Versuchte Dirac wirklich, die Quadratwurzel des Klein-Gordon-Operators zu ziehen?

Man spricht routinemäßig vom Dirac-Operator als einer Quadratwurzel des Laplace-Operators (oder des Dalembert-Operators, je nachdem), und Dirac selbst unterstützt diese Heuristik eher in seinen Erinnerungen an eine aufregende Ära , History of Twentieth Century Physics , Academic Press 1977, S 109-146:

Ich habe mit den drei Komponenten herumgespielt$\sigma_1, \sigma_2,\sigma_3,$die ich verwendet hatte, um den Spin des Elektrons zu beschreiben, und das fiel mir auf, wenn Sie den Ausdruck bildeten$\sigma_1p_1+\sigma_2p_2+\sigma_3p_3$und quadrierte es,$p_1$,$p_2$Und$p_3$Da es sich um die drei Komponenten des Momentums handelt, haben Sie gerade$\smash{p_1^2+p_2^2+p_3^2}$, das Quadrat des Impulses ( ¹ ). Das war ein ziemlich mathematisches Ergebnis. Ich war ziemlich aufgeregt darüber. Es schien, dass es von einiger Bedeutung sein musste. (...)

Mir wurde plötzlich klar, dass ich mich nicht an die Mengen halten musste$\sigma$, die durch Matrizen mit nur zwei Zeilen und Spalten dargestellt werden können. Warum nicht zu vier Zeilen und Spalten übergehen? Rechnerisch war dagegen überhaupt nichts einzuwenden. Ersetzen der$\sigma$-Matrizen durch Vierzeilen- und Spaltenmatrizen, könnte man leicht die Quadratwurzel aus der Summe von vier Quadraten ziehen , oder sogar fünf Quadraten, wenn man wollte.

Dementsprechend beginnt er, wie ich sicher bin, in The Principles of Quantum Mechanics (4. Aufl., §67; es wäre interessant, die erste von 1930 zu vergleichen, die ich online nicht finden kann) mit „dem relativistischen Hamiltonian [das] führt auf die Wellengleichung

$$\{p_0 - (m^2c^2+p_1^2+p_2^2+p_3^2)^{\frac12}\}\psi=0, \tag5$$ bei dem die $p$'s werden als Operatoren gemäß [ $p_\mu=i\hbar\partial/\partial x^\mu$]“, multipliziert dann mit dem Konjugierten, um zu erhalten $$\{p_0^2 - m^2c^2-p_1^2-p_2^2-p_3^2\}\psi=0, \tag6$$ und sucht dann „eine Wellengleichung, die linear ist in $p_0$und das ist ungefähr äquivalent zu (6)“ in der Form $$\{p_0 - \alpha_1p_1-\alpha_2p_2-\alpha_3p_3 -\beta\}\psi=0, \tag7$$ was ihn genau zum Problem der „Quadratwurzel aus der Summe von vier Quadraten“ führt.

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( ¹ ) Eine explizit gefundene Identität, mit $p_r=-i\partial/\partial x_r$, in der von Ihnen zitierten Arbeit von 1928 (unten auf S. 618, Fall$\mathbf A=0$).

Bearbeiten: Diracs Erstausgabe (1930) ist jetzt online, und ihr §74 hat bereits genau die gleiche Entwicklung wie oben (aber für minimale Unterschiede in der Notation).

Dirac war vor allem ein Mathematiker, der die Schönheit der Mathematik mochte. Dies ist einer der Gründe, warum er die Hässlichkeit von Renormalisierungstheorien beanstandete. Sie sollten Pretty Mathematics International Journal of Theoretical Physics, Bd. 21, Nr. 8//9, 1982, wo er im Wesentlichen erklärt, dass er mit 2X2-Matrizen spielte, indem er ihn zitierte

Die daraus resultierende Wellengleichung für das Elektron erwies sich als sehr erfolgreich. Sie führte zu korrekten Werten für den Spin und das magnetische Moment. Das war ziemlich unerwartet. Die Arbeiten gingen alle aus einem Studium der schönen Mathematik hervor, ohne sich Gedanken über diese physikalischen Eigenschaften des Elektrons zu machen.

Solche Arbeiten werden jedoch von Physikern auf diesem Gebiet weitgehend ignoriert.