Vereinfachung boolescher Gleichungen mit K-map

Question

Vereinfachung boolescher Gleichungen mit K-map

Physik
Karnaugh-Karte
digitale Logik
Schaltungsdesign
boolsche Algebra

Karina

Mein Professor sagte mir, dass ich mit der K-Karte zu der vereinfachten Lösung kommen könnte, was ich wohl getan habe, aber es scheint nicht korrekt zu sein.

Die Gleichung und die entsprechende Lösung sind in den folgenden Bildern dargestellt.

Meine Vereinfachungsschritte waren:

ABCD' + A(B' + C' + D') + (A'B'C'D') -> verwendet zwei Regeln von De Morgan
A(B' + C' + D') = AB'CD + AB'CD' + ABC'D + ABC'D' + ABC'D +ABC'D' + AB'C'D + AB'C'D ' + ABCD' + ABC'D + AB'CD' + AB'C'D' (öffnete die Klammern mit der Identität)
Zeichnen Sie die K-Karte und kommen Sie zu dieser vereinfachten Gleichung: A + AB + B'C'D' (die Zeichnung ist unten angehängt)

Offensichtlich ist dies falsch. Könnte mir jemand helfen, auf den Fehler hinzuweisen, den ich gemacht habe, und auch helfen, eine Vereinfachung ohne K-Karte zu finden?

jonk

Haben Sie zwei Regeln verwendet, um zu Schritt 1 zu gelangen? Wenn ja, womit haben Sie begonnen und welche beiden Regeln haben Sie angewendet? Oder zeigt uns Schritt 1 den Ausgangspunkt. (Nein, ich habe keine Zeit damit verbracht, meine Frage zu beantworten, indem ich ausgeschnittene Bilder und Ihre kurze Zusammenfassung gelesen habe. Sie sollten viel mehr in Ihre Frage schreiben, denke ich. Bitte verbringen Sie etwas mehr Zeit damit, uns durch Ihren Denkprozess zu führen.)

Karina

Hallo. Danke für Ihre Antwort. Ich bin neu auf der Website, daher tut es mir leid, wenn es so aussah, als wäre es eine kurze Zusammenfassung. Ich habe die Screenshots beigefügt, da ich keine Möglichkeit gefunden habe, lange Zeilen über Implikanten zu schreiben. Ja, ich habe zwei Regeln von De Morgan verwendet, um zu Schritt eins zu gelangen. So kam ich im ersten Schritt zur Vereinfachung, danach versuchte ich, Klammern mit der Identität (A+A'=1) zu öffnen und dann zeichnete ich die K-Karte mit allen Implikanten und versuchte, die Primzahlen zu identifizieren.

jonk

Wir sollten also davon ausgehen, dass Sie bei Schritt 1 alles richtig gemacht haben, und uns stattdessen darauf konzentrieren, warum Sie mit kmaps von dort nicht zur endgültigen Antwort gelangen. Aber ich sehe weder kmaps noch Informationen darüber, was Sie damit gemacht haben, um Ihr Endergebnis zu erreichen (ein Fehler, nehme ich an). Wie können wir Ihnen helfen, das herauszufinden, wenn wir nicht sehen können, was Sie getan haben, um dorthin zu gelangen? die falsche Antwort? Oder bitten Sie uns, Ihnen den richtigen Weg zu zeigen, anstatt darauf hinzuweisen, wo Sie falsch gelaufen sind?

Karina

Das tut mir leid. Ich habe meine Antwort aktualisiert und alle erforderlichen Informationen in Schritt 2 und Schritt 3 bereitgestellt. Ich habe auch die von mir erstellte Zeichnung der K-Karte beigefügt. Meine Fragen sind: Was mache ich falsch? Und könnte mir jemand einen Hinweis geben, wie ich es lösen kann, indem ich einfach die Gesetze anstelle von K-Map verwende? Denn nach dem 1. Schritt fühle ich mich festgefahren.

jonk

Große Verbesserung der Frage. +1. Ich schaue es mir an, wenn ich einen Moment Zeit habe. Andere können jedoch vorher einspringen.

