Verwenden der Diskriminante, um die Gleichung der Tangenten an einen Kreis zu finden

Ich arbeitete an einer Geometriefrage und nahm einen wirklich langen, verschlungenen Weg, um eine Antwort zu bekommen. Eine funktionierende Lösung, die ich dafür gefunden habe, verwendete die Diskriminante, aber ich verstehe nicht, wie. Die Frage war diese:

Der Kreis C hat Gleichung X 2 + 6 X + j 2 − 2 j = 7 . Die Linien L1 und L2 sind Tangenten an den Kreis an den Punkten P bzw. Q. Sie schneiden sich im Punkt R ( 0 , 6 ) . Finden Sie die Gleichungen der Zeilen L1 und L2 und geben Sie Ihre Antworten in das Formular ein j = M X + B .

Ich begann mit dem Zeichnen des Diagramms und ging einen sehr langen Weg, bei dem ich mehrmals Pythagoras benutzte, um verschiedene Größen von Entfernungen zu finden, und feststellte, dass der Mittelpunkt des Kreises, ( − 3 , 1 ) , bildet mit P, Q und R ein Quadrat. Daraus errechnete ich die Steigung der Geraden von der Mitte zu R, fand die Steigung der dazu senkrechten Geraden und konnte dann endlich die Koordinaten der berechnen Punkte P und Q. Erst von hier aus konnte ich es beenden und die Gleichungen der Tangenten an P und Q ausarbeiten.

Dies dauerte jedoch ungefähr 30 Minuten, und als ich mir die erarbeiteten Lösungen ansah, sah ich die folgende viel prägnantere Methode:

Die Gleichungen der Linien L1 und L2 sind beides j = M X + 6 .

Ersetzen j = M X + 6 in die Gleichung des Kreises, Erweitern und Faktorisieren ergibt:

( 1 + M 2 ) X 2 + ( 6 + 10 M ) X + 17 = 0

Es gibt eine Lösung, also die Verwendung der Diskriminante B 2 − 4 A C = 0 :

( 6 + 10 M ) 2 − 4 ( 1 + M 2 ) ( 17 ) = 0

Was erweitert und faktorisiert, um zu geben:

( 4 M − 1 ) ( M + 4 ) = 0 Deshalb M = 1 / 4 oder M = − 4

Ich verstehe konzeptionell wirklich nicht, warum wir die Diskriminante in dieser Situation verwenden können, und würde es wirklich begrüßen, wenn jemand erklärt, was tatsächlich passiert, wenn wir sagen: "Es gibt eine Lösung, also die Verwendung der Diskriminante ..."

Vielen Dank im Voraus!

Die wichtigste Erkenntnis ist, dass die Schnittpunkte zwischen einer Linie und einem Kreis mit Hilfe einer quadratischen Gleichung gefunden werden können . Wenn die Linie ein Akkord ist, gibt es zwei unterschiedliche Schnittpunkte, also zwei Wurzeln. Wenn sich die beiden Schnittpunkte immer näher kommen, tendiert die Linie zu einer Tangente und die beiden Wurzeln zu einer Doppelwurzel.

Antworten (1)

Es läuft darauf hinaus, dass eine Tangente an einen Kreis (oder einen beliebigen Kegelschnitt) den Kreis an genau einem Punkt schneidet. Sie suchen also nach Durchgängen R die den Kreis in genau einem Punkt schneiden. Das Einsetzen in die Kreisgleichung ergibt eine quadratische Gleichung in der X -Koordinaten der Schnittpunkte. Wir wollen, dass diese Gleichung genau eine Lösung hat, was bedeutet, dass das Quadrat eine doppelte Wurzel haben muss, und das passiert, wenn seine Diskriminante verschwindet.

Sie müssen bei der Verwendung dieser Methode ein wenig vorsichtig sein. Wenn es nur eine einzige Lösung für X , das könnte auch bedeuten, dass beide Schnittpunkte gleich sind X -Koordinate. Das kann hier aber nicht passieren, weil es bedeuten würde, dass die Linie vertikal ist, aber Sie können eine vertikale Linie nicht mit einer Gleichung der Form darstellen j = M X + B .

Verwenden der Diskriminante, um die Gleichung der Tangenten an einen Kreis zu finden
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v