Unterschiede zwischen reinen/gemischten/verschränkten/trennbaren/überlagerten Zuständen

Ich versuche derzeit, ein klares Bild von reinen/gemischten/verschränkten/trennbaren/überlagerten Zuständen zu erstellen. Im Folgenden gehe ich immer von einer Basis aus | 1 ⟩ und | 0 ⟩ für meine Quantensysteme. Das ist, was ich bisher habe:

  • überlagert: Eine Überlagerung zweier Zustände, die ein System bilden EIN besetzen kann, also 1 2 ( | 0 ⟩ EIN + | 1 ⟩ EIN )
  • trennbar: | 1 ⟩ EIN | 0 ⟩ B Ein Zustand heißt separabel, wenn er ein Element der (Tensor-)Produktbasis des Systems ist EIN und B (für alle möglichen Basenwahlen)
  • verstrickt: 1 2 ( | 0 ⟩ EIN | 1 ⟩ B + | 1 ⟩ EIN | 0 ⟩ B ) ist kein Zustand innerhalb der Produktbasis (wiederum für alle möglichen Basen).
  • Mischzustand: Ist eine statistische Mischung, also zB | 1 ⟩ mit Wahrscheinlichkeit 1 / 2 und | 0 ⟩ mit Wahrscheinlichkeit 1 / 2
  • Reinzustand: Kein Mischzustand, keine statistische Mischung

Ich hoffe, dass die obigen Beispiele und Klassifizierungen korrekt sind. Wenn nicht, wäre es toll, wenn Sie mich korrigieren könnten. Oder fügen Sie weitere Fälle hinzu, falls diese Liste unvollständig ist.

Auf Wikipedia habe ich über Quantenverschränkung gelesen

Anders ausgedrückt: Während die von Neumann-Entropie des gesamten Zustands Null ist (wie bei jedem reinen Zustand), ist die Entropie der Teilsysteme größer als Null.

was vollkommen in Ordnung ist. Ich habe jedoch auch auf Wikipedia ein Kriterium für gemischte Zustände gelesen :

Ein anderes, äquivalentes Kriterium ist, dass die von Neumann-Entropie für einen reinen Zustand 0 und für einen gemischten Zustand streng positiv ist.

Bedeutet dies also, dass, wenn ich mir die Subsysteme eines verschränkten Zustands anschaue, sie sich in einem gemischten Zustand befinden? Klingt seltsam... Was wäre in diesem Fall die statistische Mischung?

Außerdem wollte ich auch fragen, ob Sie weitere anschauliche Beispiele für die verschiedenen Zustände haben, die ich oben versucht habe zu beschreiben. Oder irgendwelche gefährlichen Fälle, wo man den einen Zustand für den anderen halten könnte?

Ich denke, die Spur bleibt auch nach einer einheitlichen Transformation gleich. Wenn es also auf der Schmidt-Basis wahr ist, dann ist es auch auf der anderen Basis wahr.
Der beispielhafte "überlagerte" Zustand sollte |0>+|1> statt |1>+|1> sein, richtig? So wie es ist, wäre es nicht normalisiert: Seine quadrierte Norm wäre 2, da Sie einfach die beiden gleichen Zustände zusammenzählen könnten.
Völlig richtig, danke, dass du das aufgefangen hast. Ich habe es gerade korrigiert

Antworten (1)

Ja, Subsysteme eines verschränkten Zustands – wenn dieses Subsystem mit dem Rest verschränkt ist – befinden sich immer in einem gemischten Zustand oder "statistischen Gemisch", das in Ihrer Diskussion (oder anderswo) als Synonym verwendet wird.

Wenn wir nur an Vorhersagen für ein Subsystem interessiert sind EIN in einem System bestehend aus EIN , B , dann EIN wird durch eine Dichtematrix beschrieben ρ EIN berechenbar durch "Überfahren" der Indizes des Hilbertraums für B :

ρ EIN = T r ich b ρ EIN B
Beachten Sie, dass, wenn das gesamte System EIN B ist in einem reinen Zustand,
ρ EIN B = | ψ EIN B ⟩ ⟨ ψ EIN B |
Wenn ψ EIN B ist ein verschränkter, dh nicht trennbarer Zustand, dh wenn er nicht geschrieben werden kann als | ψ EIN ⟩ ⊗ | ψ B ⟩ für beliebige Staaten | ψ EIN ⟩ und | ψ B ⟩ , dann hat die Rückverfolgung den Effekt, dass alle Begriffe ausgewählt werden | ψ EIN B ⟩ , vergessen über ihre Abhängigkeit von der B Freiheitsgrade und schreiben ihre Wahrscheinlichkeiten auf die Diagonale von ρ EIN B . Deshalb wird die von Neumann-Entropie ungleich Null sein – die Dichtematrix wird eine Diagonale in einer Basis sein und es wird mindestens zwei Einträge geben, die beides nicht sind 0 Noch 1 .

Nehmen Sie ein System aus zwei Qubits. Wir haben Qubits EIN und Qubit B . Es gibt 4 natürliche Basisvektoren für die beiden Qubits, | 00 ⟩ , | 01 ⟩ , | 10 ⟩ , und | 11 ⟩ wobei sich die erste Ziffer auf den Wert von bezieht EIN und die zweite Ziffer zu B . Ein allgemeiner reiner Zustand ist eine Überlagerung dieser vier Zustände mit vier Koeffizienten a EIN B wo EIN , B sind 0 , 1 , angepasst an die entsprechenden Werte.

