Vereinigende Polynome

Question

Vereinigende Polynome

Mathematik
Kombinatorik
Algebra-Vorkalkül

Leen Droogendijk

Lösung eines kombinatorischen Problems finde ich, dass es gibt $p(n)=\frac{1}{24}(5n^3+3n^2-2n)$ Lösungen für sogar $n$ Und $q(n)=\frac1{24}(5n^3+3n^2-5n-3)$ für ungerade $n$ . Jetzt möchte ich ein "uninomial" finden, das mit übereinstimmt $p$ für alle geraden Werte und mit $q$ für alle ungeraden Werte.

Ein triviales Beispiel wäre $p(n)+(\lceil\frac n2\rceil-\lfloor\frac n2\rfloor)(q(n)-p(n))$ , aber ich möchte etwas genaueres.

Ich möchte (in diesem Fall) einen Ausdruck der Form $a_3p_3^3+a_2p_2^2+a_1p_1+a_0$ , wo jeder $p_i$ entweder $n$ oder $\lceil\frac n2\rceil$ oder $\lfloor\frac n2\rfloor$ (und jede $a_i$ ist eine reelle Zahl).

Oder, etwas allgemeiner, alle $p_i^i$ kann durch ein Produkt von ersetzt werden $i$ Faktoren, von denen jeder entweder ist $n$ oder $\lceil\frac n2\rceil$ oder $\lfloor\frac n2\rfloor$ .

Das spezifische Problem ist klein genug, um einem Brute-Force-Angriff eines Computerprogramms zu erliegen, aber ich suche nach einer Art Mechanismus.

Irgendwelche Ideen? Oder vielleicht eine Referenz? Dummes Google hat noch nie von einem Uninomial gehört und ich scheine nicht in der Lage zu sein, die Schlüsselwörter zu finden, die Google dazu bringen könnten, einen relevanten Ort preiszugeben.

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Vereinigende Polynome

Mike · Answer 1

P (N) = \frac{1}{24} (5 N^{3} + 3 N^{2} - 2 N) n gerade

$p(n)=\frac1{24}(5n^3+3n^2-2n) \text { n even}$

Q (N) = \frac{1}{24} (5 N^{3} + 3 N^{2} - 2 N - 3 (N + 1)) n ungerade

$q(n)=\frac1{24}(5n^3+3n^2-2n-3(n+1)) \text { n odd}$

Weil $(1-(-1)^n)/2=0$ Wenn $n$ sogar und $(1-(-1)^n)/2=1$ Wenn $n$ seltsam, wir können kombinieren $p(n)$ Und $q(n)$ als:

F (N) = \frac{1}{24} (5 N^{3} + 3 N^{2} - 2 N - \frac{3}{2} (N + 1) (1 - (- 1)^{N}))

$f(n)=\frac1{24}\left(5n^3+3n^2-2n-\frac{3}{2}(n+1)(1-(-1)^n)\right)$

Danke Mike, aber das ist eine Antwort in der Kategorie " $p(n)+(⌈n2 ⌉−⌊n2 ⌋)(q(n)−p(n))$ " und nicht das, wonach ich suche. Es erfüllt nicht die Anforderungen (z. B. ein Exponent $n$ ist nicht erlaubt). Außerdem brauche ich nicht wirklich eine Antwort auf das Beispielproblem, sondern eine Möglichkeit, diese Art von Problem im Allgemeinen anzugehen.

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Leen Droogendijk

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Mike

Leen Droogendijk

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