Understanding The Art of Electronics mathematische Erklärung für Kondensatoren

Question

Understanding The Art of Electronics mathematische Erklärung für Kondensatoren

AlanZ2223

Der Autor erwähnt, dass der Leser sich keine Sorgen machen sollte, wenn er mit der Mathematik nicht mithalten kann, ich fühle mich dabei jedoch unwohl. Das Problem ist die Tatsache, dass der Autor nicht erklärt, wofür die mathematischen Variablen sind, also möchte ich, dass jemand, der es versteht, dies erklärt. Das ergibt die folgende Schaltung

schematisch

^{Simulieren Sie diese Schaltung – Mit CircuitLab erstellter Schaltplan}

Es erwähnt, dass zum Zeitpunkt = 0 die Gleichung für den Strom lautet

ICH = C \frac{D v}{D T} = \frac{v_{ich} - v}{R}

$I = C{dv\over{dt}} = {V_i - V \over {R}}$ Der Autor gibt nicht an, was Vi _oder V sind. Ich kann jedoch schlussfolgern, dass Sie die von der Batterie gelieferte Spannung von der Spannung des Kondensators subtrahieren müssten. V _i ist die Quellenspannung, V ist die Spannung am Kondensator. Danach definieren sie die V (Kondensatorspannung) als

v = v_{ich} + A e^{\frac{- T}{R C}}

$V=V_i+Ae^{-t\over{RC}}$ Was mich hier verwirrt hat, ist, was der Begriff V _i im Ausdruck für die Anfangsspannung über dem Kondensator tat, oder steht V _i für etwas anderes? auch was bedeutet A? Wie der Autor dann feststellt, ist A durch die Anfangsbedingungen V=0 ,t=0 bestimmt. A wird also gleich -V _{i sein}

ICH = \frac{v_{ich} - (v_{ich} + (- v_{ich} * e^{- T / R C})}{R} = \frac{v_{ich} * - e^{- T / R C}}{R}

$I={V_i -(V_i + (-V_i * e^{-t/RC})\over{R}} = {V_i * -e^{-t/RC}\over{R}}$ An diesem Punkt habe ich die Intuition dahinter aus den Augen verloren, und wenn mir jemand erklären könnte, was der Autor meint, oder wirklich nur die Intuition hinter der Mathematik, wäre ich dankbar.

ACD

dV ist die Spannungsänderung, also ist Vi die Anfangsspannung und V ist die Endspannung zu dem Zeitpunkt, an dem Sie interessiert sind. 'A' ist nur eine Platzhalterkonstante, die er dann ableitet.

AlanZ2223

Es gibt also keinen Begriff für die zugeführte Spannung?

AlanZ2223

Ich lese gerade und es heißt V = Vi * (1-e ^ -t / RC), wenn Vi die Anfangsspannung am Kondensator darstellt, wenn es Null wäre, wäre V immer Null, es macht mehr Sinn, wenn Vi die Versorgung wäre Spannung, da sich der linke Term 1 nähert, die mit Vi (Versorgungsspannung) multipliziert wird, um ein V zu ergeben, das sich der Versorgungsspannung Vi annähert

Jim Dearden

Ich denke, Ihr Problem ist, dass die Diagrammnotation und die mathematische Notation nicht vom ursprünglichen Autor abgeglichen oder von einem Korrekturleser aufgegriffen wurden. C bezieht sich auf C1, R bezieht sich auf R1, Vi (nicht einmal im Diagramm gezeigt) ist die Anfangsspannung über dem Kondensator und V1 ist die Quellenspannung V.

PeterG

In meinem Exemplar dieses (ausgezeichneten) Buches - Taschenbuch, 1983 - ist das, was Sie als Spannungsquelle V1 gezeigt haben, stattdessen als Batterie mit der Bezeichnung Vi dargestellt

Fizz

Ihre Frage zu A und den Anfangsbedingungen lässt mich glauben, dass Sie zum ersten Mal gesehen haben, wie eine Differentialgleichung gelöst wurde. Zumindest ein gewisses Maß an Vertrautheit damit ist erforderlich, bevor Sie die transiente Analyse von RLC-Schaltungen verstehen können. Jeder Einführungstext zu Differentialgleichungen reicht aus. Der erste Treffer, den ich bei Google bekomme, ist math.sci.ccny.cuny.edu/document/show/2130

AlanZ2223

Ja, ich habe manchmal Schwierigkeiten, die Gleichungen zu verstehen (8. Klasse)

Adam Haun

Wenn Sie in der achten Klasse sind, könnten die Dinge etwas knifflig sein. Es hängt davon ab, wie gut Sie in Algebra sind. (So ziemlich alles in Wissenschaft und Technik hängt von Algebra ab. Im Ernst – es ist so wichtig. Wenn Sie in Ihrer gesamten K-12-Ausbildung nur in einer Mathematikklasse gut abschneiden können, machen Sie es zu Algebra.) Schaltungsgleichungen können eine gute Übung sein. Für dieses spezielle Beispiel sollten Sie auch sicherstellen, dass Sie Exponenten und exponentiellen Abfall verstehen. (Es ist nicht so schwer. Stellen Sie nur sicher, dass Sie wissen, dass x ^ 0 = 1 usw.). Sie könnten auch versuchen, sich ein grundlegendes intuitives Verständnis dafür anzueignen, was ein Derivat ist.

