Vergleich zweier Sammlungen von 4-Tupeln unter Verwendung der Kombinatorik - kompliziertere Version

Mein Problem ist zu zeigen, dass 2 Sammlungen von ungeordneten 4-Tupeln -$\mathbf{A}$Und$\mathbf{B}$- sind gleich.

Ich definiere eine Sammlung von Objekten als eine Menge, in der mehrere Einträge desselben Objekts erlaubt sind. Somit$A = <(1,1,1,1),(1,1,1,1)>$wäre eine gültige Sammlung von 4-Tupeln. In Ordnung für Sammlungen$\mathbf{A}$Und$\mathbf{B}$Um gleich zu sein, müssen sie dieselben Elemente mit denselben Multiplizitäten enthalten. Zum Beispiel$<a,a,b> = <a,b,a>$, Aber$<a,b> \neq <a,a,b>$.

Meine Sammlungen enthalten ungeordnete 4-Tupel$(k,m,n,o)$. Zwei ungeordnete 4-Tupel sind gleich, wenn sie dieselben Elemente mit denselben Multiplizitäten enthalten, unabhängig von der Reihenfolge. Zum Beispiel,$(1,2,1,3) = (1,1,2,3)$, Aber$(1,2,1,3) \neq (1,2,2,3)$.

Anfangsproblem:

Lassen$\mathbf{A}$eine Sammlung aller ungeordneten 4-Tupel sein$(k,m,n,o)$so dass die folgenden Bedingungen gelten.$k$ist eine ganze Zahl$k \geq 1$.$m,n,o$sind ganze Zahlen ungleich Null (positiv oder negativ). Am wichtigsten,$k+m+n+o = 0$.

Lassen$\mathbf{B}$eine Sammlung aller ungeordneten 4-Tupel sein$(-k,m,n,o)$so dass die folgenden Bedingungen gelten.$k$ist eine ganze Zahl$k \geq 1$.$m,n,o$sind ganze Zahlen ungleich Null (positiv oder negativ).$-k+m+n+o = 0$.

Zur Verdeutlichung ist die Art und Weise, wie diese Sammlungen aufgebaut sind, wie folgt. Lassen Sie sie zunächst leer sein. Durchlaufen Sie dann alle möglichen geordneten Kombinationen$k,m,n,o$. Wenn eine solche Kombination die erforderlichen Bedingungen erfüllt, fügen Sie 1 Instanz des 4-Tupels hinzu. Daher kann dieser Prozess dazu führen, dass identische 4-Tupel mehr als einmal in der Sammlung vorhanden sind.

Das zu zeigen ist das Ziel$\mathbf{A} = \mathbf{B}$. Wie oben erwähnt, müssen sie die gleichen Elemente mit den gleichen Multiplizitäten enthalten.

Bemerkungen: Ich weiß, dass sie nicht gleich sind, da ich ein Gegenbeispiel finden kann. Ich wollte dieses Problem jedoch als erste Einführung in mein eigentliches Problem darstellen.

Mein Problem: Alles, was ich oben geschrieben habe, gilt, außer der Definition von$\mathbf{A}$Und$\mathbf{B}$.

Jetzt definiere ich$\mathbf{A}$als Sammlung aller ungeordneten 4-Tupel$(k,m,n,o)$so dass$k$ist eine ganze Zahl$k \geq 1$,$m,n,o$sind ganze Zahlen ungleich Null (positiv oder negativ) und$k+m+n+o = 0$. Das 4-Tupel wird jedoch mit einer Vielzahl in die Sammlung eingefügt$k = |k|$(dh$|k|$-mal). Zum Beispiel,$\mathbf{A}$könnte beinhalten$|a| \times (a,b,c,d)$Und$|b| \times (b,a,c,d)$, die gleiche 4-Tupel sind, aber mit unterschiedlichen Multiplizitäten. Diese Begriffe können dann zum Zweck des Vergleichs gruppiert werden$\mathbf{B}$.

Die Sammlung$\mathbf{B}$ist auf die gleiche Weise definiert, außer dass Tupel sind$(-k,m,n,o)$und der Zustand$-k+m+n+o=0$. Die Vielfachheiten der Terme sind$|k| = -k$.

Zur Verdeutlichung lassen$\mathbf{A}$Und$\mathbf{B}$erstmal leer sein. Dann gehe ich alles Mögliche durch$k,m,n,o$, und hinzufügen$(k,m,n,o)$Und$(-k,m,n,o)$bzw. und das werde ich tun$|k|$Zeiten (Vielheiten). Das will ich jetzt zeigen,$\mathbf{A}$Und$\mathbf{B}$dieselben Elemente enthalten.

Sie sind gleich - ich habe ein Programm geschrieben, das die Begriffe bis zu einer bestimmten Grenze vergleicht$k,m,n,o$. Allerdings hätte ich gerne einen Beweis.

Bonus: Lassen Sie die Multiplizität eines Tupels$(k,m,n,o)$Sei$|k|^N$für die ganze Zahl N (einschließlich 0) (statt$N=1$vorher betrachtet). Zeigen Sie das nur für$N=1$ $\mathbf{A} = \mathbf{B}$.

Bemerkung: Ich habe kürzlich eine scheinbar ähnliche, einfachere Frage gestellt ( Vergleich von zwei Sätzen von 4-Tupeln unter Verwendung der Kombinatorik ). Ich glaube nicht, dass ich seine Lösung auf diesen Fall anwenden kann.