Verwirrt über das Hinzufügen von Kardinalitäten von Mengen als Elemente

Sie drehen sich nicht im Kreis: Eine Menge hat feste Elemente und eine feste Kardinalität, also gehen Sie nicht hin und her, was ihre Mitglieder sind oder was ihre Kardinalität ist. Die Lösung zeigt, wenn B 3 Elemente hat, dann hat B 2 Elemente. Daraus können wir schließen, dass B nicht 3 Mitglieder haben kann, weil es zu einem Widerspruch führen würde (und nicht zu einer Art Endlosschleife). Und wenn Sie das festgestellt haben, folgt der Rest.

Und nein, mit einem Wesen$\{2,3\}$,$B$wird nicht$\{1,2,3\}$: Wir wissen das$B$enthalten muss$1$Und$2$(Die$2$ist die Kardinalität von$A$), also wenn die Kardinalität von$B$entweder$1$oder$2$, dann ist das kein neues Element. Und zwar mit der Kardinalität von$B$Sein$2$, das geht genau richtig.

Während die Notation$\{x,y,z,\ldots\}$oft verwendet wird, um eine Menge durch Aufzählung ihrer Elemente zu "bauen", halte ich es für einen Fehler, sich den Gleichungen zu nähern

$$\begin{align} A &= \{3, \lvert B\rvert\}, \tag1\\ B &= \{1, \lvert A\rvert, \lvert B\rvert\} \tag2 \end{align}$$ als wäre dies eine Übung zur Konstruktion von Mengen durch Aufzählung.

Stattdessen sollen Sie ableiten, welche Mengen$A$Und$B$könnte möglicherweise diese beiden Gleichungen gleichzeitig erfüllen. Wir wissen das

$$\begin{align} A &= \{2,3\},\\ B &= \{1,2\} \end{align}$$ ist eine Lösung, denn wenn wir ersetzen$\{2,3\}$für$A$und ersetzen$\{1,2\}$für$B$gleichzeitig in Gleichungen$(1)$Und$(2)$, erhalten wir zwei wahre Gleichungen. Hier gibt es keine „Endlosschleife“; wir listen nur die Elemente der vorgeschlagenen Mengen auf$A$Und$B$, alles einstecken und (bumm!) wir sind fertig. Es klappt.

Alle anderen vorgeschlagenen Zuordnungen von$A$Und$B$sind nachweislich keine Lösungen, weil sie zu Widersprüchen führen. Auch hier besteht keine Notwendigkeit für eine "Endlosschleife"; Sobald Sie einen Widerspruch finden, wissen Sie, dass die vorgeschlagene Aufgabe keine Lösung ist, und Sie müssen nicht weiter nach weiteren Widersprüchen zu dieser Lösung suchen.

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Es wird nicht immer der Fall sein, dass es für ein solches Gleichungssystem eine eindeutige Lösung gibt. Betrachten Sie zum Beispiel

$$\begin{align} C &= \{1, \lvert D\rvert\}, \\ D &= \{1, \lvert C\rvert, \lvert D\rvert\}. \end{align}$$ Eine Lösung dieses Gleichungssystems ist$C = \{1,2\},$ $D = \{1,2\},$weil dann$\lvert C\rvert = \lvert D\rvert = 2.$Aber eine andere Lösung ist$C = \{1\},$ $D = \{1\},$in welchem$\lvert C\rvert = \lvert D\rvert = 1.$Wir können also sagen, dass das Gleichungssystem eine Lösung hat, aber wir können nicht eindeutig auf die Lösung der Gleichungen zeigen.

Betrachten Sie als weiteres Beispiel

$$\begin{align} E &= \{1, 2, \lvert F\rvert\}, \\ F &= \{2, \lvert E\rvert, \lvert F\rvert\}. \end{align}$$ Deutlich$\lvert F\rvert$kann nur eine der Zahlen sein$1, 2, 3.$Aber in dem Fall$\lvert F\rvert = 1$, wir sehen das$F$hat mindestens die beiden Elemente$1$Und$2,$was widerspricht$\lvert F\rvert = 1.$Im Falle$\lvert F\rvert = 2$, wir sehen das$\lvert E\rvert = 2,$was das impliziert$F = \{2\},$was widerspricht$\lvert F\rvert = 2.$Und in dem Fall$\lvert F\rvert = 3$, wir sehen das$\lvert E\rvert = 3,$was das impliziert$F = \{2,3\},$was widerspricht$\lvert F\rvert = 3.$Es gibt also überhaupt keine Lösung.