Karina

Vielen Dank für eine Minute.

jonk

Ihre kmap sieht gut aus (aus Schritt 1 entwickelt). Und Ihre Vereinfachung ist fast das, wo ich natürlich auch hingehen würde. Es ist wirklich ziemlich gut. Ich habe Ihren Schritt 2 nicht überprüft. Aber wenn Sie Ihre kmap direkt verwenden, bekomme ich:

A \bar{B} + A \bar{C} + A \bar{D} + \bar{B} \bar{C} \bar{D}

$A\,\overline{B}+A\,\overline{C}+A\,\overline{D}+\overline{B}\,\overline{C}\,\overline{D}$ . Das ist eigentlich auch ziemlich offensichtlich, wenn man einfach die Gleichung von Schritt 1 untersucht. Der erste Begriff und der letzte Begriff können zusammengeführt werden.

Karina

Ich bin mir nicht sicher, wie Sie dorthin gekommen sind. Meine Kreise sind richtig?

Karina

Wenn es zusammengeführt wird, wäre es nur D'?

jonk

In meinem Kopf habe ich zuerst die letzte Viererspalte umkreist, so wie du es getan hast. Ich umkreiste dann die Vierergruppe in der oberen rechten Ecke. Dann kreiste ich weitere vier ein und wählte diesmal die oberen zwei in der oberen rechten Ecke sowie die unteren zwei in der unteren rechten Ecke. Schließlich kreiste ich das Paar ein, das aus der oberen linken Ecke und der oberen rechten Ecke bestand. Ist das für Sie sinnvoll?

Karina

Oh vielen Dank. Ich habe gegen die Regel verstoßen, dass die Anzahl der Quadrate eine Zweierpotenz sein sollte. Könnten Sie mir einen Hinweis geben, wie der erste und der letzte in Schritt 1 zusammengeführt werden können, was ich bekomme, ist D'(ABC + A'B'C) = D'

jonk

Nun, Sie müssen die Mitte berücksichtigen, wenn Sie sie zusammenführen. Dafür müsste ich alle logischen Schritte aufzeigen. Möchten Sie dies sowohl algebraisch als auch über kmaps tun? Oder reicht es schon aus, es durch die kmap zu sehen?

Karina

Ich möchte dies sowohl algebraisch als auch über k-maps tun, aber ich kann eindeutig nicht sehen, wie ich sie zusammenführen kann.

jonk

Ich kann eine brachiale, aber auch einfach zu verstehende (nicht knifflige) Möglichkeit bieten, die algebraische Antwort zu erreichen. Soll ich eine Antwort darauf schreiben?

Antworten (1)

