„Vektoren sind eigentlich keine Zahlen“ – wie stichhaltig ist diese Aussage?

Soweit es um Addition und Subtraktion geht, verhalten sich Vektoren genau wie jeder Begriff von Zahl, den Sie benennen möchten. Aber die elementweise Multiplikation ist kniffliger: Das Problem der Division durch Null wird zum Beispiel komplizierter für die Division durch Vektoren mit beliebigem Nulleintrag. Genauer gesagt gibt es weniger Anwendungen für die elementweise Multiplikation als für das Punkt- und Kreuzprodukt. Letztere haben eine physikalische und geometrische Bedeutung, die ersteren fehlt. Das ist der wichtigste Grund, warum wir sie häufiger verwenden.

Im Allgemeinen sollte sich das Wort „Zahl“ nicht auf ein einzelnes Objekt beziehen, sondern auf eine Menge. Dann könnten Sie sagen, dass die Menge eine Menge von "Zahlen" ist, wenn Sie zwei beliebige Elemente der Menge addieren und multiplizieren können, um ein drittes Element der Menge zu erhalten, wobei bestimmte Beziehungen (Distributivität, Assoziativität usw.) erfüllt werden. Beachten Sie, dass diese Definition davon abhängt, dass zwei Zahlen in der Menge hinzugefügt werden können, weshalb kein einzelnes Element der Menge ohne Bezugnahme auf die umgebende "Zahlenmenge" wirklich als Zahl bezeichnet werden kann. Als solches ist eine so "definierte" Zahlenmenge wirklich nur ein Ring (oder, wenn es besonders schön ist, ein Feld).

Ebenso sollte sich das Wort "Vektor" nicht auf ein einzelnes Objekt beziehen, sondern wiederum auf eine Menge. Das heißt, eine Menge ist ein "Vektorraum" über einem Feld$K$wenn es die Axiome eines Vektorraums erfüllt (siehe die Wikipedia-Definition des Vektorraums).

Beachten Sie, dass ein Feld$K$selbst erfüllt die Axiome eines Vektorraums und damit Elemente von$K$können sowohl als Zahlen als auch als Vektoren betrachtet werden. Dies wird besonders nützlich bei der Untersuchung von Felderweiterungen$L/K$, wo jetzt$L$ist ein mehrdimensionaler Vektorraum vorbei$K$, also Elemente von$L$sind sowohl Zahlen als auch Vektoren.

Wie auch immer, die Antwort auf Ihre Frage lautet meines Erachtens, dass die typischen Definitionen / Begriffe von Zahlen und Vektoren einfach unterschiedlich sind . Ein Ring ist manchmal ein Vektorraum (wenn er ein Feld enthält) und ansonsten nicht. Ebenso ist ein Vektorraum im Allgemeinen kein Ring / Feld, da Sie Vektoren nicht immer multiplizieren können, einige Vektorräume jedoch. Mit anderen Worten, Zahl vs. Vektor ist nicht wie der Unterschied zwischen Apfel und Orange. Zahlen vs. Vektoren sind eher wie „große Menschen“ vs. „dünne Menschen“. Jemand kann groß, dünn, beides oder keines sein.

Ihre Frage erwähnt Addition und Subtraktion und zeigt Analogien zwischen Addition und Subtraktion von Zahlen einerseits und Addition und Subtraktion von Vektoren andererseits.

Aber wie allgemein verstanden, haben Zahlen mehr Operationen und Beziehungen als nur Addition und Subtraktion. Zum Beispiel haben Zahlen eine binäre Ordnungsbeziehung, und die Ordnung gehorcht Gesetzen wie

1. $a<b$Und$b<c$impliziert$a<c$
2. $a<b$impliziert$a+c<b+c$

Vektoren haben im Allgemeinen keine solche Ordnungsbeziehung. Vektoren sind also nicht wirklich Zahlen.

Eine Möglichkeit zu erkennen, dass Vektoren „Zahlen sind“, besteht darin, die Entwicklung des Konzepts zu verfolgen – oder man könnte sagen, seine Genealogie, die keine genaue Geschichte vorgibt, sondern mathematische Bedeutung artikuliert.

Ausgehend von den positiven ganzen Zahlen kann man sie nun unter Addition schließen, um die ganzen Zahlen zu erhalten; und dann unter Multiplikation, um die rationalen Zahlen zu erhalten - aber das hat "Lücken"; daher vervollständigen wir sie, indem wir die irrationalen Zahlen einbeziehen, die uns die reellen Zahlen liefern.

