem zeichnet es den Abschnitt auf, wenn die Anfangswinkel für das obere und untere Pendel klein sind (jeweils etwa 1 Grad). In diesem Fall enthält der Abschnitt also einige geschlossene Kurven. Ich habe ein paar Fragen zum Abschnitt.

  1. Erstens, ist es möglich, dass sich einige der im Abschnitt gezeigten Kurven kreuzen? Warum und warum nicht?

  2. Zweitens gibt es in dem im Buch gezeigten Diagramm (Abb. 11.4) zwei Fixpunkte, die jedoch nicht symmetrisch zum verallgemeinerten Impuls sind. Warum das?

Nach dem in https://mathematica.stackexchange.com/q/40122/ gefundenen Beitrag habe ich den Code so geändert, dass

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Antworten (1)

Zuerst . Ja, es ist möglich, die Kurven im Abschnitt Poincare zu überqueren. (Ich nehme an, Sie meinen allgemein). Denken Sie daran, dass der Poincare-Schnitt eine 2D-Projektion eines 3D-Schnitts eines 4D-Phasenraums ist. Regelmäßige, nicht chaotische Dynamiken entsprechen der Wicklung von a T 2 Torus eingebettet in diesen 4D-Raum. Abschnitte eines solchen Torus könnten die paar geschlossenen Kurven in der 3D-Hyperebene sein. Das Projizieren dieser Hyperebene auf den 2D-Raum könnte Schnittpunkte erzeugen. Außerdem kann der Poincare-Abschnitt nur Punkte mit einer gegebenen Richtung einer Hyperflächenkreuzung enthalten, dann würde die Anzahl der resultierenden Kurven reduziert werden. Wahrscheinlich besteht sogar dann noch eine Möglichkeit für die sich schneidenden Kurven im Poincare-Abschnitt, obwohl diese stark nichtlineare Regime erfordern würden (möglicherweise nach mindestens einer Bifurkation).

Zweitens . Warum würden Sie die Symmetrie in Bezug auf das Vorzeichen des Impulses erwarten? Der Hamiltonoperator für das Doppelpendel enthält den Term proportional zum Produkt beider Impulse l a l β . Daher sind der Hamiltonoperator und der Torus im 4D-Phasenraum nur invariant gegenüber Vorzeichenwechseln beider Impulse, nicht aber gegenüber einem Vorzeichenwechsel eines einzelnen Impulses. Nach Erstellung des Querschnitts und Projektion auf die 2D-Ebene ist im resultierenden Poincare-Schnitt keine Spiegelsymmetrie bzgl. des Impulsvorzeichens zu erwarten.

Ergänzung Nach der Diskussion in den Kommentaren verstehe ich, dass das einzige ungelöste Problem der Satz von Anfangsdaten ist, der die Abbildung aus dem Buch generiert. Im Buch wird die Abbildung von dem Kommentar begleitet:

Um Abbildung 11.4 und alle nachfolgenden Poincare-Schnitte zu erzeugen, werden die Anfangsbedingungen variiert. Die Gesamtenergie hat den Wert E = H ( a ( 0 ) , 0 , − a ( 0 ) , 0 ) .

Alle diese Kurven entsprechen also verschiedenen Abschnitten, die sich aus verschiedenen ICs mit fester Energie ergeben E 0 . Hier ist mein Versuch, die Figur zu reproduzieren:

Poincare-Abschnitte

Verschiedene Farben entsprechen einem einzelnen Poincare-Abschnitt, der durch seinen eigenen Anfangspunkt definiert ist. Die Punkte werden so gewählt, dass:

a = 0 , β = 0 , a ˙ > 0 , H ( 0 , l a , 0 , l β ) = E 0 .
Der Wert von l β wird so gewählt, dass Kurven gleichmäßig zwischen zwei Grenzpunkten beabstandet sind, die normalen Schwingungsmoden entsprechen. Die letzten beiden Bedingungen und bekannt l β erlauben uns eine eindeutige Berechnung l a .

Schließlich wird die Grenzkurve durch die Gleichungen definiert:

a = 0 , a ˙ = 0 , H ( 0 , l a , 0 , l β ) = E 0 .

Der Code für das Bild basiert auf der verlinkten Frage von Mathematica SE und kann hier eingesehen werden .

