Verwenden Sie die Euler-Lagrange-Gleichung, um die Bewegungsgleichungen zu finden

Question

Verwenden Sie die Euler-Lagrange-Gleichung, um die Bewegungsgleichungen zu finden

Physik
gekoppelte Oszillatoren
lagrangescher Formalismus
Variationsrechnung
Hausaufgaben-und-Übungen

Kira1985

Ich muss die Euler-Lagrange-Gleichung verwenden

\frac{D}{D T} \frac{\partial L}{\partial \dot{Q}} - \frac{\partial L}{\partial Q} = 0

$\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} - \frac{\partial L}{\partial q} = 0$

von zu gehen

L = T - v = \sum_{N = 1}^{N} \frac{M}{2} {\dot{Q}}_{N}^{2} - \sum_{N = 1}^{N} \frac{K}{2} {(Q_{N + 1} - Q_{N})}^{2}

$L = T - V = \sum_{n=1}^N \frac{m}{2} {\dot{q}_n}^2 - \sum_{n=1}^N \frac{K}{2} {\left( q_{n+1} - q_n \right)}^2$

Zu

M {\ddot{Q}}_{N} + \frac{K}{2} [2 (Q_{N} - Q_{N - 1}) - 2 (Q_{N + 1} + - Q_{N})] = 0

$m\ddot{q}_n + \frac{K}{2} \left[ 2 \left(q_n - q_{n-1}\right) - 2 \left(q_{n+1} + - q_n\right) \right] = 0$

oder

M {\ddot{Q}}_{N} = K (Q_{N + 1} + Q_{N - 1} - 2 Q_{N})

$m\ddot{q}_n = K \left( q_{n+1} + q_{n-1} - 2q_n \right)$

Also begann ich mit

\frac{\partial L}{\partial \dot{Q}} = \frac{M}{2} \sum_{N = 1}^{N} \frac{\partial}{\partial \dot{Q}} ({\dot{Q}}_{N}^{2}) = \sum_{N = 1}^{N} M {\dot{Q}}_{N}

$\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} = \frac{m}{2} \sum_{n=1}^N \frac{\partial}{\partial \dot{q}} \left( {\dot{q}_n}^2 \right) = \sum_{n=1}^N m\dot{q}_n$

\frac{D}{D T} (\sum_{N = 1}^{N} M {\dot{Q}}_{N}) = \sum_{N = 1}^{N} M {\ddot{Q}}_{N}

$\frac{d}{dt} \left( \sum_{n=1}^N m\dot{q}_n \right) = \sum_{n=1}^N m\ddot{q}_n$

Dann fehlt mir bei der zweiten Summe etwas

\frac{\partial L}{\partial Q} = - \frac{K}{2} \sum_{N = 1}^{N} \frac{\partial}{\partial Q} {(Q_{N + 1} - Q_{N})}^{2}

$\frac{\partial L}{\partial q} = -\frac{K}{2} \sum_{n=1}^N \frac{\partial}{\partial q} {\left( q_{n+1} - q_n \right)}^2$

Wie kommt dies in die Nähe des 2. Terms in der 3. Gleichung?

Ich dachte mir, dass ich vielleicht für jedes n neu berechnen sollte, also die Gleichungen umschreiben:

\frac{\partial L}{\partial {\dot{Q}}_{N}} = \frac{M}{2} \sum_{N = 1}^{N} \frac{\partial}{\partial {\dot{Q}}_{N}} ({\dot{Q}}_{N}^{2}) = \sum_{N = 1}^{N} M {\dot{Q}}_{N}

$\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_n} = \frac{m}{2} \sum_{n=1}^N \frac{\partial}{\partial \dot{q}_n} \left( {\dot{q}_n}^2 \right) = \sum_{n=1}^N m\dot{q}_n$

\frac{D}{D T} (\sum_{N = 1}^{N} M {\dot{Q}}_{N}) = \sum_{N = 1}^{N} M {\ddot{Q}}_{N}

$\frac{d}{dt} \left( \sum_{n=1}^N m\dot{q}_n \right) = \sum_{n=1}^N m\ddot{q}_n$

\frac{\partial L}{\partial Q_{N}} = - \frac{K}{2} \sum_{N = 1}^{N} \frac{\partial}{\partial Q_{N}} {(Q_{N + 1} - Q_{N})}^{2} = - \frac{K}{2} \sum_{N = 1}^{N} 2 (Q_{N + 1} - Q_{N}) (- 1)