Wenn a EIN B kann geschrieben werden als β EIN γ B dh so faktorisiert ist der reine Zustand separabel. | 01 ⟩ ist z.B. trennbar. Ist dies nicht der Fall, ist es verstrickt. Zum Beispiel, | 00 ⟩ + | 11 ⟩ ist nicht trennbar, also verschränkt.

Der gemischte Zustand ist ein allgemeinerer Zustand als ein reiner Zustand. In diesem Fall ist es gegeben durch a 4 × 4 Hermitische Matrix ρ . Die Matrixeinträge sind ρ EIN B , EIN ' B ' wobei sich die nicht gestrichenen und gestrichenen Indizes auf die Werte von Qubits beziehen EIN B in den Bra- bzw. Ket-Vektoren. Wenn diese Matrixeinträge faktorisiert werden können

ρ EIN B , EIN ' B ' = a EIN B ∗ a EIN ' B '
für einige Koeffizienten a EIN ' B ' und ihre komplexen Konjugate, die einen reinen Zustand spezifizieren | ψ EIN B ⟩ , dann die Dichtematrix ρ entspricht dem reinen Zustand | ψ EIN B ⟩ und wir sagen, dass sich das System in einem reinen Zustand befindet. Im allgemeineren Fall ρ kann nicht als dieses faktorisierte Produkt geschrieben werden, sondern nur als Summe ähnlicher Produkte. Wenn Sie mindestens zwei solche Begriffe schreiben müssen ρ , dann ist der Zustand gemischt und die von Neumann-Entropie daher ungleich Null.

Wenn ψAB ein verschränkter, dh nicht separierbarer Zustand ist, dh wenn er für beliebige Zustände |ψA⟩ und |ψB⟩ nicht als |ψA⟩⊗|ψB⟩ geschrieben werden kann, dann hat die Verfolgung den Effekt, dass alle Terme in |ψAB herausgepickt werden ⟩, ihre Abhängigkeit von den B Freiheitsgraden vergessen und ihre Wahrscheinlichkeiten auf die Diagonale von ρA schreiben.- Gilt das nicht nur in der (Schmidt-Zerlegung für ψAB) Basis?
Könnten Sie vielleicht ergänzen (z. B. in einer kleinen Tabelle), welche der Eigenschaften (Verschränkung, Trennbarkeit, Reinheit und Vermischtheit eines Zustands) gleichzeitig auftreten können/einander ausschließen? Können wir beim Verfolgen über B auch einen gemischten Zustand erhalten, wenn ein reiner Zustand AB trennbar ist?
Lieber @wondering, was die letzte Frage betrifft, bedeutet ein "gemischter Zustand" normalerweise "die Dichtematrix", jede Dichtematrix, und es ist die allgemeinste Beschreibung eines physikalischen Systems in der Quantenmechanik. Also kann alles in einem gemischten Zustand sein. „Mischzustand“ im engeren Sinne ist nur ein Zustand, der nicht als reiner Zustand psi geschrieben werden kann. Und die Dichtematrix für ein Subsystem eines Systems in einem trennbaren Zustand ist rein, nicht gemischt.
Was Ihre Kompatibilität betrifft, sind „rein“ und „gemischt“ genau entgegengesetzt, vorausgesetzt, ich verwende die „engere“ Interpretation des Wortes „gemischt“. Außerdem sind "verschränkt" und "trennbar" einander entgegengesetzt. Man kann keine direkten Äquivalenzen zwischen Wörtern in der Gruppe „rein gemischt“ und denen in der Gruppe „trennbar verschränkt“ herstellen, da die ersten Wörter für beliebige physikalische Systeme gelten, während letztere nur für zusammengesetzte Systeme gelten.
Aber solange wir zusammengesetzte Systeme und ihre Teile diskutieren und davon ausgehen, dass sich das zusammengesetzte System in einem reinen Zustand befindet, sind die Teilsysteme genau dann im reinen Zustand, wenn sich das zusammengesetzte System in einem trennbaren Zustand befindet, und die Teilsysteme in einem gemischten Zustand geben genau an, wann sich das Verbundsystem in einem nicht trennbaren, dh verschränkten Zustand befindet. Diese Wörter haben also enge Beziehungen, aber Sie müssen die Adjektive mit verschiedenen Systemen in Verbindung bringen, entweder dem gesamten zusammengesetzten System oder nur einem Teil.
Ich kann mir nicht vorstellen, wie eine Tabelle aufschlussreicher sein könnte als die detaillierte Erklärung, die ich Ihnen noch einmal gebe. Die Antwort ist nicht das Auswendiglernen einer dummen Binärtabelle und Sie können im Grunde nichts von der Quantenmechanik verstehen, wenn Sie glauben, dass sie sich auf solche Tabellen reduziert. Auch wenn Sie die Beziehungen, die ich erkläre, in einer Tabelle organisiert haben, seien Sie mein Gast, müssen Sie immer noch darauf achten, welchen Substantiven die Adjektive zugeordnet sind, und Sie sollten immer noch wissen, was die Wörter auf der Ebene des Hilbert-Raums mathematisch bedeuten und wie man sie herleitet Tabelle, sonst ist Ihr Wissen falsch
+1 Gute Antwort. Es wäre hilfreich, wenn Sie auch diskutieren würden, wie gekoppelte Zustände in dieses Bild fallen. Es ist leicht, sich zu verheddern, zu vermischen, zu überlagern und durcheinander zu bringen.
Danke, Kopplung ist eine Verbindung zwischen Freiheitsgraden, wie eine Wechselwirkung zwischen Feldern, die aufgrund eines kubischen Terms im Lagrange oder höher existiert. Es ist also ein Aspekt der Gesetze der Physik, kein bestimmter Zustand.
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