Danke für die Antwort. Wenn wir eine Kleinwinkelnäherung anwenden, sollten die Kurven im Poincare-Schnitt, die die periodische Bewegung darstellen, also keine Kreuzung zeigen, ist das richtig? Was die Symmetrie angeht, verstehe ich das nicht ganz. Der Grund ist, dass ich den Abschnitt mit Matlab und anderem online gefundenem Code zeichne, ich sehe die Symmetrie.
"Keine Kreuzungen" gelten nur für einen vollen Phasenraum. Das Produzieren eines Poincare-Schnitts beinhaltet das Erstellen einer Projektion auf einer Hyperebene, und dies könnte Schnittpunkte erzeugen. (Dies ist allgemein gesagt, ich weiß nicht, ob die Hyperebene α = 0 ista = 0 , mit Projektion auf ( β , l β )( β,lβ) -Ebene aus dem Buch würde Schnittpunkte erzeugen).
Die Symmetrie des Diagramms hängt offensichtlich von den Anfangsbedingungen ab. Meine Hypothese ist, dass Sie in Ihrer Simulation ICs mit Anfangswerten von Null verwenden. Ich schlage vor, mehrere Ausgangspunkte zu verwenden, die mit einem bestimmten Energiewert kompatibel sind.
Um die Kurven in den Poincare-Abschnitten zu zeichnen, ändere ich die Anfangsbedingungen, um unterschiedliche Kurven zu beobachten. Sie können das Ergebnis hier sehen mathematica.stackexchange.com/questions/40122/… , im Fragenposten, das Ergebnis aus dem beigefügten Buch und in den Antworten, dort zeigen Sie die Handlung in Mathematik, es wird Symmetrie beobachtet.
Ah! Die Spiegelsymmetrie in diesen Figuren liegt daran, dass Punkte beide mit ˙ α > 0 sinda˙> 0 und ˙ α < 0a˙< 0 sind geplottet. Abbildung von @belisarius beinhaltet Bedingung l α > 0la> 0 (was für kleine Winkel äquivalent zu ˙ α > 0 ista˙> 0 ) und besitzt keine solche Symmetrie.
Danke. Das ist ein guter Hinweis. Ich kopiere den Code von Belisarius und führe ihn aus, er zeigt die Handlung ohne eine solche Symmetrie. Aber in der unteren Hälfte (wo l β < 0lβ< 0 ), habe ich diese engen Kurven nicht gesehen, wie sie im Buch oder in der Abbildung im Fragenthread gezeigt werden. Ist das also eine andere Bedingung, die ich stellen sollte, um genau dieselbe Handlung wie im Buch zu reproduzieren?
Korrektur, l α > 0la> 0 ist nicht dasselbe wie ˙ α > 0a˙> 0 . Also solltest du diese Bedingung durch ( l α − ( 1 + cos ersetzenβ ) l β ) > 0(la− ( 1 + cosβ)lβ) > 0 . Dadurch wird die volle Kurve (ohne Kreuzung) erzeugt. Ein weiterer Punkt: Im Buch wurden die ICs so variiert, dass die Gesamtenergie konstant blieb. Also sollten Sie ICs (zum Beispiel) so wählen: α = 0 ,β = 0α = 0 ,β= 0 , l βlβ willkürlich ist (es würde der Kurve entsprechen, die die vertikale Symmetrieachse kreuzt), während l αla so gewählt, dass die Gesamtenergie gleich E istE .
Danke. Ich habe den Code basierend auf Ihrer Antwort geändert. Und ändern Sie die ICs basierend auf dem Buch. Im Buch heißt es, dass α ( 0 ) = − β ( 0 ) = 1 ∘α ( 0 ) = − β( 0 ) =1∘ , ist die konstante Energie E = H ( α ( 0 ) , 0 , − α ( 0 ) , 0 ) ≃ − 2,9996953903127825E= H( α ( 0 ) , 0 , − α ( 0 ) , 0 ) ≃ − 2,9996953903127825 Aber ich finde, dass, wenn ich die Energie wie oben fixiere, l αla wird komplex gelöst. Also füge ich der konstanten Energie einen kleinen Offset hinzu, ergibt E ≃ − 2,9985953903127824E≃ − 2,9985953903127824 , es zeichnet dann etwas, wie im bearbeiteten Beitrag gezeigt. Aber es ist immer noch nicht ganz dasselbe wie die im Buch gezeigte Figur (siehe unten)
Erstens liegt der untere Fixpunkt im Buch bei etwa -0,01, aber in meinem Diagramm hat er sich nach oben auf -0,02 verschoben. Zweitens kreuzt in meinem Ergebnis die größte geschlossene Kurve in der zweiten Hälfte das l αla Achse bei etwa 0,018, aber im Buch kreuzt sie bei etwa 0,07.
Ich habe viele verschiedene Energien ausprobiert und schließlich festgestellt, dass, wenn die konstante Energie als -2,9996992384564987 gewählt wurde, die Handlung der im Buch gezeigten ziemlich nahe kam. Bedeutet das also, dass der Fixpunkt wirklich von der gewählten Energie abhängt? Meine letzte Frage ist in dem Buch, es sollte der große Kreis als Grenze dienen, wie finde und zeichne ich diese Grenze?
Siehe die bearbeitete Antwort.