Die Tatsache, dass wir offensichtlich "definieren" konnten$A$Und$B$nach der Lösung des ursprünglichen Problems ist lediglich auf eine "glückliche" Wahl von Gleichungen zurückzuführen, die zufällig eine Lösung haben und zufällig nur eine Lösung haben .

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Um auf die ursprüngliche Frage zurückzukommen, haben wir die Aussage: "Wenn A jetzt am Ende 2 Elemente hat, sollte B auch aktualisiert werden."

Tatsächlich funktioniert es so nicht für irgendeine Lösung irgendeines Gleichungssystems , egal ob die Objekte auf jeder Seite der Gleichung Mengen oder algebraische Zahlenausdrücke wie in der Gleichung sind$x = 2y - x + 3,$oder Matrixausdrücke oder andere mathematische Objekte. Eine Lösung für ein Gleichungssystem ist nicht eine Lösung, weil sie sich aus einem korrekten Verfahren ergibt, sondern einfach, weil sie die Gleichungen wahr werden lässt, wenn man sie einsetzt . Umgekehrt ist jede vorgeschlagene "Lösung", die die Gleichungen beim Einstecken falsch macht, keine Lösung. Es gibt keinen "Aktualisierungs"-Schritt; Entweder funktioniert die Lösung wie dargestellt oder nicht.

Dies ist eine sehr nützliche Tatsache, die bei der Lösung verschiedener Probleme im Auge behalten werden sollte, insbesondere bei Problemen, bei denen es keine direkte Lösungsmethode gibt, die zielsicher zu einer und nur einer richtigen Lösung führt.

Was wie ein "Aktualisierungs"-Schritt in der gegebenen Lösung des ursprünglichen Problems erscheinen mag, ist eigentlich eine Sackgasse: Nachdem angenommen wurde, dass die Lösung eine bestimmte Eigenschaft hat, wie z$\lvert B\rvert = 3,$wir gelangen zu einem Widerspruch, daher die Aussage$\lvert B\rvert = 3$muss falsch sein. Aber wenn dieser Fall ausgeschlossen ist, erfahren wir etwas über das Set$A.$Und das führt zu weiteren Abzügen, die schließlich alle Kandidaten für die Zuordnung des Inhalts der Sets reduzieren$A$Und$B$auf nur eine mögliche Zuordnung.

Vorher weiß B, dass A nur {3} mit |A|=1 ist

Nein, vorher wurde eine Annahme gemacht, aus der das folgte$A=\{3\}$. Es zeigte sich, dass dies zu einer Kontraktion führte. Es wurde dann der Schluss gezogen, dass die Annahme, die dazu führte$A$Sein$\{3\}$war falsch. Also gehen wir jetzt nicht mehr davon aus. Der Autor betreibt einen Widerspruchsbeweis: Er stellt vorläufig eine Annahme auf, zeigt, dass die Annahme zu einem Widerspruch führt, und schließt dann, dass die Annahme falsch ist. Alles danach geht von dieser Schlussfolgerung aus, dass die Annahme falsch ist.

Es könnte helfen (oder die Dinge vielleicht verwirrender machen, aber es ist einen Versuch wert), das Rätsel „Alice und Bob sind beide von einer Insel, auf der jeder entweder immer die Wahrheit sagt oder immer lügt. Alice sagt: ‚Bob hat gesagt, er ist ein Lügner‘ .Was können Sie daraus schließen?“ Wenn Alice die Wahrheit sagt, dann ist Bob offensichtlich ein Lügner. Aber wenn er ein Lügner ist, dann hat er die Wahrheit gesagt, als er sagte, er sei ein Lügner, also ist er kein Lügner. Er ist also ein Wahrsager. Was bedeutet, dass er gelogen hat, ein Lügner zu sein. Was bedeutet, dass er ein Lügner ist. Aber das kann er nicht sein. Die Annahme „Alice hat die Wahrheit gesagt“ führt zu einer paradoxen Schleife, also war unsere Annahme falsch. Wir schlussfolgern dann, dass Alice gelogen hat, und das Paradoxon verschwindet.

Es scheint nur die Kardinalität von B zu respektieren, hat aber die Kardinalität von A nicht weiter respektiert.

Es stimmt völlig mit allem überein, was gesagt wurde$A$Und$B$.