Unterschied zwischen Hypotenuse und größerem Bein in einem pythagoreischen Tripel

Wie im Pythagoreischen Tripel für ganze Zahlen erklärt$m \gt n \gt 0$, Euklids Formel von

$$a = m^2 - n^2, \; \; b = 2mn, \; \; c = m^2 + n^2 \tag{1}\label{eq1A}$$

erzeugt insbesondere alle primitiven (dh irreduziblen) pythagoreischen Tripel

Jedes primitive Tripel entsteht (nach dem Austausch von$a$Und$b$, Wenn$a$gerade ist) aus einem eindeutigen Paar teilerfremder Zahlen$m$,$n$, von denen einer gerade ist.

Notiz$\eqref{eq1A}$ergibt sich

$$c - a = (m^2 + n^2) - (m^2 - n^2) = 2n^2 \tag{2}\label{eq2A}$$

$$c - b = (m^2 + n^2) - 2mn = (m - n)^2 \tag{3}\label{eq3A}$$

In Bezug auf Ihren zweiten Teil, um Verwirrung zu vermeiden$n$oben nennen wir die Werte$k^2$Und$2k^2$stattdessen. Mit dem ersten verwendet es$\eqref{eq3A}$So$k = m - n$. Da jedoch einer von$m$Und$n$gerade und der andere ungerade ist, ist ihre Differenz ungerade, also nur ungerade$k$wird funktionieren. Für solche$k$, Satz$n = k + 1$Und$m = 2k + 1$(Notiz$m$Und$n$sind teilerfremd, mit$n$sogar) zu bekommen

$$m^2 - n^2 = (4k^2 + 4k + 1) - (k^2 + 2k + 1) = 3k^2 + 2k \tag{4}\label{eq4A}$$

$$2mn = 2(2k + 1)(k + 1) = 2(2k^2 + 3k + 1) = 4k^2 + 6k + 2 \tag{5}\label{eq5A}$$

Das zeigt$2mn \gt m^2 - n^2$, So$2mn$ist das längere Bein. Somit würde sich der Unterschied ergeben$\eqref{eq3A}$.

Für die$2k^2$Fall wählen$n = k$Und$m = 3k + 1$(Notiz$m$Und$n$sind teilerfremd, mit einem von ihnen sogar). Deshalb,

$$m^2 - n^2 = (9k^2 + 6k + 1) - k^2 = 8k^2 + 6k + 1 \tag{6}\label{eq6A}$$

$$2mn = 2(3k + 1)k = 6k^2 + 2k \tag{7}\label{eq7A}$$

Das heisst$m^2 - n^2 \gt 2mn$, So$m^2 - n^2$ist das längere Bein. Somit würde sich der Unterschied ergeben$\eqref{eq2A}$.

Gegenbeispiel ist$(9, 12, 15)$.

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Zusätzlich zum Übersehen des 2. Teils der OP-Frage, wie in meiner 2. Bearbeitung (unten) angegeben, habe ich auch übersehen, dass er sich im ersten Teil der OP-Frage (auch) speziell auf irreduzible pythagoreische Drillinge konzentriert.

Ich habe mit irreduziblen pythagoreischen Tripeln gearbeitet

Wenn jedoch angenommen wird, dass das pythagoreische Triplett nicht reduzierbar ist, wird das Problem durch diesen Artikel vollständig gelöst , der darauf hinweist, dass das Produkt entweder eine Form haben wird

$[(m^2 + n^2) - (m^2 - n^2)] = 2n^2$

oder Form haben

$[(m^2 + n^2) - (2mn)] = (m - n)^2.$

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Nachdem ich die Antwort von John Omielan gelesen und dann die Frage erneut gelesen hatte, stellte ich fest, dass meine Antwort unvollständig ist . Es macht jedoch keinen Sinn, meine Antwort zu vervollständigen, da die Antwort von John Omielan genau denselben Bereich abdeckt.