Ich glaube, das meiste davon habe ich jetzt verstanden, aber in einem Ihrer Kommentare sagten Sie : ˙ αa˙ ist nicht dasselbe wie l αla ? Die Zeitableitung des Winkels ist also kein Drehimpuls?
Natürlich. ˙α _a˙ wird aus den Hamilton-Gleichungen berechnet: ˙ α = ∂ H∂ l α =2(lα−(1+cosβ ) ich β )3 − cos2 ßa˙=∂H∂la=2 (la− ( 1 + cosβ)lβ)3 − cos2 ß was sich offensichtlich von l α unterscheidetla . Die Größen ˙ αa˙ und lα _la sind über die Legendre-Transformation miteinander verbunden.
Ich glaube, ich verwechsle die Winkeländerung über die Zeit mit dem Drehimpuls. Eigentlich sollte es statt Drehimpuls Winkelgeschwindigkeit sein. Also ˙α _a˙ die Winkelgeschwindigkeit und l α istla ist Drehimpuls, richtig? Können wir also den Poincare-Schnitt berechnen, indem wir einschränken, dass l α > 0 istla> 0 ? Wenn ja, macht es Sinn, dies physisch zu tun?
Rechts. Und Bedingung ˙ α > 0a˙> 0 sinnvoll, weil es die Schnittrichtung der Kurve im 4D-Raum mit der Hyperebene α = 0 einschränkta = 0 (siehe Abb. 11.3 im Buch). Ich denke nicht, dass die Auferlegung der Beschränkung l α > 0 istla> 0 hat eine ähnlich klare Interpretation.
Hallo, ich habe noch eine Frage zum Doppelpendel. In dem von Ihnen erstellten Diagramm sind zwei Fixpunkte im positiven und negativen Bereich von l β dargestelltlβ . Ich frage mich, wie ich diese Fixpunkte berechnen kann. Soll ich die Gleichungen von ˙ α = 0 , ˙ β = 0 , ˙ l α = 0 , ˙ l β = 0 lösena˙= 0 ,β˙= 0 ,la˙= 0 ,lβ˙= 0 ? Die Gleichungen scheinen zu kompliziert zu sein und ich finde keinen Weg, sie zu lösen.
Ich habe gesehen, dass der Fixpunkt im Poincare-Abschnitt aufgetragen ist. Um den Fixpunkt zu finden, sollte ich also einfach α ersetzena mit Null und mache ˙ l α = 0la˙= 0 und löse nach β aufβ und lβ _lβ ? Ich habe das gemacht und es numerisch gelöst, aber es gibt mir eine Lösung mit l β = 0lβ= 0 und ßβ ist nicht Null. Wenn Sie jedoch das Diagramm lesen, sollte sich der Fixpunkt um ( β = 0 , l β = − 0,01 ) befinden.( β= 0 ,lβ= − 0,01 ) und ( β = 0 , l β = 0,024 )( β= 0 ,lβ= 0,024 )
Ihre 'Fixpunkte' entsprechen dem Torus im Phasenraum, der zur Kurve entartet. Das bedeutet, dass von den beiden möglichen Schwingungsarten nur eine angeregt wird. (Jeder der Punkte entspricht seinem eigenen Modus). Um sie im Fall kleiner Winkel (wie hier) zu berechnen, linearisieren Sie einfach die Gleichungen und finden Sie ihre Normalmoden, indem Sie dann die Energie jeder der Moden auf E 0 setzenE0 Sie würden die beiden Phasenraumtrajektorien erhalten, die zwei singuläre Punkte im Poincare-Schnitt erzeugen.
Kann ich also sagen, dass ein fester Punkt immer einer regelmäßigen Bewegung entspricht, und ist das der Grund, warum ich die Karte linearisieren muss? Basierend auf Ihrer Beschreibung scheint es also, dass der Fixpunkt auch von der Energie abhängt oder immer dann gegeben ist, wenn die Energie die niedrigste Energie ist?
Dieser singuläre Punkt auf dem Poincaré-Schnitt entspricht einer besonderen Art regelmäßiger Bewegung: der stabilen periodischen Umlaufbahn. Ich habe die Linearisierung nur der Einfachheit halber (und um analytische Ergebnisse zu erhalten) für kleine Winkel vorgeschlagen. Diese Punkte wären bei größeren Energien immer noch vorhanden, auch wenn man nichtlineare Korrekturen nicht ignorieren kann (aber es gäbe dann im Allgemeinen keinen Ausdruck in geschlossener Form für sie).
Danke für die Klarstellung. Ich verstehe es jetzt etwas besser. Ich habe heute ein Buch darüber gelesen, wie man den Fixpunkt mathematisch findet. Dort versucht der Autor nur, die Differentialgleichung zu lösen, wenn alle Zeitableitungen der einzelnen verallgemeinerten Koordinaten mit Linearisierung auf Null gehen. In unserem Fall linearisiere ich also alle Winkel außer aus der zweiten Gleichung l ′ α = 0 , erhalte ich α = β = 0 und setzen Sie das dann wieder in die letzte Gleichung ein, aber ich werde eine Nulllösung für l β erhalten . Ich verstehe, dass wir es vom normalen Modus aus lösen könnten, aber was ist falsch an dieser Mathematik?
Über Poincare-Schnitt für das Doppelpendel
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