Verallgemeinerung von Primzahlen auf Matrizen?

Kann man Primzahlen auf Matrizen verallgemeinern? Ich versuche, einen Rubix-Würfel in der minimalen Anzahl von Schritten zu lösen, und ich denke, das wäre nützlich. Ich denke, es ist möglich, Rubix-Würfeloperationen in der Sprache der linearen Algebra oder von Matrizen darzustellen. Von dort aus kann ich vielleicht eine Lösung des Rubix-Würfels als Produkt von Matrizen darstellen. Die Umwandlung eines Produkts von Matrizen in seine minimale Zerlegung (hier kommt die Hauptversion von Matrizen ins Spiel) sollte eine „minimale“ Lösung liefern.

Offenlegung: Dies ist nur meine Intuition und ich verstehe vollkommen, wenn das, was ich gerade geschrieben habe, keinen Sinn ergibt).

Kennst du dich mit Ringen aus?
Nein. Ich habe einen ökonometrischen und statistischen Hintergrund. Ich habe viele verschiedene Bachelor- und Postgraduierten-Mathematikfächer gemacht. Ich habe fortgeschrittene lineare Algebra studiert, aber ich habe keine Ringe studiert.
Mir wurde gesagt, ich solle den Wikipedia-Artikel für "Eindeutige Faktorisierungsdomäne" lesen - aber ich würde mich über weitere Ratschläge freuen.
Ich verstehe, ich habe jetzt keine Zeit, eine Antwort zu schreiben, aber im Allgemeinen beziehen sich "Primzahlen" auf das Zahlensystem, in dem Sie arbeiten - also machen Primzahlen in den ganzen Zahlen Sinn, aber Primzahlen in den Rationalen keinen Sinn, obwohl die ganzen Zahlen in den rationalen Zahlen enthalten sind. Diese Zahlensysteme werden Ringe genannt, und normalerweise bilden Matrizen einen Ring, der als Matrixring bezeichnet wird . Was Sie also wollen, sind die Hauptelemente eines Matrixrings.
Ich sollte jedoch anmerken, dass Primzahlen nur dann wirklich Sinn machen, wenn Ihr Ring eine kommutative Multiplikation hat. Die meisten Matrixringe haben jedoch keine kommutative Multiplikation.
Nun, wenn Sie eine Rubix-Würfeloperation als Matrix darstellen, müssten Sie sich nicht mit irrationalen Zahlen befassen ... Beachten Sie auch, dass Rubix-Würfeloperationen nicht kommutativ sind
Ich vermute, dass die abstrakte Mathematik, die Sie zu erfinden versuchen, eine Anwendung der Gruppentheorie und nicht der Ringtheorie ist. Suchen Sie nach Gruppentheorie-Rubikwürfel und Sie werden mehrere Links finden. Hier ist einer: math.harvard.edu/~jjchen/docs/…
@Christian zu einem grundlegenderen Hinweis: Das Finden eines Schemas zur Darstellung von Rubik-Manipulationen mit Matrizen wird als das Finden einer Darstellung der Rubik-Würfelgruppe bezeichnet
@EthanBolker Du bist mir zuvorgekommen, aber ja, wenn du die bearbeitete Frage liest, scheint die Gruppentheorie wirklich das richtige Werkzeug dafür zu sein.
@Juan und Ethan - danke für deinen Rat. Ich werde die bereitgestellten Links lesen und eine Lösung finden. Schließlich würde ich eine Lösung in der Programmiersprache Python implementieren, um zu prüfen, ob dies funktionieren kann. Aber ich vermute, dass ich beim Versuch, eine "Primzahlmatrix" zu zerlegen, auf eine Straßensperre stoße, da die Faktorisierung von Primzahlen bereits als sehr schwieriges Unterfangen bekannt ist. Es ist jedoch immer noch einen Crack wert.
Eine elementarste Manipulation ist zB das Drehen um eine Zeile nach links. Aber auch dieser kann zerlegt werden, also drei Umdrehungen nach rechts. Wie definiert man in diesem Zusammenhang eine Primzahlmanipulation_ ?
Wenn Sie in einem anderen Kontext mit Primzahlen spielen wollen, dann schauen Sie sich die Gaußschen ganzen Zahlen an. Dies sind komplexe Zahlen, deren Real- und Imaginärteil beide ganze Zahlen sind. Sie sind amüsant anders. 10 = ( 3 + ich ) ( 3 − ich ) gilt also immer noch die eindeutige Faktorisierung.

Antworten (1)

Eine besondere Verbindung zwischen Primzahlen und Matrixprodukten besteht in der Definition einer sogenannten dynamischen Zeta-Funktion . Ich bin mir nicht sicher, ob das das ist, wonach Sie suchen, aber es könnte Ihnen einige Ideen geben. Hier ist eine explizite Anwendung auf Produkte von Matrizen https://arxiv.org/abs/chao-dyn/9301001

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