Vereinfachung boolescher Gleichungen mit K-map

Haben Sie zwei Regeln verwendet, um zu Schritt 1 zu gelangen? Wenn ja, womit haben Sie begonnen und welche beiden Regeln haben Sie angewendet? Oder zeigt uns Schritt 1 den Ausgangspunkt. (Nein, ich habe keine Zeit damit verbracht, meine Frage zu beantworten, indem ich ausgeschnittene Bilder und Ihre kurze Zusammenfassung gelesen habe. Sie sollten viel mehr in Ihre Frage schreiben, denke ich. Bitte verbringen Sie etwas mehr Zeit damit, uns durch Ihren Denkprozess zu führen.)
Hallo. Danke für Ihre Antwort. Ich bin neu auf der Website, daher tut es mir leid, wenn es so aussah, als wäre es eine kurze Zusammenfassung. Ich habe die Screenshots beigefügt, da ich keine Möglichkeit gefunden habe, lange Zeilen über Implikanten zu schreiben. Ja, ich habe zwei Regeln von De Morgan verwendet, um zu Schritt eins zu gelangen. So kam ich im ersten Schritt zur Vereinfachung, danach versuchte ich, Klammern mit der Identität (A+A'=1) zu öffnen und dann zeichnete ich die K-Karte mit allen Implikanten und versuchte, die Primzahlen zu identifizieren.
Wir sollten also davon ausgehen, dass Sie bei Schritt 1 alles richtig gemacht haben, und uns stattdessen darauf konzentrieren, warum Sie mit kmaps von dort nicht zur endgültigen Antwort gelangen. Aber ich sehe weder kmaps noch Informationen darüber, was Sie damit gemacht haben, um Ihr Endergebnis zu erreichen (ein Fehler, nehme ich an). Wie können wir Ihnen helfen, das herauszufinden, wenn wir nicht sehen können, was Sie getan haben, um dorthin zu gelangen? die falsche Antwort? Oder bitten Sie uns, Ihnen den richtigen Weg zu zeigen, anstatt darauf hinzuweisen, wo Sie falsch gelaufen sind?
Das tut mir leid. Ich habe meine Antwort aktualisiert und alle erforderlichen Informationen in Schritt 2 und Schritt 3 bereitgestellt. Ich habe auch die von mir erstellte Zeichnung der K-Karte beigefügt. Meine Fragen sind: Was mache ich falsch? Und könnte mir jemand einen Hinweis geben, wie ich es lösen kann, indem ich einfach die Gesetze anstelle von K-Map verwende? Denn nach dem 1. Schritt fühle ich mich festgefahren.
Große Verbesserung der Frage. +1. Ich schaue es mir an, wenn ich einen Moment Zeit habe. Andere können jedoch vorher einspringen.
Ihre kmap sieht gut aus (aus Schritt 1 entwickelt). Und Ihre Vereinfachung ist fast das, wo ich natürlich auch hingehen würde. Es ist wirklich ziemlich gut. Ich habe Ihren Schritt 2 nicht überprüft. Aber wenn Sie Ihre kmap direkt verwenden, bekomme ich: $A\,\overline{B}+A\,\overline{C}+A\,\overline{D}+\overline{B}\,\overline{C}\,\overline{D}$ . Das ist eigentlich auch ziemlich offensichtlich, wenn man einfach die Gleichung von Schritt 1 untersucht. Der erste Begriff und der letzte Begriff können zusammengeführt werden.
Ich bin mir nicht sicher, wie Sie dorthin gekommen sind. Meine Kreise sind richtig?
In meinem Kopf habe ich zuerst die letzte Viererspalte umkreist, so wie du es getan hast. Ich umkreiste dann die Vierergruppe in der oberen rechten Ecke. Dann kreiste ich weitere vier ein und wählte diesmal die oberen zwei in der oberen rechten Ecke sowie die unteren zwei in der unteren rechten Ecke. Schließlich kreiste ich das Paar ein, das aus der oberen linken Ecke und der oberen rechten Ecke bestand. Ist das für Sie sinnvoll?
Oh vielen Dank. Ich habe gegen die Regel verstoßen, dass die Anzahl der Quadrate eine Zweierpotenz sein sollte. Könnten Sie mir einen Hinweis geben, wie der erste und der letzte in Schritt 1 zusammengeführt werden können, was ich bekomme, ist D'(ABC + A'B'C) = D'
Nun, Sie müssen die Mitte berücksichtigen, wenn Sie sie zusammenführen. Dafür müsste ich alle logischen Schritte aufzeigen. Möchten Sie dies sowohl algebraisch als auch über kmaps tun? Oder reicht es schon aus, es durch die kmap zu sehen?
Ich möchte dies sowohl algebraisch als auch über k-maps tun, aber ich kann eindeutig nicht sehen, wie ich sie zusammenführen kann.
Ich kann eine brachiale, aber auch einfach zu verstehende (nicht knifflige) Möglichkeit bieten, die algebraische Antwort zu erreichen. Soll ich eine Antwort darauf schreiben?

jonk · Answer 1

Hier ist die anfängliche k-map:

\begin{aligned} \begin{matrix} \begin{array}{rcccc} \bar{A} \bar{B} & \bar{A} B & A B & A \bar{B} \\ \bar{C} \bar{D} & 1 & 0 & 1 & 1 \\ \bar{C} D & 0 & 0 & 1 & 1 \\ C D & 0 & 0 & 0 & 1 \\ C \bar{D} & 0 & 0 & 1 & 1 \end{array} \end{matrix} \end{aligned}

