Verallgemeinerte Koordinaten finden, wenn der Satz über implizite Funktionen fehlschlägt

Im Allgemeinen, wenn ein Satz von Koordinaten gegeben ist$x_1,\ldots,x_N$unter einer Reihe von$h=N-n$holonome Beschränkungen der Form$F_j(x_1,\ldots,x_N)=0$, können Sie keine Teilmenge finden$x_1,\ldots,x_n$Ihrer ursprünglichen Koordinaten, die global als verallgemeinerte Koordinaten funktionieren: Der Satz über implizite Funktionen sagt Ihnen, dass Ihnen lokal eine solche Teilmenge garantiert ist, aber im Allgemeinen wird diese Teilmenge nicht überall funktionieren.

Das ist sozusagen der Hauptgrund, warum wir mit verallgemeinerten Koordinaten arbeiten$q_1,\ldots,q_n$, weil sie es uns ermöglichen, den verfügbaren Konfigurationsraum so neu zu parametrisieren, dass weniger Koordinatendiagramme erforderlich sind. Aber selbst diese sind keine vollständige Lösung, da die Beschränkungen im Allgemeinen den verfügbaren Koordinatenraum als eine Mannigfaltigkeit definieren , die möglicherweise zwei oder mehr Diagramme in ihrem minimalen Atlas erfordert , dh Ihnen wird niemals die Existenz eines Satzes von Koordinaten garantiert, der dies tun wird global arbeiten. Einige Beispiele:

• Ein Teilchen in einer Ebene, die auf den Einheitskreis beschränkt ist, wird am besten über den Polarwinkel parametrisiert, aber selbst das ist nicht perfekt (es kann die Periodizität wörtlich genommen nicht reproduzieren).
• Für etwas, bei dem klarer ist, dass Koordinatenpatches einfach nicht funktionieren, betrachten Sie zB ein Partikel in 3D, das auf die Oberfläche eines Doppeltorus beschränkt ist : Ein einzelnes Koordinatenpatch wird einfach nicht in der Lage sein, mit der Nicht-Null - Gattung der Oberfläche fertig zu werden.

Aus diesem Grund arbeitet die analytische Mechanik, wenn sie richtig gemacht wird (wie zB im Stil von VI Arnol'd ), abstrakt mit dem Konfigurationsraum als Mannigfaltigkeit und erkennt an, dass Koordinatenflecken immer nur lokal sein können – und das ist in Ordnung. Das bedeutet, dass Sie überall dort, wo Ihr Konfigurationsraum eine regelmäßige Mannigfaltigkeit ist, immer ein Diagramm finden können, das funktioniert, und Sie können die Dynamik dort explizit koordinatenabhängig lösen. Wenn die Lösung über den Rand des Diagramms hinauswandert, können Sie immer ein separates Diagramm verwenden, in dem die Dinge in Ordnung sind.

Bei Ihrer Konfiguration müssen Sie jedoch nicht besonders ausgefallen sein, da die Kerntopologie des Problems im Allgemeinen dieselbe ist wie die des oben erwähnten Einheitskreises. Dies kann durch Umformulieren der Einschränkung im Formular angezeigt werden$F(\alpha_1,\alpha_2) = d$wo

Je nachdem was$d$Das heißt, Ihr System ist auf eine der Konturlinien im Diagramm beschränkt, und zum größten Teil sind dies topologische Kreise der langweiligsten, banalsten Art. Das bedeutet, dass Sie eine einzelne verallgemeinerte Winkelkoordinate finden können, die die Gesamtheit der Konfigurationsraum-Mannigfaltigkeit modulo der gleichen Periodizitätsprobleme parametrisiert, die Sie für ein auf den Einheitskreis beschränktes Teilchen erhalten.

Das soll nicht heißen, dass es einfach sein wird, diese Koordinate zu finden, und tatsächlich ist (i) ihre analytische Form wahrscheinlich ziemlich unordentlich und (ii) diese Unordnung wird in den Euler-Lagrange-Bewegungsgleichungen widergespiegelt und verstärkt. In diesem speziellen Fall glaube ich nicht, dass es etwas zu gewinnen gibt, wenn man versucht, eine solche Koordinate zu finden (im Gegensatz zur einfachen Verwendung von$\alpha_1$und$\alpha_2$als unabhängige Variablen in den Diagrammen, in denen sie arbeiten, das Erhalten und Lösen der Euler-Lagrange-EOMs für diese Parametrisierung und nur das Wissen, wann man möglicherweise die Diagramme wechseln muss), aber letztendlich ist es eine persönliche Entscheidung.

Nun, das heißt, es gibt einige (sehr spezifische) Situationen, in denen der Koordinatenraum möglicherweise keine Mannigfaltigkeit ist, im Wesentlichen weil$F(\alpha_1,\alpha_2)$hat keinen Gradienten ungleich Null. Bei deinem Problem tritt dies zB bei der auf$d=0.9D$Konturlinie wann$l=0.95D$, das sieht so aus,

dh es hat eine Kreuzung bei$\alpha_1=\alpha_2=0$, wo die beiden Arme „gekreuzt“ sind, und Sie können aus der Konfiguration herauskommen, indem Sie einen Arm wegziehen und den anderen folgen lassen, dh über zwei unterschiedliche Wege. Diese Art von Konfiguration ist die schlimmste, die Sie auf den von Ihnen erwähnten Systemen finden werden – aber Sie werden ihr mit ziemlicher Sicherheit nie begegnen, weshalb es im Allgemeinen in Ordnung ist, die Möglichkeit als pathologischen Sonderfall abzutun, über den sich die Mathematiker Sorgen machen müssen um.

Wenn Sie darauf bestehen, damit umzugehen, dann wird aus der Sicht eines Physikers im Allgemeinen passieren, dass das System dazu neigt, eine gewisse Trägheit zu haben, und das wird dazu neigen, es auf demselben „Zweig“ zu tragen, auf dem es läuft. (Oder mit anderen Worten, Sie parametrisieren die Achterkurve auf reguläre Weise, mit einem Selbstdurchgang, den Sie dann ignorieren.) Dies funktioniert in allen Fällen, außer in den Fällen, in denen sich das System am Schnittpunkt mit Nullgeschwindigkeit befindet , in diesem Fall bleibt es dort oder kommt nur asymptotisch an (aber, wenn Sie die Dinge wirklich vorantreiben, ja: Die Lagrange-Mechanik ist undefiniert, nachdem Sie einen solchen pathologischen Punkt erreicht haben).

Oder anders gesagt, diese Art von Problem ist nicht wirklich ein Problem.