Jetzt betreten wir das Reich der Geometrie, indem wir beobachten, dass dies nur die (echte) gerade Linie ist, aber es gibt geometrische Objekte wie Ebenen und Volumen, von denen wir den Begriff der Dimension entdecken; und somit 'vervollständigen' wir nach Dimension, um den Begriff eines n-dimensionalen Vektorraums zu erhalten.

Es ist erwähnenswert, dass das innere oder Skalarprodukt auf offensichtliche Weise auf beliebige Dimensionen verallgemeinert werden kann; aber das Kreuzprodukt nicht, zumindest nicht direkt; Das richtige Konzept, das dies ersetzt, ist das Keilprodukt.

Vektoren sind keine Zahlen, die Unterschiede sind viel wichtiger als Ähnlichkeiten.

• Vektoren stellen keine Größen wie Zahlen dar, sondern Richtungen. Während Mathematiker Vektoren abstrakter als beliebige Zahlenreihen ( Tupel ) definieren, sind Physiker strenger: Jede Komponente eines Vektors hat die gleiche Dimension und man kann einen Vektor verschieben (übersetzen und drehen), indem man Rotations- und Translationsmatrizen anwendet ( diese sind zweidimensionale Objekte, man kann sie auch als Vektoren von Vektoren sehen). Eine Zahl ist dimensionslos, Sie können damit keine Richtungen oder Drehungen modellieren.

• Du kannst nicht durch einen Vektor dividieren. Was als Multiplikation für Zahlen bezeichnet wird, ist Skalierung für Vektoren, und weil wir diesen Richtungs-/Rotationsteil haben, gibt es Operationen namens "Multiplikation", die dies genau modellieren. (Ich füge das Vier-Vektor-Produkt hier nicht hinzu).

  • Skalarprodukt : Sie haben zwei Vektoren und möchten wissen, ob sie in die gleiche Richtung zeigen. Die Anwendung des Skalarprodukts ergibt eine Zahl (!) als Ergebnis zweier Vektoren und gibt einen Wert im Bereich von -(Vektorlänge) bis (Vektorlänge) zurück. Wenn es 0 ist, sind die beiden Vektoren senkrecht; dies ist auch ein Fall, der sich von Zahlen unterscheidet. Wenn weder a noch b Null ist, dann kann a*b nicht Null sein, wenn a und b Zahlen sind; Dies ist bei Vektoren nicht der Fall. Es ermöglicht auch, dass eine Matrix mit einem Vektor multipliziert werden kann, um eine Matrix zu erhalten.

  • Kreuzprodukt : Sie haben zwei Vektoren und möchten einen Vektor haben, der senkrecht zu den gegebenen zwei Vektoren steht. Die Länge des resultierenden Vektors hängt davon ab, wie senkrecht die beiden Vektoren selbst sind. Stehen sie senkrecht aufeinander, dann ist die Länge das Produkt ihrer Längen, sind sie gleich, verschwindet der resultierende Vektor (logisch: Es gibt keine mögliche Rechtwinkligkeit mehr).

  • Dyadisches Produkt : Erzeugt eine Matrix aus zwei Vektoren. Eine Erklärung, was es tut, wäre langwierig. Überhaupt keine Zahlen beteiligt, also nicht interessant.

Was wirklich interessant ist: Wenn Sie Zahlen kombinieren, ist das Ergebnis immer nicht definiert oder selbst eine Zahl. Anders bei Vektoren: Das Ergebnis kann eine Zahl, ein Vektor oder eine Matrix sein.

Der Grund, warum Sie diese Ähnlichkeiten bemerken, ist, dass viele dieser Strukturen algebraisch sind, Vektoren unter Addition eine Gruppe wie normale Zahlen und sogar ein Ring mit Vektorprodukt sind. Eine wichtige Sache ist jedoch, dass die Multiplikation mit einem Skalar in Vektorräumen nur zu Modulen gehört, während Zahlen keine Module sind.

Ein weiteres Beispiel für etwas, das „wie eine Zahl“ ist, ist Symmetrie. Nehmen Sie ein gleichseitiges Dreieck und sehen Sie sich an, wie diese Symmetrien zusammengesetzt werden können. Dies ist assoziativ und hat eine Null, wie Zahlen, aber auch Unterschiede zwischen Zahlen. Im Allgemeinen gibt es viele Dinge wie Zahlen (die in der abstrakten Algebra betrachtet werden), aber keine sogenannten Zahlen.