$\frac{\partial L}{\partial q_n} = -\frac{K}{2} \sum_{n=1}^N \frac{\partial}{\partial q_n} {\left( q_{n+1} - q_n \right)}^2 = -\frac{K}{2} \sum_{n=1}^N 2{\left( q_{n+1} - q_n \right)}(-1)$

\frac{\partial L}{\partial Q_{N}} = \frac{K}{2} \sum_{N = 1}^{N} 2 (Q_{N + 1} - Q_{N})

$\frac{\partial L}{\partial q_n} = \frac{K}{2} \sum_{n=1}^N 2{\left( q_{n+1} - q_n \right)}$

Also für n+1

\frac{\partial L}{\partial {\dot{Q}}_{N + 1}} = \frac{M}{2} \sum_{N = 1}^{N} \frac{\partial}{\partial {\dot{Q}}_{N + 1}} ({\dot{Q}}_{N}^{2}) = 0

$\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{n+1}} = \frac{m}{2} \sum_{n=1}^N \frac{\partial}{\partial \dot{q}_{n+1}} \left( {\dot{q}_n}^2 \right) = 0$

\frac{\partial L}{\partial Q_{N + 1}} = - \frac{K}{2} \sum_{N = 1}^{N} \frac{\partial}{\partial Q_{N + 1}} {(Q_{N + 1} - Q_{N})}^{2} = - \frac{K}{2} \sum_{N = 1}^{N} 2 (Q_{N + 1} - Q_{N})

$\frac{\partial L}{\partial q_{n+1}} = -\frac{K}{2} \sum_{n=1}^N \frac{\partial}{\partial q_{n+1}} {\left( q_{n+1} - q_n \right)}^2 = -\frac{K}{2} \sum_{n=1}^N 2{\left( q_{n+1} - q_n \right)}$

Jetzt gibt es 2 (gekoppelte?) Gleichungen:

M {\ddot{Q}}_{N} - \frac{K}{2} 2 (Q_{N + 1} - Q_{N}) = 0

$m\ddot{q}_n - \frac{K}{2} 2{\left( q_{n+1} - q_n \right)} = 0$

\frac{K}{2} 2 (Q_{N + 1} - Q_{N}) = 0

$\frac{K}{2} 2{\left( q_{n+1} - q_n \right)} = 0$

Welches Ergebnis

M {\ddot{Q}}_{N} + K [(Q_{N + 1} - Q_{N}) - (Q_{N + 1} - Q_{N})] = 0

$m\ddot{q}_n + K \left[ {\left( q_{n+1} - q_n \right) - \left( q_{n+1} - q_n \right)} \right] = 0$

Wenn ich eine der Klammern n+1 -> n und n -> n-1 umschreiben kann, dann bekomme ich das gewünschte Ergebnis.

M {\ddot{Q}}_{N} + K [(Q_{N} - Q_{N - 1}) - (Q_{N + 1} - Q_{N})] = 0

$m\ddot{q}_n + K \left[ {\left( q_{n} - q_{n-1} \right) - \left( q_{n+1} - q_n \right)} \right] = 0$

M {\ddot{Q}}_{N} + K (- Q_{N - 1} - Q_{N + 1} + 2 Q_{N}) = 0

$m\ddot{q}_n + K {\left(- q_{n-1} - q_{n+1} + 2q_n \right)} = 0$

M {\ddot{Q}}_{N} = K (Q_{N - 1} + Q_{N + 1} - 2 Q_{N})

$m\ddot{q}_n = K {\left(q_{n-1} + q_{n+1} - 2q_n \right)}$

Aber das klingt wie BS, also habe ich keine Ahnung, was ich tue. Kläre mich auf.

dpravos

Ja, weil du hast

N

$N$ Teilchen, Sie haben

N

$N$ Koordinaten

q_{k}

$q_k$ , Also hast du

N

$N$ eom's, eine für jeden

q_{k}

$q_k$ . Mit einem schnellen Lesen würde ich sagen, dass Ihre Herleitung in Ordnung ist.

dpravos

Beachten Sie, dass, um die eoms für die zu erhalten

n

$n$ -ten Teilchen, müssen Sie die Gleichung für berücksichtigen

q_{n}

$q_n$ , mit einem Begriff wie

(q_{n + 1} - q_{n})^{2}

$(q_{n+1}-q_n)^2$ , sondern auch die Gleichung für

q_{n - 1}

$q_{n-1}$ , Weil

q_{n}

$q_n$ erscheint in

(q_{n} - q_{n - 1})^{2}

$(q_n-q_{n-1})^2$ .