Wir haben$a^2+b^2=c^2$, somit$(c-b)(c+b)=a^2$. Da das Tripel irreduzibel ist, ist der ggT von$c-b$Und$c+b$ist höchstens$2$: jeder Teiler von beiden$c-b$Und$c+b$müsste auch ein Teiler von sein$(c+b)-(c-b)=2b$, Und$GCD(c-b, b)=GCD(c+b,b)=GCD(b,c)=1$. Also können wir folgendes über sagen$c-b$Und$c+b$:

• Das Produkt dieser beiden Zahlen ist ein Quadrat. Das heißt, die Potenz jedes Primfaktors ihres Produkts ist gleich.
• Die beiden Zahlen haben keine Primfaktoren gemeinsam, außer evtl.$2$.

Das bedeutet, mit einer möglichen Ausnahme von$2$, die Macht jedes Primfaktors von beiden$c-b$Und$c+b$ist gerade. Wenn die Zahlen ungerade sind (ihr GCD ist 1), gilt dasselbe für$2$(seine Macht ist$0$), also ist jeder von ihnen ein perfektes Quadrat. Wenn die Zahlen gerade sind (ihr ggT ist 2), teilen Sie beide durch$2$zuerst, und dann in ähnlicher Weise daraus schließen$(c-b)/2$ebenso gut wie$(c+b)/2$ist ein Quadrat.

Finden Sie für den zweiten Teil der Frage einfach eine Lösung für beide$c-b=n^2$oder$c-b=2n^2$für eine Willkür$n$. Vor allem die Dreier$(n^2+2n, 2n+2, n^2+2n+2)$Und$(2n^2+2n, 2n+1, 2n^2+2n+1)$jeweils die Bedingung erfüllen.

Beachten Sie jedoch, dass für gerade$n$es gibt keine irreduziblen Tripel mit$c-b=n^2$: seit$c+b$muss ein Quadrat mit der gleichen Parität sein, beide$c-b$Und$c+b$sind teilbar durch$4$, Dann$2b=(c+b)-(c-b)$Und$2c=(c+b)+(c-b)$sind teilbar durch$4$, was bedeutet$b$,$c$, und folglich$a$sind alle gleich.

Wenn wir das Übliche ersetzen$(m,n)$der Formel von Euklid mit$(2n-1+k,k)$, wir bekommen

$$\begin{align*} A=(2n-1)^2+ & 2(2n-1)k \\ B= \qquad\quad\quad & 2(2n-1)k+ 2k^2\\ C=(2n-1)^2+ & 2(2n-1)k+ 2k^2\\ \end{align*}$$ was die meist primitive Tabelle der pythagoreischen Tripel unten erzeugt. Beachten Sie, dass die Hälfte aller Tripel haben$A>B$und die Hälfte haben$B>A$.

$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|} n & k=1 & k=2 & k=3 & k=4 & k=5 \\ \hline Set_1 & 3,4,5 & 5,12,13& 7,24,25& 9,40,41& 11,60,61 \\ \hline Set_2 & 15,8,17 & 21,20,29 &27,36,45 &33,56,65 & 39,80,89 \\ \hline Set_3 & 35,12,37 & 45,28,53 &55,48,73 &65,72,97 & 75,100,125 \\ \hline Set_{4} &63,16,65 &77,36,85 &91,60,109 &105,88,137 &119,120,169 \\ \hline Set_{5} &99,20,101 &117,44,125 &135,72,153 &153,104,185 &171,140,221 \\ \hline Set_{6} &43,24,145 &165,52,173 &187,84,205 &209,120,241 &231,160,281 \\ \hline \end{array}$$

Aus der Formel können wir das sehen$\quad C-A=2k^2\quad$und das$\quad C-B=(2n-1)^2.\quad$Im ersten Fall ist es das Doppelte des Quadrats einer natürlichen Zahl und im zweiten Fall ist es eine ungerade Zahl zum Quadrat.