Unterschied zwischen schrägen Indizes auf einem Tensor

Jeder der Indizes in einem Tensor hat eine bestimmte Links-Rechts-Ordnung. Diese Reihenfolge kann nicht geändert werden, es sei denn, der Tensor hat eine bestimmte Symmetrie, die dies zulässt (oder vielmehr unterschiedliche Komponenten beim Austausch gleichsetzt).

Die Aufwärts-Abwärts-Positionen von Indizes geben Aufschluss darüber, ob der Index mit der Verwendung eines Basisvektors (nach oben) oder eines Basis-Covektors (nach unten) für diesen Index verbunden ist, um die Extraktion der Komponente zu unterstützen. Lassen$v$ein Ein-Index-Tensor sein.$v^a$sind die Komponenten, die einem Satz von Basisvektoren zugeordnet sind$e_{(a)}$, Und$v_a$sind die Komponenten, die einem Satz von Basis-Covektoren zugeordnet sind$e^{(a)}$. Allgemein,$v_a \neq v^a$für ein beliebiges Koordinatensystem. Jedem Index können Basisvektoren oder Basiscovektoren zugeordnet werden, und wir müssen nicht für alle Indizes eines Tensors dieselben Arten von Basiselementen verwenden.

In einem Raum mit einer Metrik können wir zwischen der Verwendung von Basisvektoren und Basiskovektoren hin und her konvertieren, um Komponenten von Tensoren zu extrahieren (wir können Indizes mehr oder weniger nach Belieben erhöhen oder verringern), sodass wir dazu neigen, alle diese Kombinationen von up- Down-Indizes mit demselben inhärenten Objekt. Ob ein bestimmter Index in einer bestimmten Situation hoch oder niedrig ist, hängt jedoch davon ab, was für die Verwendung bequem oder notwendig ist.

Bearbeiten: Genau genommen hat das Schreiben eines indizierten Objekts mit zwei übereinander aufgereihten Indizes keine wirkliche Bedeutung. Trotzdem tun Physiker dies zum Beispiel häufig für Christoffel-Symbole - es ist relativ selten, dass sie auf andere Weise als als verwendet werden$\Gamma^a_{bc}$. Wenn es jedoch um den Riemann-Tensor oder ähnliche Objekte geht, ist es am besten, sich vorzustellen, dass jeder Index eine ganze Spalte belegt – nichts anderes sollte über oder unter diesen Index kommen, damit er sich frei nach oben oder unten bewegen kann mit der Metrik kontrahiert.

Ein einfacher Weg, um zu sehen, dass sie unterschiedlich sind, besteht darin, zu überlegen, was passiert, wenn alle Indizes erhöht (oder gesenkt) werden.

Zum Beispiel beim Absenken

Sie müssen die Indizes "schräg stellen", um beim Absenken und Anheben die richtige Reihenfolge zu verfolgen. Zum Beispiel, wenn Sie nur schreiben$T_{ab}^{cde}$, und Sie senken den Index$c$, was ist der richtige Tensor:$T_{acb}^{de}$,$T_{cab}^{de}$, oder$T_{abc}^{de}$? Die Notation ist mehrdeutig, wenn Sie Ihre Indizes nicht "schräg" stellen.