Kira1985

Also was du sagst ist, ich sollte das tun (n+1)

\frac{\partial L}{\partial Q_{N + 1}} = - K \sum_{N = 1}^{N} (Q_{N + 1} - Q_{N})

$\frac{\partial L}{\partial q_{n+1}} = - K \sum_{n=1}^N \left( q_{n+1} - q_n \right)$

K (Q_{N + 1} - Q_{N}) = 0

$K \left( q_{n+1} - q_n \right) = 0$ (N)

\frac{\partial L}{\partial Q_{N}} = K \sum_{N = 1}^{N} (Q_{N + 1} - Q_{N})

$\frac{\partial L}{\partial q_{n}} = K \sum_{n=1}^N \left( q_{n+1} - q_n \right)$

M {\ddot{Q}}_{N} - K (Q_{N + 1} - Q_{N}) = 0

$m\ddot{q}_n - K \left( q_{n+1} - q_n \right) = 0$ (n-1)

\frac{\partial L}{\partial Q_{N - 1}} = K \sum_{N = 1}^{N} (Q_{N} - Q_{N - 1})

$\frac{\partial L}{\partial q_{n-1}} = K \sum_{n=1}^N \left( q_n - q_{n-1} \right)$

- K (Q_{N} - Q_{N - 1}) = 0

$- K \left( q_n - q_{n-1} \right) = 0$ Und die Bewegungsgleichung ist

M {\ddot{Q}}_{N} - K (+ Q_{N} - Q_{N - 1}) = 0

$m\ddot{q}_n - K {\left( + q_n - q_{n-1} \right)} = 0$ Ich bin verwirrt

dpravos

Entschuldigung, ich habe mich vertan. Was ich sagen wollte ist, dass bei der Einnahme des Teils wrt

q_{n}

$q_n$ Sie haben zwei Begriffe, die beinhalten

q_{n}

$q_n$ , diese sind

(q_{n + 1} - q_{n})^{2} + (q_{n} - q_{n - 1})^{2}

$(q_{n+1}-q_n)^2+(q_n-q_{n-1})^2$ . Wenn Sie die EL-Gleichungen unter Berücksichtigung dessen anwenden, ist die Ableitung einfach.

Antworten (1)

Verwenden Sie die Euler-Lagrange-Gleichung, um die Bewegungsgleichungen zu finden

Ja, weil du hast $N$ Teilchen, Sie haben $N$ Koordinaten $q_k$ , Also hast du $N$ eom's, eine für jeden $q_k$ . Mit einem schnellen Lesen würde ich sagen, dass Ihre Herleitung in Ordnung ist.
Beachten Sie, dass, um die eoms für die zu erhalten $n$ -ten Teilchen, müssen Sie die Gleichung für berücksichtigen $q_n$ , mit einem Begriff wie $(q_{n+1}-q_n)^2$ , sondern auch die Gleichung für $q_{n-1}$ , Weil $q_n$ erscheint in $(q_n-q_{n-1})^2$ .
Also was du sagst ist, ich sollte das tun (n+1) $\frac{\partial L}{\partial Q_{N + 1}} = - K \sum_{N = 1}^{N} (Q_{N + 1} - Q_{N})$ $\frac{\partial L}{\partial q_{n+1}} = - K \sum_{n=1}^N \left( q_{n+1} - q_n \right)$ $K (Q_{N + 1} - Q_{N}) = 0$ $K \left( q_{n+1} - q_n \right) = 0$ (N) $\frac{\partial L}{\partial Q_{N}} = K \sum_{N = 1}^{N} (Q_{N + 1} - Q_{N})$ $\frac{\partial L}{\partial q_{n}} = K \sum_{n=1}^N \left( q_{n+1} - q_n \right)$ $M {\ddot{Q}}_{N} - K (Q_{N + 1} - Q_{N}) = 0$ $m\ddot{q}_n - K \left( q_{n+1} - q_n \right) = 0$ (n-1) $\frac{\partial L}{\partial Q_{N - 1}} = K \sum_{N = 1}^{N} (Q_{N} - Q_{N - 1})$ $\frac{\partial L}{\partial q_{n-1}} = K \sum_{n=1}^N \left( q_n - q_{n-1} \right)$ $- K (Q_{N} - Q_{N - 1}) = 0$ $- K \left( q_n - q_{n-1} \right) = 0$ Und die Bewegungsgleichung ist $M {\ddot{Q}}_{N} - K (+ Q_{N} - Q_{N - 1}) = 0$ $m\ddot{q}_n - K {\left( + q_n - q_{n-1} \right)} = 0$ Ich bin verwirrt
Entschuldigung, ich habe mich vertan. Was ich sagen wollte ist, dass bei der Einnahme des Teils wrt $q_n$ Sie haben zwei Begriffe, die beinhalten $q_n$ , diese sind $(q_{n+1}-q_n)^2+(q_n-q_{n-1})^2$ . Wenn Sie die EL-Gleichungen unter Berücksichtigung dessen anwenden, ist die Ableitung einfach.