$\begin{array}{rl} \begin{smallmatrix}\begin{array}{r|cccc} &\overline{A}\:\overline{B}&\overline{A}\: B&A\: B&A\: \overline{B}\\ \hline \overline{C}\:\overline{D}&1&0&1&1\\ \overline{C}\:D&0&0&1&1\\ C\: D&0&0&0&1\\ C\:\overline{D}&0&0&1&1 \end{array}\end{smallmatrix} \end{array}$

Und so habe ich Dinge eingekreist (mit Paint):

Eine Brute-Force-Algebra-Methode könnte so aussehen:

\begin{aligned} A B C \bar{D} + A (\bar{B} + \bar{C} + \bar{D}) + \bar{A} \bar{B} \bar{C} \bar{D} \\ A B C \bar{D} + \bar{A} \bar{B} \bar{C} \bar{D} + A \bar{B} + A \bar{C} + A \bar{D} \\ A B C \bar{D} + \bar{A} \bar{B} \bar{C} \bar{D} \\ + A \bar{B} \bar{C} \bar{D} + A \bar{B} \bar{C} D + A \bar{B} C \bar{D} + A \bar{B} C D \\ + A \bar{B} \bar{C} \bar{D} + A \bar{B} \bar{C} D + A B \bar{C} \bar{D} + A B \bar{C} D \\ + A \bar{B} \bar{C} \bar{D} + A \bar{B} C \bar{D} + A B \bar{C} \bar{D} + A B C \bar{D} \\ A B C \bar{D} + (\bar{A} \bar{B} \bar{C} \bar{D} \\ + A \bar{B} \bar{C} \bar{D}) + A \bar{B} \bar{C} D + A \bar{B} C \bar{D} + A \bar{B} C D \\ + A \bar{B} \bar{C} \bar{D} + A \bar{B} \bar{C} D + A B \bar{C} \bar{D} + A B \bar{C} D \\ + A \bar{B} \bar{C} \bar{D} + A \bar{B} C \bar{D} + A B \bar{C} \bar{D} + A B C \bar{D} \\ \bar{B} \bar{C} \bar{D} \\ + A B C \bar{D} + A \bar{B} \bar{C} D + A \bar{B} C \bar{D} + A \bar{B} C D \\ + A \bar{B} \bar{C} \bar{D} + A \bar{B} \bar{C} D + A B \bar{C} \bar{D} + A B \bar{C} D \\ + A \bar{B} \bar{C} \bar{D} + A \bar{B} C \bar{D} + A B \bar{C} \bar{D} + A B C \bar{D} \\ \bar{B} \bar{C} \bar{D} + A (\bar{B} [\bar{C} \bar{D} + \bar{C} D + C \bar{D} + C D] + B [\bar{C} \bar{D} + \bar{C} D + C \bar{D}]) \\ \bar{B} \bar{C} \bar{D} + A (\bar{B} + B [\bar{C} \bar{D} + \bar{C} D + C \bar{D}]) \\ \bar{B} \bar{C} \bar{D} + A (\bar{B} + \bar{C} \bar{D} + \bar{C} D + C \bar{D}) \\ \bar{B} \bar{C} \bar{D} + A (\bar{B} + \bar{C} + C \bar{D}) \\ \bar{B} \bar{C} \bar{D} + A (\bar{B} + \bar{C} + \bar{D}) \end{aligned}