Antworten (1)

Understanding The Art of Electronics mathematische Erklärung für Kondensatoren

dV ist die Spannungsänderung, also ist Vi die Anfangsspannung und V ist die Endspannung zu dem Zeitpunkt, an dem Sie interessiert sind. 'A' ist nur eine Platzhalterkonstante, die er dann ableitet.
Ich lese gerade und es heißt V = Vi * (1-e ^ -t / RC), wenn Vi die Anfangsspannung am Kondensator darstellt, wenn es Null wäre, wäre V immer Null, es macht mehr Sinn, wenn Vi die Versorgung wäre Spannung, da sich der linke Term 1 nähert, die mit Vi (Versorgungsspannung) multipliziert wird, um ein V zu ergeben, das sich der Versorgungsspannung Vi annähert
Ich denke, Ihr Problem ist, dass die Diagrammnotation und die mathematische Notation nicht vom ursprünglichen Autor abgeglichen oder von einem Korrekturleser aufgegriffen wurden. C bezieht sich auf C1, R bezieht sich auf R1, Vi (nicht einmal im Diagramm gezeigt) ist die Anfangsspannung über dem Kondensator und V1 ist die Quellenspannung V.
In meinem Exemplar dieses (ausgezeichneten) Buches - Taschenbuch, 1983 - ist das, was Sie als Spannungsquelle V1 gezeigt haben, stattdessen als Batterie mit der Bezeichnung Vi dargestellt
Ihre Frage zu A und den Anfangsbedingungen lässt mich glauben, dass Sie zum ersten Mal gesehen haben, wie eine Differentialgleichung gelöst wurde. Zumindest ein gewisses Maß an Vertrautheit damit ist erforderlich, bevor Sie die transiente Analyse von RLC-Schaltungen verstehen können. Jeder Einführungstext zu Differentialgleichungen reicht aus. Der erste Treffer, den ich bei Google bekomme, ist math.sci.ccny.cuny.edu/document/show/2130
Ja, ich habe manchmal Schwierigkeiten, die Gleichungen zu verstehen (8. Klasse)
Wenn Sie in der achten Klasse sind, könnten die Dinge etwas knifflig sein. Es hängt davon ab, wie gut Sie in Algebra sind. (So ziemlich alles in Wissenschaft und Technik hängt von Algebra ab. Im Ernst – es ist so wichtig. Wenn Sie in Ihrer gesamten K-12-Ausbildung nur in einer Mathematikklasse gut abschneiden können, machen Sie es zu Algebra.) Schaltungsgleichungen können eine gute Übung sein. Für dieses spezielle Beispiel sollten Sie auch sicherstellen, dass Sie Exponenten und exponentiellen Abfall verstehen. (Es ist nicht so schwer. Stellen Sie nur sicher, dass Sie wissen, dass x ^ 0 = 1 usw.). Sie könnten auch versuchen, sich ein grundlegendes intuitives Verständnis dafür anzueignen, was ein Derivat ist.

Adam Haun · Answer 1

Zunächst sollten Sie sich darüber im Klaren sein, dass die Behandlung der Schaltungstheorie in The Art of Electronics sehr kurz ist. Ein aktuelles Lehrbuch zur Schaltungsanalyse würde Zeitkonstanten viel ausführlicher behandeln und mehr Beispiele liefern.

Ihre Schaltung scheint Abbildung 1.31 aus Abschnitt 1.13 zu sein. Sie haben den Schalter und die Anfangsbedingungen weggelassen und die Spannungsquelle falsch bezeichnet. Die Batterie ist $V_i$ , nicht $V_1$ . Hier eine korrigierte Version:

schematisch

^{Simulieren Sie diese Schaltung – Mit CircuitLab erstellter Schaltplan}

Es wird impliziert (aber nicht angegeben), dass der Kondensator bei t = 0 entladen wird, sodass V bei null Volt beginnt. Bei geöffnetem Schalter gibt es keinen Gleichstrompfad von V nach Masse, also müssen wir eine solche Annahme treffen.