dpravos · Answer 1

Wir haben

L = \frac{M}{2} \sum_{N = 1}^{N} {\dot{Q}}_{N} - \frac{K}{2} \sum_{N = 1}^{N} (Q_{N + 1} - Q_{N})^{2}

$L= \frac{m}{2}\sum_{n~=~1}^N \dot{q}_n - \frac{K}{2}\sum_{n~=~1}^N(q_{n+1}-q_n)^2$

Betrachten Sie die Bewegungsgleichungen für die $k$ -tes Teilchen:

\frac{\partial L}{\partial Q_{k}} - \frac{D}{D T} \frac{\partial L}{\partial {\dot{Q}}_{k}} = 0

$\frac{\partial L}{\partial q_k}-\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k} = 0$ .

Der Term der Geschwindigkeit ist einfach:

\frac{D}{D T} \frac{\partial L}{\partial {\dot{Q}}_{k}} = \frac{D}{D T} (M {\dot{Q}}_{k}) = M {\ddot{Q}}_{k}

$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k} = \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(m \dot{q}_k)=m\ddot{q}_k$

Beachten Sie bei den Positionen, dass jede Koordinate in zwei Termen erscheint, also

\begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial Q_{k}} & = \frac{\partial}{\partial Q_{k}} [- \frac{K}{2} (Q_{k} - Q_{k - 1})^{2} - \frac{K}{2} (Q_{k + 1} - Q_{k})^{2}] \\ = - K (Q_{k} - Q_{k - 1}) + K (Q_{k + 1} - Q_{k}) = K (Q_{k + 1} + Q_{k - 1} - 2 Q_{k}) \end{aligned}

$\begin{align}\frac{\partial L}{\partial q_k} &= \frac{\partial}{\partial q_k}\left[-\frac{K}{2}(q_k-q_{k-1})^2-\frac{K}{2}(q_{k+1}-q_k)^2\right] \\ &= -K(q_k-q_{k-1})+K(q_{k+1}-q_k)=K(q_{k+1}+q_{k-1}-2q_k)\end{align}$

Also, das eom für die $k$ -ten Teilchen ist

M {\ddot{Q}}_{k} = K (Q_{k + 1} + Q_{k - 1} - 2 Q_{k})

$m\ddot{q}_k = K(q_{k+1}+q_{k-1}-2q_k)$

(offensichtlich für $1<k<N$ ).

Einige Kommentare

Beachten Sie, dass ich den Index für die Ableitung des eom absichtlich geändert habe $k$ in Bezug auf den Dummy-Index $n$ das erscheint in der Zusammenfassung. Dies ist eine sehr gute Vorgehensweise bei der Arbeit mit Indexnotationen, die Ihnen helfen kann, Fehler bei der Durchführung dieser Berechnungen zu vermeiden.

Wenn Sie mit den Indexnotationen irgendwie neu sind, empfehle ich Ihnen, diese Berechnungen explizit für einige gegebene durchzuführen $N$ (sagen wir, $N=3$ oder $4$ ), erweitern Sie die Summen, um tatsächlich zu sehen, wie es funktioniert, und überzeugen Sie sich selbst, dass die Methode richtig ist.

Ich habe zuerst die Summen erweitert, aber ich habe mich schon oft geirrt und gesagt, dass du das hier deswegen nicht machen kannst, ein Leben lang, da Serien das schwierigste Fach für mich in meinem Abschluss waren. Da ich nicht sagen konnte, wann ich eine Taylor-Erweiterung verwenden sollte, würde ich zuerst die Summe erweitern, und wenn ich sie immer noch nicht bekommen könnte, würde ich sie so schreiben, wie sie ist. Insbesondere für dieses Problem dachte ich "nein, das Erweitern scheint zu einfach".

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Kira1985

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dpravos

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