$\begin{align*} & A\,B\,C\,\overline{D} + A\left(\overline{B} + \overline{C} + \overline{D}\right) + \overline{A}\,\overline{B}\,\overline{C}\,\overline{D}\\\\ & A\,B\,C\,\overline{D} + \overline{A}\,\overline{B}\,\overline{C}\,\overline{D} + A\,\overline{B} + A\,\overline{C} + A\,\overline{D}\\\\ & A\,B\,C\,\overline{D} + \overline{A}\,\overline{B}\,\overline{C}\,\overline{D}\\&\quad\quad\quad\quad\quad\quad + A\,\overline{B}\,\overline{C}\,\overline{D} + A\,\overline{B}\,\overline{C}\,D + A\,\overline{B}\,C\,\overline{D} + A\,\overline{B}\,C\,D\\&\quad\quad\quad\quad\quad\quad + A\,\overline{B}\,\overline{C}\,\overline{D} + A\,\overline{B}\,\overline{C}\,D + A\,B\,\overline{C}\,\overline{D} + A\,B\,\overline{C}\,D\\&\quad\quad\quad\quad\quad\quad + A\,\overline{B}\,\overline{C}\,\overline{D} + A\,\overline{B}\,C\,\overline{D} + A\,B\,\overline{C}\,\overline{D} + A\,B\,C\,\overline{D}\\\\ & A\,B\,C\,\overline{D} + \left(\overline{A}\,\overline{B}\,\overline{C}\,\overline{D}\right.\\&\quad\quad\quad\quad\quad\quad + \left.A\,\overline{B}\,\overline{C}\,\overline{D}\right) + A\,\overline{B}\,\overline{C}\,D + A\,\overline{B}\,C\,\overline{D} + A\,\overline{B}\,C\,D\\&\quad\quad\quad\quad\quad\quad + A\,\overline{B}\,\overline{C}\,\overline{D} + A\,\overline{B}\,\overline{C}\,D + A\,B\,\overline{C}\,\overline{D} + A\,B\,\overline{C}\,D\\&\quad\quad\quad\quad\quad\quad + A\,\overline{B}\,\overline{C}\,\overline{D} + A\,\overline{B}\,C\,\overline{D} + A\,B\,\overline{C}\,\overline{D} + A\,B\,C\,\overline{D}\\\\ & \overline{B}\,\overline{C}\,\overline{D}\\&\quad\quad\quad\quad\quad\quad + A\,B\,C\,\overline{D} + A\,\overline{B}\,\overline{C}\,D + A\,\overline{B}\,C\,\overline{D} + A\,\overline{B}\,C\,D\\&\quad\quad\quad\quad\quad\quad + A\,\overline{B}\,\overline{C}\,\overline{D} + A\,\overline{B}\,\overline{C}\,D + A\,B\,\overline{C}\,\overline{D} + A\,B\,\overline{C}\,D\\&\quad\quad\quad\quad\quad\quad + A\,\overline{B}\,\overline{C}\,\overline{D} + A\,\overline{B}\,C\,\overline{D} + A\,B\,\overline{C}\,\overline{D} + A\,B\,C\,\overline{D}\\\\ & \overline{B}\,\overline{C}\,\overline{D} + A\left(\overline{B}\left[\overline{C}\,\overline{D} + \overline{C}\,D + C\,\overline{D} + C\,D\right] + B\left[\overline{C}\,\overline{D} + \overline{C}\,D + C\,\overline{D}\right]\right)\\\\ & \overline{B}\,\overline{C}\,\overline{D} + A\left(\overline{B} + B\left[\overline{C}\,\overline{D} + \overline{C}\,D + C\,\overline{D}\right]\right)\\\\ & \overline{B}\,\overline{C}\,\overline{D} + A\left(\overline{B} + \overline{C}\,\overline{D} + \overline{C}\,D + C\,\overline{D}\right)\\\\ & \overline{B}\,\overline{C}\,\overline{D} + A\left(\overline{B} + \overline{C} + C\,\overline{D}\right)\\\\ & \overline{B}\,\overline{C}\,\overline{D} + A\left(\overline{B} + \overline{C} + \overline{D}\right) \end{align*}$

Ich hoffe, Sie folgen diesen Schritten in Ordnung.

Vielen Dank. Ich sehe, wo ich tatsächlich den Fehler gemacht habe.
@Maria Schön, dass es geholfen hat. Wenn dies das Problem löst, können Sie die Antwort gerne als „akzeptiert“ markieren. Dadurch wissen andere, dass sie ihre Zeit nicht mit dem Hinzufügen weiterer Antworten verschwenden müssen. Aber wenn Sie denken, dass andere Antworten helfen könnten, sollten Sie sich damit zurückhalten und einfach abwarten.

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