Ungleichmäßige Beschleunigung durch Gummiseil

Sie möchten sicherlich Ihre Bewegungsgleichung angesichts Ihres Ausdrucks der Kraft numerisch integrieren.

Ich gehe davon aus, dass die Masse$m$wird an einer Seite des Seils befestigt, während die andere Seite an einer Wand oder etwas befestigt wird, das sich während der Integration nicht bewegt. So etwas, wo die Feder eigentlich dein Seil ist, mit$x$die Verlängerung des Seils

Dann können Sie die Gleichung einfach integrieren (z. B. mit dem Euler-Schema).

$$\frac{d^2x}{dt^2} = \frac{F(x)}{m}$$ Hier ist ein Ruby-Code, den ich verwende, wenn ich eine numerische Lösung einer ODE in der Mechanik erhalten möchte:

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## Integration using Euler (mid-point) method knowing position x and speed xp=\dot{x}
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def integration(x,xp)
  dxp = force(x)*@dt
  dx  = (xp+dxp/2)*@dt
  return x+dx,xp+dxp
end


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## Force expression knowing position x
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def force(x)
  return -10*x
end


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## Effective integration loop
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@dt = 0.001  # time increment
t = 0  # initial time
x = 5  # initial position
xp= 0  # initial speed
10000.times do |i|
  t += @dt
  x,xp = integration(x,xp)
  puts "#{t}\t#{x}\t#{xp}"
end

Stecken Sie einfach Ihre Anfangsbedingungen ein und erzwingen Sie den Ausdruck Ihrer Messungen, und Sie haben sowohl Position als auch Geschwindigkeit im Laufe der Zeit (NB: Ich habe genommen$m=1$in meinem Code, aber Sie können den richtigen Wert an beliebiger Stelle in der integrationFunktion oder in der forceFunktion [die dann in "Beschleunigung" umbenannt werden soll]) hinzufügen.

Sie können es auch verfeinern, um über eine konstante Gesamtzeit zu integrieren und weniger Ergebnisse auszugeben, als Sie Integrationsschritte haben (Präzisionssteigerung mit kleineren Integrationsschritten, @dtaber es kann schwierig werden, zu zeichnen, wenn Sie eine Million Punkte haben, nur um bei der Integration präziser zu sein).

Wenn die Beschleunigung eine Funktion der Position ist, verwenden Sie Folgendes

$$a(x) = \frac{{\rm d}v}{{\rm d}t} = \frac{{\rm d}v}{{\rm d}x} \frac{{\rm d}x}{{\rm d}t} = \frac{{\rm d}v}{{\rm d}x} u$$

$$\int a(x)\,{\rm d} x = \int u\,{\rm d} u = \frac{1}{2} u^2 + K_1$$

was gelöst ist$u(x)$.

Die Position wird aus gefunden

$$t = \int \frac{1}{u(x)}\,{\rm d} x + K_2$$

was gelöst ist$x(t)$.

Beispiel

$$a(x) = A\,x^{b}$$ $$\int A\,x^{b}\,{\rm d} x = \frac{A}{b+1} \left( x^{b+1}-1\right) = \frac{1}{2} u^2 + K_1$$

Wenn$u=0$bei$x=0$Dann$K_1 = \mbox{-} \frac{A}{b+1}$oder

$$u(x) = \sqrt{\frac{2 A}{b+1} x^{b+1} }$$

Dann

$$t = \int \frac{1}{\sqrt{\frac{2 A}{b+1} x^{b+1} }}\,{\rm d} x + K_2 = \sqrt{ \frac{2(b+1)}{A (b-1)^2}} \left( x^{\mbox{-}\frac{b-1}{2}}-1\right) + K_2$$

und wann$x=0$,$t=0$Dann$K_2 = \sqrt{ \frac{2(b+1)}{A (b-1)^2}}$oder

$$t = \sqrt{ \frac{2(b+1)}{A (b-1)^2}} x^{\mbox{-}\frac{b-1}{2}}$$

$$x(t) = \left( \frac{t}{\sqrt{ \frac{2(b+1)}{A (b-1)^2}}}\right) ^{\mbox{-} \frac{2}{b-1}} = \left( \frac{A (b-1)^2}{2 (b+1)}\right)^{\mbox{-}\frac{1}{b-1}} \;t^\left({\mbox{-}\frac{2}{b-1}}\right)$$

Wenn Ihre Masse war$m=1$Dann$a=f(x)$im Diagramm u

$$x=1.397882\, t^{3.058906}$$