Vereinfachte Summe mit steigenden und fallenden Fakultäten

In der ersten Summe ist der Koeffizient von$\frac{\gamma^m}{m+1}$Ist

$$\sum_{n+p+q=m}\sum_{ l =0}^{n} \frac{(-1)^l\left(q + l \right)!\left(p + n - l\right)!}{p! q!} \frac{ \left(N\right)^{(p)} \left(N\right)_{(q)}}{\left(M + 1\right)^{(p + n - l)}\left( M - 1 \right)_{(q + l)}}.$$ Legen wir fest$k=q+l$; als$l$geht von$0$Zu$n$,$k$geht von$q$Zu$q+n = m-p$: $$\sum_{n+p+q=m}\sum_{k=q}^{m-p} \frac{(-1)^{k-q} k!\left(m-k\right)!}{p! q!} \frac{ \left(N\right)^{(p)} \left(N\right)_{(q)}}{\left(M + 1\right)^{(m-k)}\left( M - 1 \right)_{(k)}}.$$ Jetzt ordnen wir diese Summe neu an, um davon abzuhängen$k$Erste. Für fest$m$Und$k$, unsere Einschränkungen sind das$q \le k$,$p \le m-k$, Und$n = m-p-q$. Also haben wir $$\sum_{k=0}^m \sum_{q=0}^k \sum_{p=0}^{m-k} \frac{(-1)^{k-q} k!\left(m-k\right)!}{p! q!} \frac{ \left(N\right)^{(p)} \left(N\right)_{(q)}}{\left(M + 1\right)^{(m-k)}\left( M - 1 \right)_{(k)}}.$$ Betrachtet man nur die$k^{\text{th}}$Begriff dieser Summe, können wir es als faktorisieren $$\frac{(-1)^k k! (m-k)!}{\left(M + 1\right)^{(m - k)}\left(M - 1\right)_{(k)}} \left(\sum_{q=0}^k (-1)^q \frac{(N)_{(q)}}{q!}\right) \left(\sum_{p=0}^{m-k} \frac{(N)^{(p)}}{p!}\right).$$ Die Summe vorbei$p$ist bekannt, zu vereinfachen$\frac{(N+1)^{(m-k)}}{(m-k)!}$. Die Summe vorbei$q$ist fast genauso brav: wir können umschreiben$(-1)^q \frac{(N)_{(q)}}{q!}$als$\frac{(-N)^{(q)}}{q!}$und vereinfache dann die Summe zu$\frac{(-N+1)^{(k)}}{k!}$oder$(-1)^k \frac{(N-1)_{(k)}}{k!}$.

Diese Ergebnisse heben sich mit den Faktoren auf, die nur davon abhängen$k$, also die$k^{\text{th}}$Begriff unserer Summe vereinfacht sich zu

$$\frac{\left(N + 1\right)^{(m - k)}\left( N - 1\right)_{(k)}}{\left(M + 1\right)^{(m - k)}\left(M - 1\right)_{(k)}}.$$ Denken Sie daran, dass wir dies summieren als$k$geht von$0$Zu$m$, erhalten wir genau den Koeffizienten von$\frac{\gamma^m}{m+1}$in der Summe, die wir bekommen wollten.