Unterschied zwischen dem Verhalten einer Sequenz und einer Funktion in Produkt- und Box-Topologie auf derselben Menge

ich werde schreiben$\square_{\alpha\in J}X_\alpha$für das Boxprodukt und$\prod_{\alpha\in J}X_\alpha$für das gewöhnliche Tikhonov-Produkt. Nehme an, dass$f:A\to\square_{\alpha\in J}X_\alpha$ist kontinuierlich. Die Box-Topologie ist feiner als die Tikhonov-Topologie, also automatisch$f$stetig als Funktion von ist$A$Zu$\prod_{\alpha\in J}X_\alpha$, und daher jede Komponentenkarte$\pi_\alpha\circ f$stetig als Funktion von ist$A$Zu$X_\alpha$.

Die Frage der konvergenten Folgen ist etwas komplizierter. Um triviale technische Schwierigkeiten zu vermeiden, gehen Sie davon aus$J$ist unendlich, und jeder$X_\alpha$ist ein$T_1$-Raum mit mindestens zwei Punkten. Lassen$X=\square_{\alpha\in J}X_\alpha$. Für$x=\langle x_\alpha:\alpha\in J\rangle,y=\langle y_\alpha:\alpha\in J\rangle\in X$lassen

Nehme an, dass$x=\langle x_\alpha:\alpha\in J\rangle\in X$Und$x^n=\langle x_\alpha^n:\alpha\in J\rangle\in X$für$n\in\Bbb N$, und das$\langle x^n:n\in\Bbb N\rangle$konvergiert zu$x$im Boxprodukt$X$; Ich behaupte, dass es eine gibt$m\in\Bbb N$und endlich$F\subseteq J$so dass$D(x^n,x)\subseteq F$für alle$n\ge m$.

Angenommen nicht; dann können wir wählen$n_0\in\Bbb N$und ein$\alpha_0\in J$so dass$x_{\alpha_0}^{n_0}\ne x_{\alpha_0}$. Nehme an, dass$m\in\Bbb N$, und für$k=0,\dots,m$wir haben gewählt$n_k\in\Bbb N$Und$\alpha_k\in J$Sodass$n_0<\ldots<n_m$,$x_{\alpha_k}^{n_k}\ne x_{\alpha_k}$, und die Indizes$\alpha_0,\dots,\alpha_m$sind alle verschieden. Nach Hypothese gibt es keine$\ell\in\Bbb N$so dass$D(x^i,x)\subseteq\{\alpha_0,\dots,\alpha_m\}$für alle$i\ge\ell$, also gibt es eine$n_{m+1}\in\Bbb N$und ein$\alpha_{m+1}\in J\setminus\{\alpha_0,\dots,\alpha_m\}$so dass$n_{m+1}>n_m$Und$x_{\alpha_{m+1}}^{n_{m+1}}\ne x_{\alpha_{m+1}}$. Auf diese Weise konstruieren wir rekursiv$\{n_k:k\in\Bbb N\}\subseteq\Bbb N$Und$A=\{\alpha_k:k\in\Bbb N\}\subseteq J$so dass$\langle n_k:k\in\Bbb N\rangle$nimmt streng zu,$x_{\alpha_k}^{n_k}\ne x_{\alpha_k}$für jede$k\in\Bbb N$, und wenn$k,\ell\in\Bbb N$mit$k\ne\ell$, Dann$\alpha_k\ne\alpha_\ell$.

Für jede$k\in\Bbb N$lassen$U_{\alpha_k}$sei ein offenes nbhd von$x_{\alpha_k}$das enthält nicht$x_{\alpha_k}^{n_k}$, und für$\alpha\in J\setminus A$lassen$U_\alpha=X_\alpha$. Lassen$U=\square_{\alpha\in J}U_\alpha$; deutlich$U$ist ein offener nbhd von$x$In$X$. Allerdings für jeden$k\in\Bbb N$wir haben$x_{\alpha_k}^{n_k}\notin U_{\alpha_k}$und daher$x^{n_k}\notin U$. Also die unendliche Teilfolge$\langle x^{n_k}:k\in\Bbb N\rangle$von$\langle x^k:k\in\Bbb N\rangle$liegt ganz draußen$U$, Und$\langle x^k:k\in\Bbb N\rangle$kann nicht konvergieren$x$.

Wenn es eine gibt$m\in\Bbb N$und endlich$F\subseteq J$so dass$D(x^n,x)\subseteq F$für alle$n\ge m$, Dann$\langle x^k:k\in\Bbb N\rangle$konvergiert zu$X$iff$\langle\pi_F(x^k):k\in\Bbb N\rangle$konvergiert zu$\pi_F(x)$, Wo$\pi_F:X\to\prod_{\alpha\in F}X_\alpha$ist die kanonische Projektionskarte. (Seit$F$ist endlich, die Box und Tikhonov-Topologien auf$\prod_{\alpha\in F}X_\alpha$sind gleich.)

Dieses Ergebnis lässt sich wie folgt formulieren:$\langle x^k:k\in\Bbb N\rangle$konvergiert zu$x$wenn es eine gibt$m\in\Bbb N$und endlich$F\subseteq J$so dass

1. $x_\alpha^k=x_\alpha$für alle$k\ge m$Und$\alpha\in J\setminus F$, Und
2. für jede$\alpha\in F$,$\langle x_\alpha^k:k\in\Bbb N\rangle$konvergiert zu$x_\alpha$In$X_\alpha$.

Die Boxtopologie ist feiner als die Produkttopologie; Daher ist es für eine Funktion in einem Kastentopologieraum schwieriger, kontinuierlich zu sein als für die "gleiche" Funktion in den entsprechenden Produkttopologieraum. (Für Funktionen außerhalb der Räume ist es einfacher, wenn die Box-Topologie-Version kontinuierlich ist.)

Lassen Sie zum Beispiel$A=\mathbb R$Und$X_\alpha=A$für alle$\alpha$, und definieren$f\colon A \to \prod A$sein$f(a) = (a,a,a,\dots)$. Dann$f$ist in der Box-Topologie eigentlich nicht durchgehend, obwohl jede Komponentenfunktion eindeutig ist. (Betrachten Sie das umgekehrte Bild der offenen Menge$(-1,1) \times (-\frac12,\frac12) \times (-\frac13,\frac13) \times \cdots$.)

Ebenso die Reihenfolge$\{x^n\}$Wo$x^n = (\frac1n,\frac1n,\frac1n,\dots)$konvergiert nicht zu$(0,0,0,\dots)$in der Box-Topologie.