Sobald der Schalter geschlossen ist, kann Strom fließen. Der mathematische Weg, dies zu erreichen, besteht darin, eine Gleichung unter Verwendung des aktuellen Kirchhoff-Gesetzes (KCL) zu schreiben. Aufgrund des Kondensators ist dies eine Differentialgleichung erster Ordnung:

C u R R e N T Ö u T Ö F v_{ich} = C u R R e N T ich N T Ö C

$current\ out\ of\ V_i = current\ into\ C$

\frac{v_{ich} - v}{R} = C \frac{D v}{D T}

$\frac{V_i - V}{R} = C\frac{dV}{dt}$

(Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung, die eine Änderungsrate beinhaltet. Hier $\frac{dV}{dt}$ ist die Änderungsrate von V in Bezug auf die Zeit.) Sie können dies dann lösen, um eine Gleichung der Form zu erhalten:

v = v_{ich} + A e^{- T / R C}

$V = V_i + Ae^{-t/RC}$

wobei e die Basis des natürlichen Logarithmus (~2,718) und A eine unbekannte Konstante ist. Sie können für die Konstante auflösen, indem Sie Ihre Anfangsbedingung von verwenden $V_{t=0} = 0$ .

Eine andere Sichtweise ist zu sagen, dass ein Kondensator bei Gleichstrom wie ein offener Stromkreis wirkt und wie ein Kurzschluss, wenn sich die Spannungen im Stromkreis schnell ändern. In dem Moment, in dem wir den Schalter schließen, haben wir eine schnelle Veränderung – $V_i$ wird plötzlich auf einmal angewendet. Der Kondensator wirkt wie ein Kurzschluss gegen Masse, also ist der Strom $V_i/R$ . Nach langer Zeit hat sich die Spannung stabilisiert und wir haben effektiv einen Gleichstromkreis. Der Kondensator wirkt wie ein offener Stromkreis, also $V = V_i$ und es fließt kein Strom.

Der Übergang zwischen diesen beiden Zuständen erfolgt in einem exponentiellen Zerfall. Das bedeutet, dass die Gleichung für V einen Term wie haben wird $e^{-t/\tau}$ , Wo $\tau$ (tau), die sogenannte "Zeitkonstante", bestimmt die Zerfallsrate. Bei t = 0 ist dieser Exponentialterm gleich 1. Bei t -> unendlich fällt der Exponentialterm auf 0 ab. Wir können dies verwenden, um eine Gleichung für V zu erhalten:

v = (F ich N A l C Ö N D ich T ich Ö N) - (D ich F F e R e N C e B e T w e e N F ich N A l A N D ich N ich T ich A l C Ö N D ich T ich Ö N S) * (e X P Ö N e N T ich A l T e R M)

$V = (final\ condition) - (difference\ between\ final\ and\ initial\ conditions) * (exponential\ term)$

Bei t = 0, wenn der Exponentialterm gleich 1 ist, ergibt sich:

v = (F ich N A l C Ö N D ich T ich Ö N) - (D ich F F e R e N C e B e T w e e N F ich N A l A N D ich N ich T ich A l C Ö N D ich T ich Ö N S) = (ich N ich T ich A l C Ö N D ich T ich Ö N)

$V = (final\ condition) - (difference\ between\ final\ and\ initial\ conditions) = (initial\ condition)$

Bei t = unendlich, wenn der Exponentialterm gleich 0 ist, ergibt sich:

v = (F ich N A l C Ö N D ich T ich Ö N) - 0 = (F ich N A l C Ö N D ich T ich Ö N)

$V = (final\ condition) - 0 = (final\ condition)$

In dieser Schaltung ist unsere Anfangsbedingung $V = 0$ . Unsere letzte Bedingung ist $V = V_i$ . Der Unterschied zwischen ihnen ist $V_i - 0 = V_i$ . Normalerweise müssten wir die Differentialgleichung lösen, um die Zeitkonstante zu erhalten $\tau$ , aber was das Buch uns sagt, ist, dass für eine RC-Schaltung, $\tau = RC$ . Jetzt können wir die letzte Gleichung schreiben:

v = v_{ich} - v_{ich} e^{- T / R C}

$V = V_i - V_ie^{-t/RC}$

Wenn die Anfangsbedingung Null ist (wie hier), können wir die Gleichung schreiben als:

v = (F ich N A l C Ö N D ich T ich Ö N) * (1 - (e X P Ö N e N T ich A l T e R M))

$V = (final\ condition) * (1 - (exponential\ term))$

was ergibt:

v = v_{ich} (1 - e^{- T / R C})

$V = V_i(1 - e^{-t/RC})$

Und genau das steht in dem Buch.

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