Verhältnis von Induktivität zu Kapazität im LC-Filter für PWM

Die maximale "Spitze" kann allgemein für das Verhalten eines LTI-Systems 2. Ordnung berechnet werden, ist jedoch eine etwas komplizierte Übung, je nachdem, ob Sie ein überdämpftes oder unterdämpftes System haben.

Die allgemeine Idee besteht darin, die Übertragungsfunktion (im s-Bereich) zu berechnen, die inverse Laplace-Transformation anzuwenden, um die Impulsantwort im Zeitbereich zu erhalten, und diese dann mit Null gleichzusetzen, um die Extrema der Sprungantwort zu finden. Dieses Verfahren basiert auf der Tatsache, dass bei einem LTI-System die Ableitung der Sprungantwort gleich der Impulsantwort ist . Dies gibt aber nur die Abszissenpunkte (Zeitpunkt der Extrema). Um den tatsächlichen Überschwingwert zu erhalten, müssen wir diesen in die tatsächliche Sprungantwort einsetzen. Letzteres zu finden ist tatsächlich schwieriger, Sie werden sehen.

Zunächst einmal ist in Ihrer Schaltung die Übertragungsfunktion

$$H(s) = \frac{\frac{1}{\frac{1}{R}+Cs}}{\frac{1}{\frac{1}{R}+Cs}+Ls} = \frac{R}{RLCs^2+Ls+R}$$

weil Sie einen von L erstellten Spannungsteiler und die Parallelschaltung von R und C haben. ( Matheprüfung .) Sie könnten auch einen symbolischen Schaltungslöser (wie qsapecng) verwenden, um ihn zu erhalten / zu überprüfen:

Um zuerst das Maximum zu berechnen, müssen Sie die inverse Laplace-Transformation anwenden, um die Impulsantwort im Zeitbereich zu erhalten, und diese nach Nullen (in der Zeit) auflösen. Die erste kann schnell mit einem mathematischen Programm durchgeführt werden , führt jedoch zu einer haarigen Formel wie der unten gezeigten, die auch Exponentiale mit komplexen Argumenten verwendet, also "versteckte" Sinuskurven enthält, wenn die Radikale imaginäre Zahlen ergeben!

Oder wir können dies aufschlussreicher tun, indem wir (zuerst) die Übertragungsfunktion in die Standard-Polarform für ein System 2. Ordnung bringen :

$$H(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2}$$

Wo$\omega_n$heißt die (Winkel-)Eigenfrequenz und$\zeta$ist das Dämpfungsverhältnis. Für diese Schaltung (durch Dividieren des Zählers und Nenners durch RLC und Identifizieren der Potenz von s aus den beiden Ausdrücken von H)

$$\omega_n = \frac{1}{\sqrt{LC}}\;\; \text{and}\;\; \zeta = \frac{1}{2R}\sqrt{\frac{L}{C}}$$

(Übung: Verknüpfen Sie diese mit Fc und Q aus Ihrer Frage.)

Das inverse Laplace dieser Standardform von H(s) ist etwas verständlicher, selbst wenn es von einem Programm gelöst wird , das Ihnen im Vergleich zum durchschnittlichen Ingenieurlehrbuch tatsächlich eine allgemeinere [wenn auch vielleicht etwas verwirrende Antwort] gibt:

$$h(t) = \frac{\omega_n^2}{\sqrt{\zeta^2-1}}\exp(-t\omega_n\zeta )\sinh\Big(t\omega_n \sqrt{\zeta^2-1}\Big)$$

(Ich habe das Exponential so geschrieben, weil sein Exponent in der üblichen hochgestellten Notation etwas unleserlich war.) Beachten Sie, dass dieser kompakte Ausdruck einige komplexe Zahlenberechnungen beinhalten kann. Zum Beispiel im unterdämpften Fall (z. B. wie in Ihrem letzten Diagramm zu sehen)$0 < \zeta < 1$. Also in diesem Fall:

• $\sqrt{\zeta^2-1} = \sqrt{-1}\sqrt{1-\zeta^2}$Und
• $\sinh(t\omega_n\sqrt{\zeta^2-1}) = \sqrt{-1}\sin(t\omega_n\sqrt{\zeta^2-1})$

wobei wir in der letzten Gleichheit die Tatsache verwendet haben , dass$\sinh(x\sqrt{-1}) = \sqrt{-1} \sin x$. Nach den beiden$\sqrt{-1}$kürzen sich gegenseitig auf, erhalten wir die Lehrbuchformel für den unterdämpften Fall:

$$h(t) = \frac{\omega_n^2}{\sqrt{1-\zeta^2}}\exp(-t\omega_n\zeta )\sin\Big(t\omega_n \sqrt{1-\zeta^2}\Big)$$

Schließlich müssen wir die Nullstellen dieser Impulsantwort (oder sogar der vorherigen, allgemeineren sinh-Form) finden und dann das Intervall von berücksichtigen$\zeta$):

$$t_p = \frac{n\pi}{\omega_n \sqrt{1-\zeta^2}}$$

Wo$n$ist eine positive ganze Zahl. Der erste (und größte) Peak tritt auf für$n=1$. Um nun tatsächlich den Ordinatenwert der Sprungantwort zu diesem Zeitpunkt zu erhalten, benötigen wir die tatsächliche Sprungantwort im Zeitbereich.

Leider übertrifft es sogar die Fähigkeiten von Wolfram Alpha , die tatsächliche Sprungantwort schön / aufschlussreich durch inverse Laplace-Transformation zu erhalten . Also greifen wir dafür auf ein Lehrbuch zurück (das auch die erhaltene Impulsformel bestätigt):

Wir können jedoch maschinell verifizieren, dass die Ableitung dieser Sprungantwort uns die Impulsantwort liefert . Nach dieser Plausibilitätsprüfung ersetzen wir die Abszisse durch die erste Spitze, um den [Ordinate]-Spitzenwert zu erhalten (für eine Einheit, dh 1-V-Schritt):

$$G_p = 1 + {\exp\Big(-\frac{\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}\Big)}$$

Beachten Sie, dass die 1 sinnvoll ist, da wir bei zu geringer Dämpfung immer ein Überschwingen haben. Erwarten Sie also, dass diese Spitze die von uns angelegte 1 V überschreitet. Lassen Sie uns zum Schluss R, L und C ersetzen :

Das gibt

$$G_p = 1 + \exp \Big(-\frac{\pi}{\sqrt{\frac{4CR^2}{L}-1}}\Big)$$

Lassen Sie uns dies endlich an einem Beispiel überprüfen !!

Nun, sie stimmen nicht ganz überein, aber ich denke, sie sind nah genug dran. Wenn Sie den Induktor von LTspice überprüfen, werden Sie sehen, dass er einen 1-mOhm-Vorwiderstand verwendet [standardmäßig, und ich glaube nicht, dass Sie ihn auf Null zwingen können]. Die Schaltung ist also nicht die gleiche. Ich habe keine Lust, dies mit diesem hinzugefügten Widerstand erneut zu lösen ... Ich vermute, die Formel wäre viel haariger.

Und ich habe es geschafft, ein Handout zu finden , das die Spitzenformel (für das allgemeine System 2. Ordnung) [auf S. 9], aber ohne Beweis, der das Obige bestätigt.